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2016年03月09日两大定理(正弦和余弦)应用及综合 答案


2016 年 03 月 09 日两大定理应用及综合
一.选择题(共 10 小题) 1. (2015 春?唐山校级月考)已知△ ABC 中,a:b:c=1: A.1:2:3 B.2:3:1 C.1:3:2 D.3:1:2

:2,则 A:B:C 等于(



2. (2013?西湖区校级模拟)在 20 米高的楼

顶测得对面一塔吊顶部的仰角为 60°,塔基的俯 角为 45°,那么这座塔吊的高度是( ) A.20(1+ ) B.20( + ) C.10( + ) D.20(1+ )

3. (2014 春?晋江市校级期中)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60m,则树的高度为 ( )

A.

B.

C.

D.

4. (2007 春?凤阳县校级期末)在△ ABC 中,已知 a、b 和锐角 A,要使三角形有两解,则 应满足的条件是( ) A.a=bsinA B.bsinA>a C.bsinA<b<a D.bsinA<a<b 5. (2015 秋?厦门校级期中)如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10m,从 D,C 两 地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°,则 A 点离地面的高 AB 等于( )

A.10m B.5

m

C.5(

﹣1)m D.5(

+1)m )

6. (2011 秋?临沂校级期中)不解三角形,下列判断中正确的是( A.a=30,b=25,A=150°有一解 B.a=9,c=10,B=60°无解 C.a=6,b=9,A=45°有两解 D.a=7,b=14,A=30°有两解

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7. (2009?南岸区校级模拟)锐角三角形 ABC 中,边长 a,b 是方程 个根,且 A.4 B. ,则 c 边的长是( C. D. )

的两

8. (2009 春?朝阳区期末)如图所示,AB 是塔的中轴线,C、D、A 三点在同一水平线上, 在 C、D 两点用测角仪器测得塔顶部 B 处的仰角分别是 α=30°和 β=60°,如果 C、D 间的距 离是 20m,测角仪器高是 1.5m,则塔高为( ) (精确到 0.1m)

A.18.8m

B.10.2m

C.11.5m

D.21.5m

9. (2009?闸北区二模)在△ ABC 中,设 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边长,且满 足条件 c=2,b=2a,则△ ABC 面积的最大值为( ) A.1 B. C. D.2

10. (2012?湖南)在△ ABC 中,AB=2,AC=3, A. B. C.2 D.

?

=1,则 BC=(



二.填空题(共 10 小题) 11. (2012 春?海陵区校级期中)在△ ABC 中,已知 = . , ,∠ABC=60°,则

12. (2009 秋?沙坪坝区校级期中)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满 足(2a﹣c)?cosB=bcosC,则角 B 的大小是 . 13. (2008 秋?鹿城区校级期末) △ ABC 中, a、 b、 c 分别为∠A、 ∠B、 ∠C 的对边, CcosB=bcosC, 且 ,则 sinB= .

14. (2015 秋?闸北区月考)如图,靠山有一个水库,某人先从水坝的底部 A 测得水坝对面 的山顶 P 的仰角为 40°,再沿坝面向上走 80 米到水坝的顶部 B 测得∠ABP=56°,若坝面与 水平面所成的锐角为 30°,则山高为 米; (结果四舍五入取整)
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15. (2015?鄞州区模拟)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= cos∠CAD= ;又若 cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,则 BC=

,则 .

16. (2015?太原校级二模)如图在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ,沿 BE 方 向前进 15m,至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2θ,再继续前进 5 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4θ,则建筑物 AE 的高为 .

17. (2015?开封模拟)如图,已知△ ABC 中,∠ABC=90°,延长 AC 到 D,连接 BD,若 ∠CBD=30°且 AB=CD=1,则 AC= .

18. (2015 春?宿迁期末)如图,在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为 30° 的斜坡 AS 走 2000 米至 S 点,又测得山顶∠DSB=75°,则山高 BC 为 米.

19. (2015 春?眉山期末)如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相
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距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ+30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sinθ= .

20. (2015 春?重庆校级期末)在△ ABC 中,AB=3,BC=2,AC= 线,则△ ABD 内切圆半径 r 的值为 .

,AD 为 BC 边上的中

三.解答题(共 10 小题) 21. (2013 秋?德州校级期中)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, ,且 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=2,△ ABC 的面积为 .

,求 b,c.

