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2007年南昌市高中数学竞赛


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20 年第 5期  08

3  1

20 07年南 昌市高 中数学 竞赛 
说 明: 题号后标高一( 高二) 的为参赛高  ( 高二 ) 学生解答题 , 未标的为参赛学生共  同解 答 题 .   选择题( 每小题 6 , 3 分) 分 共 6   1()高 一 ) 、 、 .i( a b c为实数 , 集合  A={   =a 一 a ,  I   4}  


( ) c=b Aa   () C a+c b =2  

( )  +c =b B0    



( + =  D  吾 ) 1  



B={  YI   Y=b +2   6—3 , }  

(i( 二 ) 方 形 A C 的边 长 为 2 E i 高 ) 正 BD ,  是边 A B的 中点 , 将△ E D、 E C分别 沿  A △ B E E D、 C折起 , E E 使 A、 B重合 , 形成一个 四面  体. 则此四面体的体积是(   ) .  

C={  = ̄ c +6 +1 Z  /   c O一5  I z } 的关 系 为 (   )  .
( )     n C=(  B An   2 j ( 非 上 述情 形  D) ( A=B=C A)   () C AUBUC=R  

(  ( ( ( A B c 。 ) ) ) ) 去      
4若  . 为锐 角 , 且  3i a+2i 』=1  s2 n s 29 , n
3i a一 s  p=0  s 2 2i 2 n n , 则 s( i a+2 )   )  n p =( . (   A) () B  () c  ( )  91

() 二)椭圆 + 1 i( 若   告= 与双曲   i高 线
一  

= (、 > ) 1 0 b o有共同的焦点 , 则椭 圆   ) .  
() c  () 。 

的离心率为(  
(  A

5 平 面上有 7个 点 , 三点 共 线 . . 无 以这些 

() B 

2( ( .i 高一) ) 函数 y 擘 :  
S n  1 + COS  一 

的  

点为顶点作 三角形 , 使所作 的任两个 三角形  至多有一个公共顶点而无公共边 . 则所能作  出 的三角 形个 数 的最 大值 为 (   )  . ( 3 i)  ( )  n7 ( )1 ( ) 5 C2 9 3 

值 域是 (  

)  .

6【1   )] . ( + 一 的个位数字是 ( o  

) 其  (

([ 3 A , ) 】

( E  , ] B2 2   )一 +

中 ,[ 表 示不 超过  的最 大整 数 )   ] .
( 1 A)  ( )  n3 () 、 ( 7 C5 9) 

([-4 1([ 1 ] c 1 + 。1 ,   ) , ] )- +    ̄
(i( 二 ) i 高 ) 已知 a b c d为互 不相 等 的  、、、 正数 , 且 
a+ b= 1  = ,   ,  

二 、 空题 ( 填 每小 题 9 , 5、 ) 分 共 4分  

y √ +b , : 厂 + =0     z v    .   则 下 列关 系式 中 , 成立 的是 (   )  .

( ) Y> A >  
() C Y>z   >

()  >Y B >  
( z D) >Y>  

7() 高一 ) A={ , , , ,3 1 } .i( 设 2 4 7 8 1 ,5 .   如果非空集合  满足  的各元素加 4后成  为 A的一个子集 , 的各元 素减 4   后也成为  A 的一个 子集 , M = 则   .   ( )高二 ) 12 … , 这九个数随机填  i( i 将 ,, 9 入3 3 × 棋盘的九个格子 中( 每格填写一数 ) .   则使 每行 、 每列填 数 和 皆为奇 数 的概率 为  8 ()高一) .i( 已知 函数 

3 ()高一 ) .i( 在△ A C中, B 使 

s As +2=s  i +2 s cB 2 i i o2   n n 2 罢 导  
成立 的充 要条 件 是 (   )  .

)2 (  {  =o寺 + ) c s
的最小 正周 期 不 大 于 2 则 正 整 数  的最 小  .

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3  2

中 等 数 学 
.  


