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导数与椭圆复习学案


一复习导数 熟记基本初等函数的导数公式表以及导数的四则运算公式 1 写出常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数: C’= ( e )’= (lnx)’=
x

( x )’=
x

n

(sinx)’= ( a )’= ( loga x )’=

(cosx)’=<

br />
( f ( x) ? g ( x))' ?
( f ( x) ' ) ? g ( x)

(u( x)v( x))' ?

复合函数 y=f(φ (x))的导数 y’=____________________
导数的应用类型 类型一:利用导数研究函数的图像 类型二:导数几何意义的应用 类型三:利用导数研究函数的单调性 类型四:导数与最值极值 类型五:导数的综合应用 类型六:生活中的导数

2.求下列函数的导数 1)若 y ? sin x 则 y / t ? 6? ?
'

2 )曲线 y=lnx 与 x 轴交点处的切线方程是 3 ) y=(2+x )
3 2

y'= y'= y'=

4) y=xsinx-cosx 5)y=sin2x

熟记求函数单调区间、求极值以及求最值的基本步骤 例题 3 求下列函数的单调减区间 ⑴ y ? x ? 8x ? 13x ? 6
3 2



y=xsinx + cosx

3 2 例题 4 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 则 f ( x ) 为增函数的充要条件是( )

A b ? 3ac ? 0
2

B

b ? 0, c ? 0

C

b ? 0, c ? 0

D

b2 ? 3ac ? 0

例题 5 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 在 x ? ?1 处取得极值,且 f (1) ? ?1 (1) 试求常数 a ,b ,c 的值; (2) 试判断 x ? ?1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由。 (3) 求函数 y=f(x)在 ? ?3,3? 上的最值

真题练习; 15、已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,x2,设 m=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,n= x1 ? x2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,现有如下命题: x1 ? x2
①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中 a>0. (I)设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (II)证明:存在 a∈(0,1),使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解.

二椭圆知识点 1 椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫 做椭圆的焦点,两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF 2 |? 2a 。 1 | ? | MF 椭圆的标准方程为: 在 y 轴上) 。 注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 b ? a ? c ;
2 2 2

x2 y 2 y2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ( ) (焦点在 x 轴上)或 (焦点 a 2 b2 a2 b2

②在

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,只要看 x 2 和 和 2 2 2 a b a b x2 y 2 ? ? 1( m ? 0 ,n ? 0 ,m ? n )当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆; m n

y 2 的分母的大小。例如椭圆

当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。

2 椭圆的性质 ①范围:由标准方程 矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲 线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x ,

x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a , | y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的 a 2 b2

? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对 称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程 中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即

A1 (?a,0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2 a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b , | OF2 |? c ,

| B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? b2 ;
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ?

c 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近1 , a

c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x2 ? y 2 ? a2 。
3、椭圆的常用结论: ⑴点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. ⑵PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. (3)以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. (4)以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. (5)若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

(6)若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 程是

x2 y 2 ? ? 1 外,则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

(7)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则椭圆 a 2 b2
2

的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan (8)椭圆

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦半径公式 a 2 b2

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
(9)设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于 焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. (10)过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 b2 (11)AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 ,即 a b a

K AB ? ?

b 2 x0 。 a 2 y0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 ; (12)若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a b a2 b a b
【推论】 : 1、若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 1 ? ? 2 ? 2 。椭圆 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a 2 b2 a b

x2 y 2 ? ? 1(a>b>o) 的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) , 与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 a 2 b2 x2 y 2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b
2、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点, a 2 b2

则直线 BC 有定向且 kBC

b2 x0 ? 2 (常数). a y0

x2 y 2 3、若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a b

?PF2 F1 ? ? ,则
4、设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 a 2 b2 sin ? c ? ?e. sin ? ? sin ? a

中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1 F2 P ? ? ,则有

x2 y 2 5、若椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在 a b
椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6、P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 7、椭圆 a2 b2

A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
8、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) a 2 b2

4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . ? ? ? S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2
9、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2

轴于 P,则

x2 y 2 10、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 a b

P( x0 ,0) , 则 ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则 a 2 b2

11、设 P 点是椭圆

(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 12、设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a b
?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |?