22.在△ ABC 中,已知 B=45°,外接圆半径 边上的高,求三边.

、hc 分别为 b,c

23. (2015?内江三模)已知向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) . (1)当 ∥ 时,求 cos x﹣sin2x 的值; (2)设函数 f(x)=2( c,若 a= ,b=2,sinB= )? ,已知在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 ,求 f(x)+4cos(2A+ ) (x∈[0, ])的取值范围.
2

24. (2014?蚌埠一模) 在锐角△ ABC 中,a、b、 c 分别为角 A、 B、C 所对的边, 且 (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ ABC 的面积为 ,求 a +b 的值.
2 2 2 2 2

25. (2013 春?西区校级期中) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A、 B、 C 的对边, 且 a +b =c + (1)求 C; (2)若 = ,求 A.

ab.

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26. (2012?西安一模)三角形的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 =(c ﹣a,b﹣a) , =(a+b,c) ,若 (1)求角 B 的大小. (2)求 sinA+sinC 的取值范围. 27. (2011?江门一模)如图,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680km 的空中 B 处,为 避开直飞途中的雷雨云层,飞机在 A 处沿与原飞行方向成 θ 角的方向飞行,在中途 C 处转 向与原方向线成 45°角的方向直飞到达 B 处.已 (1)在飞行路径△ ABC 中,求 tanC; (2)求新的飞行路程比原路程多多少 km. (参考数据: , ) .

28. (2011?未央区校级模拟)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14, ∠BDA=60°,∠BCD=135° 求 BC 的长.

29. (2013 春?当涂县校级月考)如图,在山脚 A 测得出山顶 P 的仰角为 α,沿倾斜角为 β 的斜坡向上走 a 米到 B,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 γ,求证:山高 h= .

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30. (2012?湖南一模)如图,有一块边长为 1km 的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可 转动的探照灯, 其照射角∠PAQ 始终为 45°(其中点 P, Q 分别在边 BC, CD 上) , 设∠PAB=θ, tanθ=t (Ⅰ)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△ CPQ 的周长 l 是否为定值. (Ⅱ)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值是多少(km )?
2

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2016 年 03 月 09 日两大定理应用及综合
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题) 1. (2015 春?唐山校级月考)已知△ ABC 中,a:b:c=1: A.1:2:3 B.2:3:1 C.1:3:2 D.3:1:2 【考点】解三角形. 【专题】计算题.
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:2,则 A:B:C 等于(



【分析】 根据三边的比令 a=1, b=

, c=2, 进而可知 c =a +b , 根据勾股定理推断出 C=90°,

2

2

2

进而根据 a= c 推断出 A=30°,进而求得 B,则三个角的比可求. 【解答】解:令 a=1,b= ,c=2 2 2 2 ∴c =a +b ,三角形为直角三角形 ∴C=90° a= c ∴A=30°, ∴B=90°﹣30°=60° ∴A:B:C=1:2:3 故选 A 【点评】本题主要考查了解三角的问题.应熟练记忆三角形中的常用结论如勾股定理,边边 关系,角与角的关系,正弦定理,余弦定理等. 2. (2013?西湖区校级模拟)在 20 米高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为 60°,塔基的俯 角为 45°,那么这座塔吊的高度是( ) A.20(1+ ) B.20( +
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C.10(

+



D.20(1+



【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题. 【分析】由题意,AB=20 米,∠DAE=60°,∠DAC=45°,可先在直角三角形 ABC 中求出 BC,再由 AD⊥CE,得出 DC,AD 的长度,再求出 DE 即可得出塔吊的高度. 【解答】解:由题意,AB=20 米,∠DAE=60°,∠DAC=45°,可知 ABCD 是正方形,有此 易得 CD=AD=20 米 再由,∠DAE=60°,在直角三角形 ADE 中可求得 DE= ,AD=20 ∴塔高为 DE+CD=20+20 =20( +1) 故选 D. 【点评】 本题考查已知三角函数模型的应用问题, 解答本题的关键是建立起符合条件的模型, 然后再由三角形中的相关知识进行运算,解三角形的应用一般是求距离(长度问题,高度问 题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件,求解三角形的边与角.