值为



2+  

<  

+  

( )高二 ) i( i 直线 Y: 一 交抛 物线 Y   2   :8  于点 A  . A 中点的横坐标为 2则  、 若 B ,
i 彻 i :  .  

<2+  

.  

9( ( . )高一) i  

c 。 o 1  s0

计 :: + … . 算 击 ++     1
参 考 答 案 
_ 、 . iA.. . 1 ()  
A:B:C={ J≥ 一4 . tt     }  

( )高二 ) 123 4 56 i( i 用 , , , ,, 这六个数字  分别 给正 方体 的六 个 面 编号 . 果 一 个 编 了  如 号 的正方 体 经适 当摆 放后 可 与另 一个 正方 体  的编 号完 全重 合 , 则认 为是 相 同 的编号 方式 .   那 么 , 同 的编 号方 式共 有  不 种.  


(iD. i   ) 由 2  一6 =口 +2   得 口 a     6 ,  :3    b.


1若 ≥  0  .
, 一  
— —

:, 譬则  
.  
0n 2 .  


2  一6 5  5 0   b  
—   广   ,  

 ̄3  /0
—   ’  

。  

? 

1. 1数列 {  满足 0}
01:8, 02:2   6,
口  = 0n
—  

2 () . .iB  因 2i ?O  一3=(i  +cs )   s   CS n s n 0   一 4所 以 , , Y=(i +CS ) . s  n O  +2 

+ 0n 2 + 0 




 

又 一 ̄ ≤s   +cs , i   n o ≤ ̄ ,0 , 贝   
2一   ≤ y≤ 2 +   .  

则 0o 1:


.  


1 . 函数 f( : 2设  )R— R, 满 足 对 任 意  且
的  、 ∈R, Y  

(iB  i . )
一  

f  ) ( ) ( _ Y  厂

:∞ + +  ̄ ac   +b )   2 / bd一( d 
>0,  


f 2 +3 +3 ( +Y 一3 ( +  . (  ) f  ) f ) 6   则 f )   ( : .  




2  
一  

(c   ) (  +bd 2b ) n+ 一 nc   + a   

三 、 答题 ( 小题 2 分 , 6 ) 解 每 0 共 0分   1 . 求 最 小 的正 数 0, 得 存 在 正 数  3试 使

:  

( —0 +b ( —6 一2 d ̄c  1 ) d 1 ) b /d

: 0 c+ a d 一2 6√ 6 b 0  

6 当 ∈[ ,] , ,  0 1时 恒有 
/r +/r ≤2   。  r    r   一 . 对 于 所 求 得 的 o 确 定 满 足上 述 不 等 式  , 的最大 正数 6  .
1 。 图 1 四 边  4如 ,
形 AC B D、 四 边 形 
C  

:o c+d一2 ̄ c >0  h( / d) .
因此 ,   >Y   > .

3 ()   . iC.
s 2A +s 2B +s 2C :cs B i  n i  n i  n 。z    

§  — — — — 一

+ ——   ~   —

: c s B  o 

B F 皆为 直 角 梯 形 , CE  

其 中, C / B, F / D / A C / 
B B E, C上 A E B, F上  B A、 D、 在 一  E, E、 F
、 

§1 O B: c 一C   去(吣A+ O c  S CS )  
sn  B i2
: cos   .cos 

直线上 , P是梯形 内的   点 , 足 A :A   满 P B,


图 1  

§ 2 i B sn
: CO8  

D P=D 求证 : A E: D F C.   P   P 

sn i B
?cos

1. 5 正整数数列 { } % 满足 
02: 1   5,

詈 cB。 :s?  。 c   s

s  去(nA+ i c  6 i B: s  s   ) :0+ . n i n c  

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20 年第 5期  08

3  3
ss=6.   E   ,  

(iA. i   )

如 图 2设折起后 A B的重合点为尸, , 、 则  △ P D 为正 三 角 形 . E _ C, Pj P   C 由 Pj P E _ D,
知 E j 面 P D. 以 , 尸一 C 所  
=  

由 0 <1知 0   . 口] 5  <6 , <6 <1故[   = . 二 、 .i{1 . 7 ()1 f   取  ={ l =口~ , ∈A}    4口  






=了 1  


. 

