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福州市2014届高三5月综合练习理数


2014 届福州市高三 5 月综合练习 数学(理科)试卷

第Ⅰ卷(选择题
目要求的. 1.复数 z ?

共 50 分)

一、 选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

3 ? ai ( i 为虚数单位且 a ? 0 )在复

平面内对应的点位于( i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

A.第一象限

2.已知集合 M ? x 1 ? x ? a? , N ? x 1 ? x ? 3? ,则“ a ? 3 ”是“ M ? N ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ) D. ? )

?

?

)

D.既不充分也不必要条件

3.若 cos 2t ? ? cos xdx ,其中 t ? (0, ? ) ,则 t ? (
0

?

t

A.

? 6
x

B.

? 2

C.

5? 6

4.函数 y ? x ? 2 的部分图象如下,其中正确的是(

A


B

C

D

5. 已知 an ? 3n ? 2 ,n∈N ,如果执行右边的程序框图,那 么输出的 s 等于( A.18.5 B.37
2

) C.185 D.370

6.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的值域为 0,1, 2? ,则满足这 样条件的函数的个数有( A.8 B.9 )个. C.26 D.27

?

x2 y2 7.设 F1、F2 分别为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以 F1F2 a b
为直径的圆交双 曲线的某条渐近线于 M 、 N 两点 , 且满足 ? MAN=120 , 则该双曲线的离心率为
o

( A.

)

7 3 3

B.

7 3

C.

21 3

D.

19 3

8.设已知 a, b, m 均为整数( m ? 0 ),若 a 和 b 被 m 除所得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记
0 1 2 40 为 a ? b(mod m) , 若 a ? C40 ? C40 ? 2 ? C40 ? 22 ? ? ? ? ? C40 ? 240 , 且 a ? b(mod10) , 则 b 的值

可以是( A.2011

) B.2012 C.2013 D.2014

9. 如 图 , 己 知 | OA |? 5, | OB |? 3 , ∠ AOB 为 锐 角 ,OM 平 分 ∠ AOB, 点 N 为 线 段 AB 的 中 点, OP ? xOA ? yOB ,若点 P 在阴影部分(含边界)内, 则在下列给出的关于 x、y 的式子中,①x≥0,y≥0; ②x-y≥0;③x-y≤0;④5x-3y≥0;⑤3x-5y≥0. 满足题设条件的为( A.①②④ ) B.①③④ C.①③⑤ D.②⑤

10.在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四 个不同的口令 a, b, c, d ,每 次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能 地随机选用一种.设第1次使用 a 口令,那么第5次也使用 a 口令的概率是( A. )

7 27

B.

61 243

C.

1 108

D.

1 243

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

? ?2 x ? y ? 3 ? 0,? ? ? ? 11.在集合 ?( x, y ) | ? x ? y ? 0, ? 所表示的平面区域内任取一点 M,则点 M 恰好取自 x 轴上方的 ? ? x? y ?0 ? ? ? ?
概率为___ _____.

3 12.在△ABC 中,AB=2,D 为 BC 的中点,若 AD ? BC = ? ,则 2

AC=_____

__.

13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体 积为 14.若函数 f ( x) ?

ln kx ? ln( x ? 1) 不存在零点,则实数 k 的取值范围是 2



15. 已 知 f ( x ) 为 定 义 在 (0,+ ∞ ) 上 的 可 导 函 数 , 且 f ( x) ? xf '( x) 恒 成 立 , 则 不 等 式

1 x 2 f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解集为______ x

_____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗 进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,规定高于 128 厘米的树苗为“良种树 苗”,测得高度如下(单位:厘米): 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133; 乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146. (Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据 你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种 树苗高度的统计结论;

(Ⅱ)设抽测的 10 株甲种树苗高度平均值 为 x,将这 10 株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图), 问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义;

(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了 5 株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小 王领取到的“良种树苗”的株数 X 的分布列.

17. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,已知 a ? 1 ,平面向量 m ? (sin(? ? C),cos C) ,

n ? (sin( B ? ),sin B) ,且 m ? n ? sin 2 A . 2
(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积; (Ⅱ)已知 O 为△ABC 的外心,由 O 向边 BC、CA、AB 引垂线,垂足分别为 D、E、F,求

?

| OD | | OE | | OF | ? ? 的值. cos A cos B cosC

18. (本小题满分 13 分) 如图长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,E 为 BB1 延长线上的一点且 满足 BB1 ? B1E ? 1. (Ⅰ)求证: D1E ? 平面 AD1C ; (Ⅱ)当

? B1 E 为何值时,二面角 E ? AC ? D1 的大小为 . 4 BB1

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

1 3 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,点(1, )在椭圆 C 上. 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若椭圆 C 的两条切线交于点 M(4, t ),其中 t ? R ,切点分别是 A、B,试利用结论:在椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上的点( x0 , y0 )处的椭圆切线方程是 02 ? 02 ? 1 ,证明直线 AB 恒过椭圆的右焦 2 a b a b
点 F2 ; (Ⅲ)试探究

1 1 的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由. ? | AF2 | | BF2 |

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (其中 k ? R ), f ' ( x) 为 f(x)的导函数. ex

(Ⅰ)求证:曲线 y= f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线不过点(2,0); (Ⅱ)若在区间 (0,1] 中存在 x0 ,使得 f ' ( x0 ) ? 0 ,求 k 的取值范围;

e?2 ? 1 (Ⅲ)若 f ' (1) ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0 , f ( x) ? 2 恒成立. x ?x
'

21.(本题满分 14 分) (1)二阶矩阵 A,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.

(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵 A,B; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算 C=BA,并求出曲线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 C 对应的变换作用下的曲线 方程. (2)已知曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立平面直角 坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? t cos ? ( t 为参数). ? y ? 1 ? t sin ?

(Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C1 交于 A 、 B 两点,点 M 的直角坐标为(2,1),若 AB ? 3MB ,求直线 l 的普通方程. (3)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| . (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (Ⅱ)当 a ? 0 时, 不等式 2a ? 3 ? f (ax) ? af ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2014 届福州市高三 5 月综合练习 数学(理)参考答案
1-5 11. DABCA 12.1 6-10 BCABA 13.

1 4

4 3? 27
甲 9

14. [0,4)

15.{x|x>1}.

16. 解:(1)茎叶图如图所示:(2 分) 乙 11 5 9 7 12 13 14 4 0 6 0 6 6 7 0 4 7

0 1

1 3 2 3

统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗高度的中位数为 127,乙种树苗高度的中位数为 128.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分 散.??????????????????4 分(每写出一个统计结论得 1 分) (2)依题意,x=127,S=35. (6 分)

S 表示 10 株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量. S 值越小,表示树苗长得越整齐,S 值越大,表示树苗长得越参差不齐.
1 ? 1? 。(10 分) (3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为 ,则 X~B?5, ?, 。 2 ? 2? 所以随机变量 X 的分布列为

X P

0 1 32

1 5 32

2 5 16

3 5 16

4 5 32

5 1 32 。。。。。。。。。。 13 分

17. (1)由题意, sin 2 A ? sin C cos B ? sin B cos C 得 2sin A cos A ? sin( B ? C ) ? sin A ??????????????????2 分 由于 ?ABC 中 sin A ? 0 ,? 2cos A ? 1 , cos A ?

1 ????????????3 分 2

∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? 2R=

3 ?????????????????????4 分 2

a 2 1 ? ? ,R ? , S ? -----------------------------------------6 分 sin A 3 3 3

(2)因为 O 为△ABC 的外心,由 O 向边 BC、CA、AB 引垂线,垂足分别为 D、E、F, 所以

| OD | | OE | | OF | | OD | | OE | | OF | = 3 -----13 分 ? ? ? R ,故 ? ? cos A cos B cosC cos A cos B cosC

18。 解:(Ⅰ)如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A(1,0,0),C(0,1,0),设 DD1 ? m, B1E ? n , 由于 BB1 ? B1E ? 1,所以 mn ? 1 ,并且 D1 (0,0, m) ,

E(1,1, m ? n ),

?????? 2 分

? D1E ? (1,1, n) , AD1 ? (?1,0, m) , CD1 ? (0, ?1, m) ,

D1E ? AD1 ? ?1? mn ? 0 ,? D1E ? AD1


D1E ? CD1 ? ?1? mn ? 0 ,? D1E ? CD1
AD1 ? CD1 ? D1 ,? D1E ? 平面 AD1C
?????? 6 分

(Ⅱ) AE ? (0,1, m ? n) , CE ? (1,0, m ? n) 设平面 EAC 的法向量为 t ? ( x, y, z) ,则 ?