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3. (2014 春?晋江市校级期中)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60m,则树的高度为 ( )

A. B. C. D. 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题. 【分析】要求树的高度,需求 PB 长度,要求 PB 的长度,在△ PAB 由正弦定理可得. 【解答】解:在△ PAB,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60, sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30
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°=

×



× =

由正弦定理得:

,∴PB=

=30(

+

) ,

∴树的高度为 PBsin45°=30(

+

)×

=(30+30

)m,

答:树的高度为(30+30 )m. 故选 A 【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值,正弦定理在解三角形时, 用于下面两种情况:一是知两边一对角,二是知两角和一边. 4. (2007 春?凤阳县校级期末)在△ ABC 中,已知 a、b 和锐角 A,要使三角形有两解,则 应满足的条件是( ) A.a=bsinA B.bsinA>a C.bsinA<b<a D.bsinA<a<b 【考点】解三角形. 【专题】计算题.
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【分析】 由正弦定理可得 sinB= 可得 a、b 的关系,从而得到结论. 【解答】解:由正弦定理可得

, 再由 sinB=

>sinA, 且 sinB=

<1,

,∴sinB=



由锐角 A,要使三角形有两解,则 sinB= 再由 sinB= <1 可得 bsinA<a.

>sinA,∴b>a.

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综上可得 b>a>bsinA, 故选:D. 【点评】本题主要考查正弦定理的应用,判断 sinB= 是解题的关键,属于中档题. 5. (2015 秋?厦门校级期中)如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10m,从 D,C 两 地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°,则 A 点离地面的高 AB 等于( ) >sinA,且 sinB= <1,

A.10m B.5 m C.5( ﹣1)m D.5( +1)m 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】解三角形. 【分析】分别在 Rt△ ABC 和 Rt△ ABD 中用 AB 表示出 BC,BD,作差建立方程求得 AB. 【解答】解:在 Rt△ ABC 中,BC=AB, 在 Rt△ ABD 中,BD= AB, 又 BD﹣BC=10, ∴ AB﹣AB=10, AB=5( +1) (m) , 故 A 点离地面的高 AB 为 5( +1)m, 故选 D. 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生的观察思考能力.
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6. (2011 秋?临沂校级期中)不解三角形,下列判断中正确的是( ) A.a=30,b=25,A=150°有一解 B.a=9,c=10,B=60°无解 C.a=6,b=9,A=45°有两解 D.a=7,b=14,A=30°有两解 【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,依次分析选项:A、根据正弦定理即可求得 B 的度数,根据 A 为钝角, 判断此选项正确与否;B、根据余弦定理即可求出 B 的值,利用三角形的两边之和大于第三 边,判断此选项正确与否;C、根据正弦定理,以及正弦函数值小于等于 1,即可判断此选 项正确与否;D、根据正弦定理及特殊角的三角函数值,即可判断此选项正确与否.
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【解答】解:A、根据正弦定理得:

=

,解得 sinB=

,因为 A=150°,所以

B 只能为锐角,所以此选项正确; 2 B、根据余弦定理得:b =81+100﹣180cos60°=91,解得 b= 项错误; C、根据正弦定理得: = ,解得 sinB=

,能构成三角形,所以此选

>1,此三角形无解,此选项错误;

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D、根据正弦定理得:

=

,解得 sinB=1,B 为直角,所以此三角形只有一解,

此选项错误. 故选 A 【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,掌握构成三角形的条件是三角形 的两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边, 以及掌握正弦函数的值域范围是[﹣1, 1], 是一道中档题.

7. (2009?南岸区校级模拟)锐角三角形 ABC 中,边长 a,b 是方程

的两

个根,且 ,则 c 边的长是( ) A.4 B. C. D. 【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】由 a 与 b 为已知方程的两个根,利用韦达定理求出 a+b 及 ab 的值,又根据已知的 等式求出 sin(A+B)的值,即为 sinC 的值,由 C 为锐角,利用同角三角函数间的基本关系
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求出 cosC 的值,利用余弦定理得到 c =a +b ﹣2ab?cosC,再根据完全平方公式变形后,将 a+b,ab 及 cosC 的值代入,开方即可求出 c 的值. 【解答】解:∵a,b 是方程 ∴a+b=2 又 ,ab=2, ,即 sin(A+B)= , 的两个根,