{ ,,,,,1 , 一203 49 1}  
, =

{   =口 4 口  l + , ∈A}  

D 

C 



{ ,0 1 ,2 1 ,9 , 6 1 , l 1 ,7 1 }  

M  A  2 1 } 1 A :{1. n   因  非 空 , 以 , ={1 . 所 M 1}  
A   E   B  
图 2  

P  

C  

(i ? i    )

在 12 … , , 有 5个 奇 数 , 需 恰  ,, 9中 共 必

4. . D 

占一行 、 一列 . 任取一行 、 一列有 9 种取法 , 所 
以  =1  
. 

由 csd+ J =2  。 8 J一s  ‘n2  0( 2 ) 18d1  9 i d s J 9 0 2 2 0 n i 9
=c so? i2 d— sn d? sn d? o  /=0. o  / 3sn  i  3 i  c s o  

且 <+ < ,a2 号 oa2 荨有 + = . 卢 卢  
故 s ( +2 =1 i c 卢) . n ̄  
5. . B 


8 ()3  .i1 .

由 期 T 孥≤ ,  4>2 6 周 : 2 ≥7 15  得 c ..
因此 , 整数  ≥1 . 正 3 
(i  ̄1 . i 2 /5  ) ,

方 面, 7点 可 以联 出 

:2 条  1

设 A( , 1 ,   . 2 .  l Y ) B( 2 Y ) .  

边, 每条 边 至 多 只 能 属 于 一 个 三 角 形 , 2  则 1 条 边 至 多 能 作 成 7个 三  角形 ; 一 方 面 , 12  另 以 ,,

因 = 2   一 一 =则 y等一, 8 1 0   即 y6,
8   1  6

7为顶点 , 可实际作 出   7个 适合 于条 件 的三 角  形 .例 如 , 图 3中 的三  将 角形 顺 时 针 旋 转 七 次 , 可  得 三角形 , ,  


Y 十Y  l 2

’ l 2 一百 ‘ Y    Y  



故  :Y +Y :   + ) =4 l 2  (  : 一4 k一4  ,


图3  

最  口

~ 一2:0.    

因  =1 , 时 直线 y= 一2与抛 物 线  -   =8 x相切 , 于是 , =2    . 再 由 Y=2 x~2 y =8 , 得  ,  x 解 a( 一/ , —2 )B(   ,   ) 2 , 2   , 2+ 2+2 5 .  

注意 到 ( + ) 1   m:( +2 ) . 3     

所以 ,A :  ̄  . l曰l 2 /     r
9 () 2  .i√ .

记 口=3 2 2 6 ~2 2 J =口 +6 . + √ , =3 √ ,       s
因 口 6是方 程  一6 、 x+1 =0的两 根 , 则 
口  =6a 一    一 口 一 ,  :6b 一  。6    一 6 一    S  =6S  


因 cs 0  ̄1 i 1 ̄ o   ̄/ 一s  0  4 n
:c  4   o 0o :c s4 o sn 4 o   sn 8  ̄   c s 1  ̄  0  0   i  0 : i  0 : 0  0 ,

. 

i —

J一. s 2   

注意 S =2 S =6 用  表 示 S的 末位  。 ,J , 数 ,0 =6 一   一 . 贝     一 :   故 。 , =6 :=4 。 , 4 , :2  , , =8 s =4 

所以, —— 粤 —一 :    .
c s4  ̄ /l— sn 1  ̄ o  0  ̄ i  0  

( )0  i3 . i

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/ 

中 等 数 学 
二 

将标有 6的面放置于桌面 , 6 与 相对的  朝上 的面有 5 种标号方式 , 中间 四个面标有  其余 四数 , 并考虑立方体绕底面 的中垂线旋  转情况 , 3 种标号方式 。 有   1 因此 , 不同 的编  号方式共有 5  f 3 种 . X _0   3
1 2   0. 0.



