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2013高考难点突破与易错点点睛系列 专题12 排列、组合、二项式定理


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【难点突破】 难点 1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合
[来源:]

1 、A、B、C、D、E 五人站成一圈传球,每人只能把球传给他的邻人,A 传出(算第 一次)后经 10 次传球又回到 A 的概率为 (
A. 1

256 B. 3 1024 C. 127 512


D. 63 256

2、 某校高三年级举行一次演讲比赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位, 其他班有 5 位,若采用抽签方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起, 而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 (
A. 1 10 B. 1 20 C. 1 40 D. 1 120



【解析】 基本事件总数为 A1010, 而事件 A 包括的可能实际上就是排列中的相邻与不相

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3 、9 支足球队参加一地区性足球预选赛,将这 9 支球队任意地均分为 3 组,则 A、B 两个 “冤家队”恰好分在同一组的概率为 ( )
A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 2 9

2 1 ? . ∴选求概率为 8 4 ∴选 B。

难点 2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 1. (1-3x+2y)n 的展开式中不含 y 的项的系数和为 ( ) A.2n B.-2n C.(-2)n D.1

2. (1+2x-3x2)6 展开式中的 x5 项的系数为 ( ) A.86 B.168 C.-168 D.-8748

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难点 3 利用二项式定理证明不等式 1 过点 P(1,0)作曲线 C:y=xk,[x∈(0,+∞),k∈N*,k>1]的切线,切点为 Q1,设 Q1 在 x 轴上的投影是点 P1;又过点 P1 作曲线 C 的切线, 切点为 Q2, Q2 在 x 轴上投影为点 P2, 设 … 如此继续下去得到一系列点 Q1,Q2,…,Qn,…,设点 Qn 的横坐标为 an. (1)求证: (2)求证:
an ? ( k n ) ; k ?1 n ; k ?1
2

an ? 1 ?
n

(3)求证:

?a ? k
i
i ?1

? k.

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2. 8 人进行乒乓球单打比赛,水平高的总能胜水平低的,欲选出水平最高的两人,至少需 要比赛的场数为__________(用数字作答)

人决出第一名,需 2 场比赛。∴至少需要 4+2+1+2=9 场比赛。
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3.设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向或负方向跳 1 个 单位,经过 5 次跳动质点落在点(3,0) (允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共 有_________种(用数字作答) 。
[来源:][来源:]

4.从 1、3、5、7 中任取 2 个数字,从 0、2、4、6、8 中任取 2 个数字,组成没有重复数字 的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有__________个(用数字作答) 。

【特别提醒】 两个基本原理是学习排列、 组合的重要基础, 解决两个原理的应用问题首先要明确所完 成的事情是什么,然后再分析每一种做法,事情是否完成,从而区分分类计数原理和分步计

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数原理,运用分类计数原理时, 要恰当分类,做到不重复, 又不遗漏; 运用分步计数原理时, 关键是分好步, 需要分析要分几步才能完成。 一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的 解题步骤,平时应注意养成一题从多角度来解的习惯。 【变式训练】 1 设集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3…,9},且 P ? Q。把满足上述条件的

一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点个数是( ) A.9 个 B.14 个 C.15 个 D.21 个

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易错点 2 排列组合 1.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹 在两个奇数数字之间的五位数的个数是______________.

2.将标号为 1、2,… 10 的 10 个数放入标号为 1,2,…10 的 10 个盒子内,每一个盒内放 一个球茎, 恰在此时好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为 ( ) A.120 B.240 C.360 D.720

原理放入方法种数为 120× 2=240。∴选 B。
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3.已知集合 A 有 4 个元素,集合 B 有 3 个元素,集合 A 到 B 的映射中,满足集合 B 的元素都有原象的有多少个?

4. 4 名男同学排好有 A44 种方法,再在 5 个空档处将 4 名女生插进去,有 A45 种方法。∴ 不同的排法数为 A44· 45=2880 A

【变式训练】 1、 集合 A=B={1, 3, 5}, A 到 B 的映射, 2, 4, 从 满足: (1) f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5);(2)f 的象只有 2 个。则这样的映射有_______个.

2、 (1)将 10 个相同的小球装入 3 个编号为 1、2、3 的盒子,要求每个盒子里球的个数不少

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于盒子的编号数,这样的装法种数为__________.

易错点 3 二项式定理 1.在(x-a)10 的展开式中,x7 的系数是 15,则实数 a=_____________。

2.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中,含 x3 的项的系数是 ( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121

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【错解分析】 (1+6)n 的展开式应为 C0n+C1n· 2n·2+…+Cnn6n,原式中 6 的次数与之不相应。 6+C 6 【正确解答】 C n+C n6+C n· 6
1 2 3 2

+…+Cnn6n-1=

1 1 n 2 n n 6 ( Cn ? 6 ? C2 ? 6 ? ? ? Cn ? ?6 )

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1 1 1 [(1 ? 6) n ? 1] ? (7 n ? 1). ? 填 (7 n ? 1). 6 6 6 =