2

2

2

∴sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)= ∴cosC= = ,
2 2 2

,又 C 为锐角,

则根据余弦定理得:c =a +b ﹣2ab?cosC=(a+b) ﹣3ab=6, ∴c= . 故选 B 【点评】此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:韦达定理,诱导公式,同角三角函数间 的基本关系,以及余弦定理,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 8. (2009 春?朝阳区期末)如图所示,AB 是塔的中轴线,C、D、A 三点在同一水平线上, 在 C、D 两点用测角仪器测得塔顶部 B 处的仰角分别是 α=30°和 β=60°,如果 C、D 间的距 离是 20m,测角仪器高是 1.5m,则塔高为( ) (精确到 0.1m)

2

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A.18.8m B.10.2m C.11.5m D.21.5m 【考点】三角形中的几何计算. 【专题】计算题. 【分析】求出∠BDC,由三角形的内角和公式求出∠DBC,判断△ BCD 是等腰三角形, BD=CD=20,由 AB =1.5+BDsin60°,运算求得结果. 【解答】解:由题意可得∠BDC=180°﹣60°=120°,∴∠DBC=180°﹣120°﹣30°=30°, ∴△BCD 是等腰三角形,∴BD=CD=20,故 AB=1.5+BDsin60°=1.5+10 =18.8(cm) , 故选 A. 【点评】本题考查直角三角形中的边角关系的应用,求出 BD=CD=20,是解题的关键.
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9. (2009?闸北区二模)在△ ABC 中,设 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边长,且满 足条件 c=2,b=2a,则△ ABC 面积的最大值为( ) A.1 B. C. D.2
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【考点】三角形中的几何计算. 【专题】计算题. 【分析】先利用余弦定理求出 cosC 的值然后利用三角形面积公式可知 S=a sinC=a
2 2 2

,然后化简变形求出 S 的最大值,注意取最大值时 a 的值.
2 2

【解答】解:由公式 c =a +b ﹣2abcosC 和 b=2a c=2 得 2 2 2 4=a +4a ﹣4a cosC 可推出 cosC= = ﹣

又由公式 S 面积= absinC 和 b=2a 得 S=a sinC=a =
2 2

= 当a =
2

时,S 面积取最大值

S 面积最大值= 此时 a= 又 三角形三边 a+b>c,b﹣a<c 所以得 2>a> 所以 a=
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满足要求 所以 S 面积最大值= . 故选 C. 【点评】 本题主要考查了三角形中的几何计算, 同时考查了余弦定理和二次函数的最值等有 关基础知识,属于中档题.

10. (2012?湖南)在△ ABC 中,AB=2,AC=3, A. B. C.2 D. 【考点】解三角形;向量在几何中的应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 设∠B=θ, 由 ?

?

=1,则 BC=(



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=1, 利用平面向量的数量积运算法则列出关系式, 表示出 cosθ,

再利用余弦定理表示出 cosθ,两者相等列出关于 BC 的方程,求出方程的解即可得到 BC 的 长. 【解答】解:根据题意画出相应的图形,如图所示: ∵ ? =1,设∠B=θ,AB=2, ,

∴2?BC?cos(π﹣θ)=1,即 cosθ=﹣

又根据余弦定理得:cosθ=

=



∴﹣ 则 BC= 故选 A

= .

,即 BC =3,

2

【点评】此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:平面向量的数量积运算,余弦定理,以 及诱导公式的运用,熟练掌握定理及法则是解本题的关键. 二.填空题(共 10 小题) 11. (2012 春?海陵区校级期中) 在△ ABC 中, 已知 . 【考点】三角形中的几何计算. 【专题】计算题. , , ∠ABC=60°, 则 =

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【分析】在△ ABC 中,直接利用余弦定理可得 cos60°,求出 ,即可得到 的值.

=

﹣2

【解答】解:在△ ABC 中, 由余弦定理可得 故 = , . =3,是解题的 = ﹣2 cos60°=3,

故答案为

【点评】本题考查向量的模的意义,三角形中余弦定理的应用,求出 关键.

12. (2009 秋?沙坪坝区校级期中)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满 足(2a﹣c)?cosB=bcosC,则角 B 的大小是
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【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】 利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦, 进而利用两角和公式化简整理求得 cosB 的值,从而求得 B. 【解答】 解: 由题意, ∵ (2a﹣c) cosB=bcosC, 由正弦定理得: (2sinA﹣sinC) cosB=sinBcosC. . ∴2sinA?cosB﹣sinC?cosB=sinBcosC 化为:2sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC ∴2sinA?cosB=sin(B+C) ∵在△ ABC 中,sin(B+C)=sinA ∴2sinA?cosB=sinA,得: ∴ 故答案为 【点评】本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理的运用,考查两角和公式.考查了学生 综合分析问题和解决问题的能力. 13. (2008 秋?鹿城区校级期末) △ ABC 中, a、 b、 c 分别为∠A、 ∠B、 ∠C 的对边, CcosB=bcosC, 且 ,则 sinB=
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【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而求得 tanB=tanC,从而推断 出∠B=90°﹣ ,进而利用 sinB=cos ,利用二倍角公式求得答案.