 

(厂二 + 厂 ̄ + ) ̄1   +1   i    i  ̄   2( 一 / )  
欲使√1   + + 一 √1  ≤2 x ,   一b。 即
1 2  ,  
,  

由 2  得 薹 1 7 4     +
2 (n+1 (n+1  n2 )4 )
6 




b - ̄ 0 2  f a

’  

记  ) ( =  + 瓜 (  ∈[ ,] , 0 1 )且令  。

+ )/ 一 +) 2( 1  1  ̄  

:  

×4×  

,  

c a∈o 】ti+s, o ( 【 )= ca s a , ’sro     2 詈 n   O
则 1 t √ 。 是, ≤ ≤ 2于  

即  4 n+1 Z ( +1 . =-   ; .   I )   所 以 , : 0    2。
1 3 一 1. 1.    

( 5-一 瓜 , x+ /


+2 ( )  

+1 )  

(   + 20 口 2( i 口 c 口 1 √ n口 √ c + : s ? s + ) 2 s ) n 0   2  
( + t f。 2   )  

据条 件得 n +1 0 +1(   +1 ,   =(  ) n一 )  且 { n为 严格 单增 的正 整 数数 列 。 0}  
而 




右端 在 t 1 √ ] t E[ , 2 为  的增 函数 , 则 
2+ ≤( + )  ,   2   t≤8  即 2+ ,≤  ) 。  ̄ 2 ≤8 

(n ) 0 +1 

l   一 +1 +le 0 一 +1 。 o 敫( l ) o (   2 ) g  
l  2 n )  +b一( ≥3 .

令 b o ( +1 。  =lg % e )则 
bi=2, 2=3,  = b b b  


 ̄ ix O- + ~ 斋 ≤   /z   2 _ = 一,

于是 ,l= 4 。 0 = b —1 34 . b 1 故 l 3l = 1 —1 o 4 0 0 4  
1。 2 


) x+3  =2 .

即 ≥。 > . 为   。 丢 故1   2
其次说 明, 最小的正数 。即为 2最大的  , 正数 b即为  。   事实上 , 若有正数 0<2 以及某个正数  , b使当  E[ ,] 恒有  , 0 1时,
- 

交换  、  得  3 ( +6 f ) x=一3 ( ) y。 f Y +6   故  ) 2 一 x为常数 。   设  ) x+0。 =2   由 ( +0 ( ,+0   2 )2, ) 2 2 y+3 +0+3 2 (x ) ( x+2 y+0 一 )  32 ( x+0 +6   )  , 得  2 +Y ( —0)   ( )3 =0 ~0—6   ( 0—3 ( ) 0+2 , ) 
= =

+ 一 斋 ≤ b  瓜 2 = 一。 x ,
则 X~≥   ) , 告 2 .  
取  = , 0 4 , 盾 . 0得  ̄ b矛   >

即 (一) ++ +)o  。3  y号 1 . 《 = 
上式对任何实数 、 Y皆成立 . 0 3 故 = 。   从 而 , ) x+3    =2 。 三、3注意到  l.
v  / r
( ~  
2  (

故  =2为最 小 。  

再由 ̄1   + 1   一2 一b  ∈ /一   + ≤ x(   [ ,] , 0 1 )即 

+v_ /  

一2  
+) 2  

≤ ,南 ( 1。 12<  l] bb E,   x ̄ 0)
所 , m = =. 以b i 詈 丢  ̄  <n  
1. 4 如图 4 以点 A为圆心、 为半径作  ,   @ A. 由于 A P=A 故 点 P 在 oA上 . B, 以点  D 为 圆心 、 为半 径作 (D。   三 由于  = , )    

+   一)  2( ~ +   √1 + + +   一x √1 % 2
i ) 一1 

= 

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3  5

故点 P在 0D上 . 设两 圆的另一交点为 Q,   则连心线 A D垂直于公共弦 P 设 P Q. Q交A   D 于点  , B 交 C于点  .  