? ?t ? AE ? 0 ? ?t ? CE ? 0

, 即?

? y ? z (m ? n) ? 0 ,令 z ? 1 , x ? z ( m ? n ) ? 0 ?

则 x ? y ? ?(m ? n) ,?t ? (?m ? n, ?m ? n,1) .

?????? 9 分

D1E ? 平面 AD1C ,? 平面 AD1C 的法向量 D1E ? (1,1, n)

? cos

?
4

?|

?2m ? 2n ? n 2 2 t ? D1E |? ,解得 m ? 2, n ? ?? 12 分 | ,即 | 2 2 2 2 | t | ?| D1E | 2(m ? n) ? 1 ? 1 ? 1 ? n

?当

? B1 E 1 ? 时,二面角 E ? AC ? D1 的大小为 . ?????? 13 分 4 BB1 2

x2 y 2 19.解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b b2 3 ? 1 ? e2 ? ① 2 4 a
点(1,

3 1 9 )在椭圆 C 上, 2 ? 2 ? 1②, 2 a 4b

由①②得: a2 ? 4, b2 ? 3

x2 y 2 ? 1 , ?????? 4 分 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3
(Ⅱ)设切点坐标 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则切线方程分别为 又两条切线交于点 M(4, t ),即 x1 ? 即点 A、B 的坐标都适合方程 x ? 故直线 AB 恒过椭圆的右焦点 F2 . (Ⅲ)将直线 AB 的方程 x ? ?

x1 x y1 y xx y y ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1. 4 3 4 3

t t y1 ? 1 , x2 ? y2 ? 1 3 3

t y ? 1 ,显然对任意实数 t ,点(1,0)都适合这个方程, 3
?????? 7 分

t y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3

t t2 3(? y ? 1) 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ( ? 4) y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 3 3
所以 y1 ? y2 ?

6t 27 , y1 y2 ? ? 2 ?????? 10 分 t ? 12 t ? 12
2

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , | AF2 |? ( x1 ? 1) ? y1 ? (
2 2

t2 t2 ? 9 ? 1) y12 ? y1 , 9 3

同理 | BF2 |? ?

t2 ? 9 y2 3

所以

( y2 ? y1 ) 2 4 3 y ?y 1 1 3 1 1 3 ? ? = ? ( ? )? ? 2 1 =? y1 y2 3 | AF2 | | BF2 | t 2 ? 9 y1 y2 t2 ? 9 t 2 ? 9 y1 y2
4 1 1 ? 的值恒为常数 .?????? 13 分 3 | AF2 | | BF2 |

所以

ln x ? k 1 ? kx ? x ln x ' 得 f ( x) ? , x ? (0, ??) , x e xe x 1? k ' 所以曲线 y= f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线斜率为 f (1) ? , e k k 1? k f (1) ? ,? 曲线 y= f ( x) 切线方程为 y ? ? ( x ? 1) , e e e k 1? k (2 ? 1) ,得到 0=1 产生矛盾,所以假设错误, 假设切线过点(2,0),代入上式得: 0 ? ? e e
20.解:(Ⅰ)由 f ( x) ? 故曲线 y= f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线不过点(2,0)????4 分 (Ⅱ)由 f ' ( x0 ) ? 0 得 k ?