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【解答】解:由正弦定理可知 c=2rsinC,b=2rsinB,ccosB=bcosC, ∴sinCcosB=sinBcosC ∴tanB=tanC ∴∠B=∠C ∠B=90°﹣ ∴sinB=cos 故答案为 【点评】本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理的应用和二倍角公式的化简求值.解题 的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化. 14. (2015 秋?闸北区月考)如图,靠山有一个水库,某人先从水坝的底部 A 测得水坝对面 的山顶 P 的仰角为 40°,再沿坝面向上走 80 米到水坝的顶部 B 测得∠ABP=56°,若坝面与 水平面所成的锐角为 30°,则山高为 176 米; (结果四舍五入取整) = =

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;解三角形. 【分析】在△ PAB 中使用正弦定理求出 PA 的长,再在直角三角形中利用三角函数定义求出 上高. 【解答】解:如图,∠PAB=180°﹣30°﹣40°=110°,∴∠APB=180°﹣110°﹣56°=14°.
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在△ ABP 中,由正弦定理得: ∴AP= ≈274.4.

,即



∴山高 h=APsin40°≈176. 故答案为 176. 【点评】本题考查了解三角形的实际应用,属于中档题. 15. (2015?鄞州区模拟) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, AD=1, CD=2, AC= ;又若 cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,则 BC= 3 . , 则 cos∠CAD=

【考点】三角形中的几何计算.

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【专题】解三角形. 【分析】由题意在△ ADC 中应用余弦定理易得 cos∠CAD,进而由同角三角函数基本关系 可得 sin∠CAD 和 sin∠BAD,再由和差角公式可得 sin∠CAB,在△ ABC 中由正弦定理可 得 BC= ,代值计算可得. ,

【解答】解:由题意在△ ADC 中,AD=1,CD=2,AC= ∴由余弦定理可得 cos∠CAD= ∴sin∠CAD= 同理由 cos∠BAD=﹣ = , , = ,

可得 sin∠BAD=

∴sin∠CAB=sin(∠BAD﹣∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD = × + × =

在△ ABC 中由正弦定理可得 BC=

=

=3

故答案为:

;3

【点评】本题考查三角形中的几何运算,涉及正余弦定理的综合应用,属中档题. 16. (2015?太原校级二模)如图在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ,沿 BE 方 向前进 15m,至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2θ,再继续前进 5 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4θ,则建筑物 AE 的高为 m .

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】解三角形. 【分析】由题意可得 AC=BC=15,AD=CD=5 ,由余弦定理可得 cos4θ,进而可得 sin4θ, 在△ ADE 中,AE=ADsin4θ,代值计算可得. 【解答】解:由题意可得 AC=BC=15,AD=CD=5 , 在△ ACD 中由余弦定理可得 cos(π﹣4θ)
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=

=

=﹣ ,

第 15 页(共 26 页)

∴cos4θ= ,sin4θ=

, ×

∴在△ ADE 中,AE=ADsin4θ=5 故答案为: m

【点评】本题考查解三角形的实际应用,涉及余弦定理和等腰三角形的知识,属中档题. 17. (2015?开封模拟)如图,已知△ ABC 中,∠ABC=90°,延长 AC 到 D,连接 BD,若 ∠CBD=30°且 AB=CD=1,则 AC= .

【考点】解三角形. 【专题】综合题;解三角形.
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【分析】 延长 BC, 过 D 作 DE⊥BC, 垂足为 E, 则△ ABC∽△DEC, 设 AC=x, 则 BC= DE= ,CE= ,求出 DE=BE?tan30°,即可得出结论.



【解答】解:如图所示,延长 BC,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,则△ ABC∽△DEC, 设 AC=x,则 BC= ∵∠CBD=30°, ∴DE=BE?tan30°, ∴ =( + )? ,DE= ,CE= ,

∴x=

. .