(2一a ) a +1 ) 6 . 1 1 (   1 >18 

因此 , ≤a ≤1 . 3   0 

‘⑤ 

据 式④ 、 得 a =3  ⑤   .

当  : 时 , 2 题设条件化为 
C  

2{ + <+ , + <   2号  
即  7 <   <  
. 

故  <  

l   0<

朋 

3+ <33+   4 百 口<5 号? D
所 1 , 。 5  2 a =3 . 注意到 a +1 1 =4=2 , 2 2 a +1=1 6=4 , 2 
幽 4  

a +1 6 2 3 =3 =6 .  

因 B - B、 Cj C 故 B Cj A B _ D, C为 两 圆 的  外公切线 . 以 , =T T 所 弼  P? Q=T  则  C. 是直角梯形 B F C E的中位线 .   从而 , ME=MF.   在M E上取点  , M 使 K= D, M 则 
PD = PK , DF = EK , EPK =     .  

接 下来 证 明 :   a  =( n   . 2 ) 一1 

⑥ 

式⑥对于  =123已成立 。 ,, 设式⑥对 于  (  ≥3成立 , ) 考虑  +1 的情形 .   由题设  
2+   <  +   <2+   ,  

在△ A E与△ D F中, B C 因为 D ∥A   C B, C ∥B 所以 , A E∽△ D , F E, △ B   有 
A E  AB  AP  A P 
,  



-  + 1 丽2


<  
2  

2  

即  A E

<l   +
=  

~丽

,  

因此 , 是  A K 的平 分线 。 船 P   故  A E= E K= D  . P   P   P  

也 即 

<  
4n  一6n  +2n+ 1  

1. 5先求通项  .   当  =1 题设条件化为  时,

、( n一1 ( n 一1 。 2 )2   ) 

故 
。2 ( 一 1。 )  

<  

一  2
’  

2 + < + <+ .       等2   ①
此条件蕴含 a ≠12 即口≥3   ,,   .   由式①两端分别得到 
即 

、2  。一3 +2 一 1      ’

( +1 ( n 一6   n+1 一   2 )4 。 n +2 ) 2
4n  一 6n  + 2n + l   <   一2  

寿29口 ‘ 口   1 >  1+ + l 一。 1 ,   ’ 刍29口l . 口 —一一 1          一。 { <
(   0 (   1 >2  a 一1 ) a 一1 ) 。

②   ③  



堕  

Z  . /  -   /


/  - / . /  - / . j  十 Z  — l  

,  

据式②有 口 一1a 一 1  0 > , ; 0  1a +18 0即 
也  2  +1 一 ) 
<  一2  



 

因此 , l a ≤3或 口 ≥1. i 1   ④  据式③有 a 一 2   la + 6 0 即    l口 + l I 3 《 ,

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3  6

中 等 数 学 

浚 孥 滁 蜃 勃  锄缀 ̄ (0)     t 8 1  
第 一 试 






选择题 ( 每小题 7 , 4 分 ) 分 共 2  

1平 面 直 角 坐标 系 x y中 , 线 ZY= . O 直 :  


4 凸四边形 A C 的四个 顶点满足 : . BD 每  个 顶点到 其 他 三个 顶 点 距 离 之 积 相 等 . 则  四边 形 A C B D是 (   )  . () A 等腰梯形  () B 菱形 
() c 矩形  ( 正 方形  D)

姜 + 分别交  轴、 轴于点,  , 4 Y A 把直  、

5若两个不 同的 自然数 口 b组成 的数  . 、 对( , ) 口 b 满足它们 的算术平均数 A:  
厶  

线 z 绕点 0逆时针旋转 9。交 Y轴于点 A , 0,    
交 直 线 z于 点 C. △ A B 的 面 积 为  则   C
(   ) .  