2ab2 | cos ? | .(2) a 2 ? c 2co s2 ?

tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

x2 y 2 13、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相 a b
交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切 线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

三椭圆经典例题
一. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为 A

?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.

例2

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 已知椭圆 2 k ?8 9

说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k 轴上.故必须进行讨论.

? 8 与 9 的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y

例3

已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

说明:本题易出现如下错解:由 ?

?k ? 5 ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . ?3 ? k ? 0,
? b ? 0 这个条件,当 a ? b 时,并不表示椭圆.

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a 例4 已知 x
2

sin ? ? y 2 cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范围.

1 1 ? 0,? ? 0 ,这是容易忽视的地方. sin ? cos ? 1 1 2 2 (2)由焦点在 y 轴上,知 a ? ? ,b ? . (3)求 ? 的取值范围时,应注意题目中的条件 0 ? ? ? ? cos ? sin ?
说明:(1)由椭圆的标准方程知

例 5 已知动圆 P 过定点

A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
2

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要 思想方法. 二. 焦半径及焦三角的应用

例 1 已知椭圆

x2 y ? ? 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M 4 3

2

,使 M 到左准线 l 的距离

MN



MF1



MF2

的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

例 2 已知椭圆方程

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 ,F2 ,P 是椭圆上一点,?A1PA2 ? ? , a 2 b2

. ?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示)

三. 第二定义应用

例 1 椭圆

x2 y2 ? ?1 的 右 焦 点 为 F 16 12

,过点

A1 ,3

? ? ,点 M 在椭圆上,当

AM ? 2 MF

为最小值时,求点 M 的坐标.

说明:本题关键在于未知式

AM ? 2 MF

中的“2”的处理.事实上,如图, e

?

1 ,即 MF 2

是 M 到右准线的距离的

一半,即图中的 MQ ,问题转化为求椭圆上一点 M ,使 M 到

A 的距离与到右准线距离之和取最小值.

例 2 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b ? 1) ,求 P 到左准线的距离. 4b 2 b 2

说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解. 椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题, 用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.

例3

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆上一点. 已知椭圆 9 5


(1)

PA ? PF 1
PA ?

的最大值、最小值及对应的点 P 坐标; 的最小值及对应的点 P 的坐标.

(2)



3 PF2 2

说明:求

PA ?

1 PF2 e

的最小值,就是用第二定义转化后,过

A 向相应准线作垂线段.巧用焦点半径 PF2

与点准



PQ 互化是解决有关问题的重要手段.

四. 相交情况下--弦长公式的应用 例 1 已知椭圆 4 x
2

? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m .

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆 的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程. 例 2 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 求弦

? 的直线交椭圆于 A , B 两点, 3

AB

的长.

五. 相交情况下—点差法的应用 例 1 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ?

y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M



AB

中点, OM 的斜率为

0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

说明: (1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法; (2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、 弦中点、弦斜率问题.

例 2 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

说明: (1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹. (2)解法二是“点差法” ,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用”及“点差法” .有关二次曲线问题也适用.

例 3 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过

A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
? kOQ ? ? 1 , 2

(4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 k OP 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

例4

x2 y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的两点关于该 已知椭圆 C: ? 4 3

直线对称.

说明:涉及椭圆上两点 (1) 利用直线

A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式:

AB

与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式

? ? 0 ,建立参数方程.
(2)利用弦

AB

的中点 M ( x0

, y0 ) 在椭圆内部,满足

x0 y ? 0 ? 1 ,将 x0 , y0 利用参数表示,建立参数不等式. a b

2

2

例 5 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 36 9

说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.


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