故答案为:

【点评】本题考查解三角形,考查三角形相似的判断,属于中档题. 18. (2015 春?宿迁期末)如图,在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为 30° 的斜坡 AS 走 2000 米至 S 点,又测得山顶∠DSB=75°,则山高 BC 为 2000 米.
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【考点】解三角形的实际应用. 【专题】解三角形. 【分析】作出图形,过点 S 作 SE⊥AC 于 E,SH⊥AB 于 H,依题意可求得 SE 在△ BDS 中 利用正弦定理可求 BD 的长,从而可得山顶高 BC. 【解答】解:依题意,过 S 点作 SE⊥AC 于 E,SH⊥AB 于 H, ∵∠SAE=30°,AS=2000 米, ∴CD=SE=AS?sin30°=1000 米, 依题意,在 Rt△ HAS 中,∠HAS=45°﹣30°=15°, ∴HS=AS?sin15°, 在 Rt△ BHS 中,∠HBS=30°, ∴BS=2HS=4000sin15°, 在 Rt△ BSD 中, BD=BS?sin75° =4000sin15°?sin75° =4000sin15°?cos15° =2000×sin30°
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=1000 米. ∴BC=BD+CD=1000+1000=2000 米; 故答案为:2000.

【点评】本题考查正弦定理的应用,考查作图与计算的能力,关键是将实际问题转化为数学 问题中的解三角形的问题解答;属于中档题. 19. (2015 春?眉山期末)如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相 距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ+30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sinθ= .

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【考点】解三角形的实际应用. 【专题】解三角形. 【分析】连接 BC,在三角形 ABC 中,利用余弦定理求出 BC 的长,再利用正弦定理求出 sin∠ACB 的值,即可求出 sinθ 的值 【解答】解:连接 BC,在△ ABC 中,AC=10 海里,AB=20 海里,∠CAB=120°
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根据余弦定理得:BC =AC +AB ﹣2AC?AB?cos∠CAB=100+400+200=700, ∴BC=10 海里, 根据正弦定理得 即 , ,

2

2

2

∴sin∠ACB= ∴sinθ= 故答案为: ;





【点评】本题考查了解三角形问题的实际应用,通常要利用正弦定理、余弦定理,同时往往 与三角函数知识相联系. 20. (2015 春?重庆校级期末)在△ ABC 中,AB=3,BC=2,AC= ,AD 为 BC 边上的中 线,则△ ABD 内切圆半径 r 的值为 2 ﹣ . 【考点】解三角形. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】利用余弦定理求出 cosB,进而求出 AD,由等面积可得△ ABD 内切圆半径 r 的值.
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【解答】解:△ ABC 中,AB=3,BC=2,AC= 所以 AD= 由等面积可得 =2 = (3+1+2 ,

,所以 cosB=

=﹣ ,

)r,

所以 r=2 ﹣ . 故答案为:2 ﹣ . 【点评】本题考查△ ABD 内切圆半径 r 的值,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于 中档题. 三.解答题(共 10 小题)
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21. (2013 秋?德州校级期中)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, ,且 .

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 【考点】解三角形;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【专题】解三角形. 【分析】 (Ⅰ)通过向量的数量积直接得到 A 的正切值,即可求角 A 的大小; (II)通过△ ABC 的面积为 ,以及余弦定理推出 b、c 的关系,通过解方程即可求 b,c
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【解答】解: (Ⅰ)因为 所以 = cosA+sinA=0,

,且



所以 tanA= , ∵A∈(0,π) , ∴A= . ,且 A= ,

(Ⅱ)∵S△ ABC=

,故 bc=4,…①

又 cosA=

且 a=2,



,从而 b2+c2=8…②,

解①②得,b=c=2. 【点评】本题考查向量的数量积以及三角形的面积公式,余弦定理的应用,考查计算能力.

22.在△ ABC 中,已知 B=45°,外接圆半径 边上的高,求三边. 【考点】三角形中的几何计算. 【专题】计算题. 【分析】 由正弦定理得 可分别求得 hc,hb 代入

、hc 分别为 b,c

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, 可求得 b; 根据△ ABC 的面积 S= 整理可得 =

=

= acsinB,

,进而求得 a;由 C 向 AB 作垂线,交

点为 D 可知 CD=asinB 求得 CD,根据 BD=CD 求得 BD,在直角三角形 ADC 中求得用勾股 定理求得 AD,进而求得 AB,即 c. 【解答】解:由正弦定理得
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∴b=2rsinB=2 △ ABC 的面积 S= ∴hc=asinB= a,hb= = = acsinB

∴ ∴ = ,即 a= =2

由 C 向 AB 作垂线,交点为 D,则 CD=asinB= ∴BD=CD= ,AD= =

∴c=AB=BD+AD= 即三边长分别为 b=2 ,a=2 ,c═ 【点评】本题主要考查三角形中的几何计算.常涉及正弦定理、余弦定理和面积公式等常用 公式,故应熟练记忆.