和几 何平 均 数 G= a 均 为 两 位 数 , A和    b 且 G中的一 个 可 由另 一个 交换 个位 和 十位 数 字  得 到 , 称 这 样 的 自然 数 对 为 “ 数 对 ” 那  则 好 . 么 , 足条件 的好数对 有 ( 满   ) . 对   ( 1 A)  ( )  B2 ( )  c3 ( )  D、 4
A  

(丢 (丢 ( (2 A B c D5 ) ) ) )    ̄  
2 在 △ A C 中 ,B =A . B A C=0, C=b  B ,
/A= 6. m = 记  

口  一 D


 

ao  

菩 b .  

6 如 图 1 P 为正  . ,

则 m、, /、 1P的大小 关 系为 (   ( ) >/>P Am 1   , () C p>m >  

) .  

△ A C外 接 匾  上一  B 点. 船 与 P 则 C的关  
系是 (   )  .

)1 />P>m ,   ( m =n=P D)  

3 在 △ A C中 ,D 平 分  A C交 A . B B B C于 

点 D,E平分/A B交 A c C B于点 E 若 B   . E+ C D=B , A的度数为( C 则    ) .  
( ) 0  ( )5  ( )0  ( )0  A 3 ̄ B 4。 C 6 ̄ D 9。

() A  c≤ P     c
图 1  

() C BB 

P  c

<( +1+ 2 ) 

1 丽

?  

由此 ,2 ( +1 +2 2 ) ( +1 一 )  22 ( n+1  )
4。。。。。。。。。。。   。。。-。。。。。。。’— ’。。。。。。。。。。 。— ’’。。。。。。。。’。 。3 。。。 + 2n + 1  。 。6n 。。。。。。 r  t 2
< 口n   +1

】 2 +1 + (n ) 2r 1] 1 =(n ) 22 +1=[( + )   t   .   故由归纳法 , 式⑥对于任何正整数  皆  成立 , 口 即  =(n  . 2 )一1   再计算 S .  注意 


1  

1  

1f l     

l 、    

研邪
_ =  
. 

  \  

一  

』  ,

<( +1 + ( +1 + 二2   l 2 ) 22   )     +   n

则 
=  

=  




所 以 ,2 ( +1 +2 2 ) ( n+1 一1    ) <口 + <( n+1  ( n+1 +1  2 ) +2 2 ) . 因 口+为 整数 , 以 ,    所  

t l i   =

_砉 一) _ (      
( 陶平生 提供)  

1一 ) . (  =   ?  


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2006 年江西省南昌市高中数学竞赛试卷 (7 月 2 日上午 8:30-11:30) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(i)(高一)设集合 A ? {a2 ? 8 | a...
2016年南昌市高中数学竞赛试题
2016 年南昌市高中数学竞赛试题(注意:题号后凡标有“高一”的,为高一学生解答题;凡标有“高二”的,为高二学生解答题;凡未作 以上标志的,则为高一、高二学生...
2006年江西省南昌市高中数学竞赛试卷(2006.7)
2006年江西省南昌市高中数学竞赛试卷(2006.7)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2006 年江西省南昌市高中数学竞赛试卷 (7 月 2 日上午 8:30-11:30) 一、选择题...
2007年全国高中数学联赛一、二试试题及答案
2007年全国高中数学联赛一、二试试题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2007 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 (考试时间:上午 8:00—9:40) 一、选择题(...
2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案
2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2016 年南昌市高中数学竞赛试题及答案(注意:题号后凡标有“高一”的,为高一学生解答题...
2013年南昌市高中数学竞赛试卷
文档信息举报文档 sqing不等式贡献于2013-07-01 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价 贡献者等级:崭露头角 三级 格式:doc 关键词:高中数学竞赛 南昌 ...
南昌市2016年高中数学竞赛获奖名单
南昌市数学学会 2016/5/16 1 / 27 附件: 南昌市 2016 年高中数学竞赛获奖名单高一重点中学组一等奖:师大附中 南昌二中 南昌二中 师大附中 莲塘一中 师大附中 ...
2016年南昌市高中数学竞赛试题解答
2016年南昌市高中数学竞赛试题解答_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016年南昌市高中数学竞赛试题解答_数学_高中教育_教育专区。 ...
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