1 ? x0 ln x0 x0

0 ? x0 ? 1 ,? k ' ? ?

x0 ? 1 ? 0 ,所以 k ( x0 ) 在(0,1]上单调递减,故 k ? 1 ????7 分 x0 2
x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) .. ex

(Ⅲ)令 g ( x) ? ( x2 ? x) f ' ( x) ,当 x0 =1 时, k ? 1 ,所以 g ( x) ? 因此,对任意 x ? 0 , g ( x) ? e ? 1 等价于 1 ? x ? x ln x ?
?2

ex (e?2 ? 1) .????9 分 x ?1

由 h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .所以 h' ( x) ? ? ln x ? 2, x ? (0, ??) . 因此,当 x ? (0, e?2 ) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递增; x ? (e?2 , ??) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递减. 所以 h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? e?2 ? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ? e 设
?2

?1 .

????12 分

? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,
增, ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,

? ?时 ) ? ' ( x) ? 0 , ? ( x ) 单 调 递 ? ' ( x) ? ex ?1 , 所 以 x ? ( 0 ,

ex ? 1. 故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e ? ( x ? 1) ? 0 ,即 x ?1
x

所以 1 ? x ? x ln x ? e

?2

?1 ?

ex (e ?2 ? 1) . x ?1 e?2 ? 1 恒成立 x2 ? x
????14 分

因此,对任意 x ? 0 , f ( x) ?
'

21.(1) 解 :( Ⅰ ) 由题意 , 二阶矩阵 A 对应的变换是横坐标不变 , 纵坐标变为原来一半的变换 , 故

?1 A?? ?0 ?

0? ? 1? 2?
0

二阶矩阵 B 对应的变换是逆时针旋转 90 的旋转变换,故 B ? ?

? 0 ?1? ? ?1 0 ?

????4 分

1? ?1 0 ? ? 0 ? ? ? 0 ?1? ? ? ? (Ⅱ) C=BA= ? 2 1 ? ,? C ? ? ? ? ?1 0 ? ?0 1 0 ? 2? ? ?
设曲线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点为 (m, n) ,变换后的点坐标为 ( x, y )

1? 1 ? ? ? x ? ?0 ? ?? m? ?x ? ? n 2 ? ? ,?? 2 , ? ??? ? y ? 1 0 ?? n ? ? ? ? ? y?m
2 x ? y ? 1? 0

m ? n ? 1 ? 0 ? 2x ? y ?1 ? 0 故 所 求 的 曲 线 方 程 为

????7 分

21.(2)解:(Ⅰ)由 ? ? 4cos ? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,

? 2 ? x2 ? y 2 , x ? ? cos?

? 曲线 C1 的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? 4 x ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . ????3 分
(Ⅱ)设 A(2 ? t1 cos? ,1 ? t1 sin ? ) , B(2 ? t2 cos? ,1 ? t2 sin ? ) , 由已知 | MB |? 2 | MB | ,得 t1 ? ?2t2 ① 联立直线的参数方程与曲线 C1 的直角坐标方程得: t cos
2

????4 分
2 2

? ? (1 ? t sin ? )2 ? 4 ,

整理得: t ? 2t sin ? ? 3 ? 0 ,?t1 ? t2 ? ?2sin ? , t1 ? t2 ? ?3 ,与①联立得:

sin ? ?

6 10 , cos ? ? ? 4 4

? ?x ? 2 ? ? ? 直线的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?

? 10 t ?x ? 2 ? 4 ( 为参数)或 ? t ? 6 ? y ? 1? t ? 4 ?

10 t 4 ( 为参数) t 6 t 4

消去参数的普通方程为 15x ? 5 y ? 2 15 ? 0 或 15x ? 5 y ? 2 15 ? 0 ????7 分

21.(3)解:(Ⅰ)原不等式等价于: 当 x ? 1 时, ?2 x ? 3 ? 2 ,即

1 ? x ? 1. 2 5 . 2
????4 分

当 1 ? x ? 2 时, 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 当 x ? 2 时, 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? 综上所述,原不等式的解集为 { x |

1 5 ? x ? }. 2 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时, f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 1| ? | ax ? a | = | ax ? 1| ? | a ? ax |

? | ax ? 1 ? a ? ax |?| a ? 1|
所以 2a ? 3 ?| a ? 1|

?a ? 2

?????7 分


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