23. (2015?内江三模)已知向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) . (1)当 ∥ 时,求 cos x﹣sin2x 的值; (2)设函数 f(x)=2( c,若 a= ,b=2,sinB= )? ,已知在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 ,求 f(x)+4cos(2A+ ) (x∈[0, ])的取值范围.


2

【考点】解三角形;平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数的恒等变换及化简求值.
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【专题】计算题. 【分析】 (1)由 可得 ,从而可求 tanx,而

(2)由正弦定理得,

可求 A=

代入可得 可求函数的值

,结合已知 x 域 【解答】解: (1)∵ ∴
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(2 分)

(6 分)

(2) 由正弦定理得, 所以 A= (9 分) (a<b,即 A<B) ,

∵ 所以

∴ (12 分)
2 2

【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示,利用 1=sin x+cos x 的代换,求解含有 sinx, cosx 的齐次式,向量的数量积的坐标表示,三角函数在闭区间上的值域的求解. 24. (2014?蚌埠一模) 在锐角△ ABC 中,a、b、 c 分别为角 A、 B、C 所对的边, 且 (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ ABC 的面积为
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,求 a +b 的值.

2

2

【考点】解三角形. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)根据 (Ⅱ)由面积公式得 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴sinC= ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= (Ⅱ)∵c= 分) ∴ab=6 由余弦定理得 a +b ﹣2abcos
2 2

,利用正弦定理得 =

,从而可求 C 的大小;

,从而可得 ab=6,由余弦定理,可得结论. …(2 分) …(4 分) …(6 分) ,∴由面积公式得 = …(8

,∴由正弦定理得

,C=

,△ ABC 的面积为

…(9 分) =7
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…(11 分)

∴a +b =13 …(12 分) 【点评】本题考查正弦、余弦定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 25. (2013 春?西区校级期中) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A、 B、 C 的对边, 且 a +b =c + (1)求 C; (2)若 = ,求 A.
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2

2

2

2

2

ab.

【考点】解三角形;三角函数的恒等变换及化简求值. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】 (1)利用题设等式整理代入余弦定理中求得 cosC 的值,进而求得 C. (2)利用正弦定理把题设等式中变转化为角的正弦,利用二倍角和公式和两角和公式求得 cosB 的值,进而求得 B,最后利用三角形内角和求得 A. 【解答】解: (1)∵a +b =c + ∴cosC= ∴C=45°. (2)由正弦定理可得 ∴ = = = , ,
2 2 2

ab,∴

=



∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB,∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,∴sinA=2sinAcosB. ∵sinA≠0, ∴cosB= ,∴B=60°, A=180°﹣45°﹣60°=75°. 【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的理解和应用.

26. (2012?西安一模)三角形的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 =(c ﹣a,b﹣a) , =(a+b,c) ,若 .

(1)求角 B 的大小. (2)求 sinA+sinC 的取值范围. 【考点】解三角形. 【分析】 (1)利用两向量平行的性质以及两向量的左边可求得 a,b 和 c 的关系式,代入余 弦定理中求得 cosB 的值,进而求得 B.
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(2)根据(1)中 B,可知 A+C=

,进而可把 sinC 转化成 sin(

﹣A) ,展开后,利

用两角和公式化简,利用 A 的范围来确定 sinA+sinC 的范围.
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【解答】解: (1)∵



∴c(c﹣a)=(a+b) (b﹣a) , 2 2 2 ∴c ﹣ac=b ﹣a , ∴cosB= ∴B= (2)∵A+B+C=π,∴A+C= ∴sinA+sinC=sinA+sin( ∵0<A< ∴ <A+ < π )≤1, ﹣A)=sinA+ cosA+ sinA= sin(A+ ) =