【特别提醒】 二项式定理的核心是通项公式, 求二项展开式中的特定项或特定项的系数通常中从通项 公式入手的,所以对通项的理解、记忆和应用是重点,二项式定理是一个恒等式,对待恒等 式通常有两种思路:一是利用恒等的多项式对应的系数相等;二是赋值。事实上,二项式定 理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解, 近几年高 考二项式定理的考查一般为选择、 填空题, 便我们在复习时应有主动应用二项式定理解题的 意识,因为二项式定理在证明带队不等式组合等式中有很好的应用。 【变式训练】 1 若(1-2x)2006=a0+a1x+a2x2+…a2006x2006(x∈R),则 (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2006)=__________(用数字作答) 。
[来源:]

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【2013 高考突破】 1 将 1,2,3…,9 这 9 个数字填在 3× 的正方形方格中,要求每一列从上到下的依次 3 增大,每一行从左到右均依次增大,当 4 固定在中心位置时,则填写空茖的方法有 ( ) A.6 种 答案: B 解析:首先确定 1、9 分别在左上角和右下角,2、3 只能在 4 的上方和左方,有 2 种填 方,5,6,7,8 填在其它位置有 C4 =6 种方法.依分步计数原理有 2 C4 =12 种填法,所以选 B. 2 某重点中学要把 9 台相同的电脑送给农村三所希望小学, 每个小学到少 2 台电脑, 不 同的送法种数为( ) A.10 种 B.9 种 C.8 种 D.6 种
2 2

B.12 种

C.18 种

D.24 种

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3 从装有 4 粒大小、形状相同,颜色不同的玻璃球的的瓶中,随意一次倒出若干粒玻璃球茎 (至少一粒) ,则倒出奇数粒玻璃球的概率比例出偶数粒玻璃球的概率 A.小 C.相等 B.大 D.大小不能确定 ( )

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1
2 8 若 n∈N*,n<100,且二项式(x + x )n 的展开式中存在常数项,求所有满足条件的 n 的值的
3

和。

10 若(x+1)+(x+1)2+…+(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,求 a0+a1+…+an.
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3(1 ? 3n ) 3 n ? (3 ? 1) 2 答案:解:令 x=2,得 a0+a1+…+an=3+3 +…+3 = 1 ? 3
2 n

11 从集合{1,2,3,…,20}中选 3 不同的数使这 3 个数成递增的等差数列,则这样 的数列共有多少个?

12 将一个四棱锥的每个顶点染上颜色, 使同一条棱上的两端点异色, 如果有 5 种颜色或供 使用,那么不同的染色方法总数有多少种?

14

a ( x ? 1) 2 ? 1 (a, b, c ? N ), 已知函数 f(x)= bx ? c ? b f(2)=2f(3)<3,且 f(x)的图像按向量 e=(-1,0)平移后得到

的图像关于原点成中心对称图形。 (1)求 a、b、c 的值;

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∴Tn≥2n -2.∴原不等式成立. (第(3)问可以用数学归纳法加以证明) 15.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有 A.81 B.64 C.24 ) D.4 D.4 种.

(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( A.81 B.64 C.24

(3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ; ;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法 有 。

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16.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球, 同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有 不同的方法(用数字作答).



1 ( x 2 ? )5 x 的展开式中,含 x 4 的项的系数是( 17. (1)在二项式
A. ?10 C. ?5 答案 B B. 10 D. 5

)

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18. (1 ? ax ? by ) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ,不含 y 的项的系数绝对
n

值的和为 32 ,则 a, b, n 的值可能为 A. a ? 2, b ? ?1, n ? 5 C. a ? ?1, b ? 2, n ? 6 B. a ? ?2, b ? ?1, n ? 6 D. a ? 1, b ? 2, n ? 5

20. (1)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙 不同去,则不同的选派方案共有 种;

(2)5 名志愿者分到 3 所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法 共有( ) (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种

(A)150 种

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21.平面上给定 10 个点,任意三点不共线,由这 10 个点确定的直线中,无三条直线交于同 一点(除原 10 点外) ,无两条直线互相平行。求: (1)这些直线所交成的点的个数(除原 10 点外)(2)这些直线交成多少个三角形. 。

(2)同解法一。
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22.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元 素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。

(2)

( x?

1 10 ) 3x 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是

(A)0

(B)2

(C)4

(D)6

解析:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识;
3r 1 ? ?10 ? r r 1 10 ? r r 1 10 ? r ? x? ? C12 ( x ) ( ) ? C10 ( ) x 2 3 x ? 的展开式通项为 3x 3 (2) ? ,因此含 x 的

10

正整数次幂的项共有 2 项.选 B;

[来源:]

24. (1)将全体正整数排成一个三角形数阵:
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1 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 4 2

按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为



25.证明下列不等式:

an ? bn a?b 2 (1) ≥( 2 )n,(a、b∈{x|x 是正实数},n∈N);
1 1 (2)已知 a、b 为正数,且 a + b =1,则对于 n∈N 有
(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1。
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2 6. (1)求 4×6n+5n+1 被 20 除后的余数; (2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7 除以 9,得余数是多少? (3)根据下列要求的精确度,求 1.025 的近似值。①精确到 0. 01;②精确到 0.001。

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