∴ <sin(A+ ∴

<sinA+sinC≤

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用,两角和公式的化简求值.考查了学生分析问题的 能力和基本运算的能力. 27. (2011?江门一模)如图,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680km 的空中 B 处,为 避开直飞途中的雷雨云层,飞机在 A 处沿与原飞行方向成 θ 角的方向飞行,在中途 C 处转 向与原方向线成 45°角的方向直飞到达 B 处.已 (1)在飞行路径△ ABC 中,求 tanC; (2)求新的飞行路程比原路程多多少 km. (参考数据: , )

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)由 θ 角的正弦由平方关系得 θ 角余弦,进而得 θ 角正切,由三角形内角和得 角 C 与 θ 角的关系,由诱导公式和两角和的正切公式得 tanC;
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第 23 页(共 26 页)

(2)由三角形内角和得角 C 与 θ 角的关系,由诱导公式和两角和的正弦公式得 sinC,由正 弦定理得 AC、BC 的长度,进而得出要求的量. 【解答】 (1)
0

,θ 是锐角,所以
0

(1 分) ,

tanC=tan[π﹣(θ+45 )]=﹣tan(θ+45 ) (2 分) , = (4 分) ,

=

(5 分) .

(2) 由正弦定理 得 (13 分) ,

(7 分) , (9 分) , (11 分) ,

新的飞行路程比原路程多 (14 分) . 【点评】本题考查解三角形的实际应用,做这类是需要仔细观察,要求的量与已知的量有什 么样的关系,一一破解; 本题用到的知识点有诱导公式,两角和公式,正弦定理,正弦定理在解三角形时,用于下面 两种情况:一是知两边一对角,二是知两角和一边. 28. (2011?未央区校级模拟)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14, ∠BDA=60°,∠BCD=135° 求 BC 的长.

【考点】解三角形;三角形中的几何计算. 【专题】数形结合. 【分析】由余弦定理求得 BD,再由正弦定理求出 BC 的值. 2 2 2 【解答】解:在△ ABD 中,设 BD=x,则 BA =BD +AD ﹣2BD?AD?cos∠BDA, 2 2 2 2 即 14 =x +10 ﹣2?10x?cos60°,整理得:x ﹣10x﹣96=0, 解之:x1=16,x2=﹣6(舍去) .
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由正弦定理得: ∴ .



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【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,一元二次方程的解法,求出 BD 的值,是解 题的关键. 29. (2013 春?当涂县校级月考)如图,在山脚 A 测得出山顶 P 的仰角为 α,沿倾斜角为 β 的斜坡向上走 a 米到 B,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 γ,求证:山高 h= .

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;解三角形.

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【分析】 △ PAB 中, 由正弦定理可得 PB= 通分化简可得结果. 【解答】证明:△ PAB 中,∠PAB=α﹣β,∠BPA=( ∴ ∴PQ=PC+CQ=PB?sinγ+asinβ= ∴h= . ,即 PB= ,

, 根据 PQ=PC+CQ=PB?sinγ+asinβ

﹣α)﹣( .

﹣γ)=γ﹣α,

【点评】 本题考查正弦定理的应用, 直角三角形中的边角关系, 求出 PB= 是解题的关键.



30. (2012?湖南一模)如图,有一块边长为 1km 的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可 转动的探照灯, 其照射角∠PAQ 始终为 45°(其中点 P, Q 分别在边 BC, CD 上) , 设∠PAB=θ, tanθ=t
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(Ⅰ)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△ CPQ 的周长 l 是否为定值. (Ⅱ)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值是多少(km )?
2

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;不等式的解法及应用. 【分析】 (1) 利用已知条件,结合直角三角形,直接用 t 表示出 PQ 的长度,然后推出△ CPQ 的周长 l 为定值.
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(2)利用 S=S 正方形 ABCD﹣S△ ABP﹣S△ ADQ,推出探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面 积 S,利用基本不等式求出面积的最小值. 【解答】解: (1)BP=t,0≤t≤1, ∠DAQ=45°﹣θ,DQ=tan(45°﹣θ)= CQ=1﹣ ∴PQ= = . , ,

∴l=CP+CQ+PQ =1﹣t+ +

=1﹣t+1+t=2. (2)S=S 正方形 ABCD﹣S△ ABP﹣S△ ADQ =1﹣ ﹣ ? =2﹣ (t+1+ )

≤2﹣ . 当 t= ﹣1 时取等号. 探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2﹣

(km ) .

2

【点评】本题考查三角形的实际应用,函数值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力.

第 26 页(共 26 页)


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