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2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 19 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应考点规范练 文


考点规范练 19

函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及应用

考点规范练 A 册第 14 页 基础巩固组 1.如果函数 f(x)=sin(π x+θ )(0<θ <2π )的最小正周期为 T,且当 x=2 时,f(x)取得最大值,那么 ( ) A.T=2,θ = B.T=1,θ =π C.T=2,θ =π D.T=1,θ

= 答案:A 解析:T==2,当 x=2 时,由 π ×2+θ =+2kπ (k∈Z), 得 θ =-+2kπ (k∈Z). 又 0<θ <2π ,∴θ =. 2.(2015 合肥二模)为了得到函数 y=cos 的图像,可将函数 y=sin 2x 的图像( ) A.向左平移单位长度 B.向右平移单位长度 C.向左平移单位长度 D.向右平移单位长度 答案:C 解析:由题意,得 y=cos=sin =sin 2, 则它是由 y=sin 2x 向左平移个单位得到的,故选 C. 3.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin+k.据此函数可知,这段时间 水深(单位:m)的最大值为( )

A.5 B.6 C.8 D.10?导学号 32470451? 答案:C 解析:因为 sin∈[-1,1], 所以函数 y=3sin+k 的最小值为 k-3,最大值为 k+3. 由题图可知函数最小值为 k-3=2,解得 k=5. 所以 y 的最大值为 k+3=5+3=8,故选 C. 4.将函数 y=3sin 的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( ) A.在区间上是减少的 B.在区间上是增加的 C.在区间上是减少的 D.在区间上是增加的 答案:B 解析:设平移后的函数为 f(x),则 f(x)=3sin=3sin=-3sin.令 2kπ -≤2x+≤2kπ +,k∈Z,解得 f(x) 的递减区间为,k∈Z,同理得递增区间为,k∈Z.从而可判断 B 正确. 5.(2015 沈阳质检)已知曲线 f(x)=sin 2x+cos 2x 关于点(x0,0)成中心对称,若 x0∈,则 x0=( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:由题意可知 f(x)=2sin,其对称中心为(x0,0),故 2x0+=kπ (k∈Z), ∴x0=-(k∈Z), 又 x0∈,∴k=1,x0=,故选 C. 6.如果把函数 y=sin 图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将图像向右平移个单位 长度,那么所得图像的一条对称轴方程为( ) 1

A.x=B.x=C.x= D.x= 答案:A 解析:将 y=sin 图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin;再将图像向右 平移个单位,得到函数 y=sin=sin=-cos 2x,由 y=-cos 2x 的对称轴为 2x=kπ ,k∈Z,得 x=,k∈Z.

7.(2015 山西四校联考)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )的部分图像如图所示,则 y=f 取得最小值时 x 的集合为( ) A. B. C. D.?导学号 32470452? 答案:B 解析:根据所给图像,周期 T=4×=π ,故 π =, ∴ω =2,因此 f(x)=sin(2x+φ ),又图像经过,代入有 2×+φ =kπ (k∈Z),再由|φ |<,得 φ =-, ∴f=sin,当 2x+=-+2kπ (k∈Z),即 x=-+kπ (k∈Z)时,y=f 取得最小值. 8.已知函数 y=g(x)的图像由 f(x)=sin 2x 的图像向右平移 φ (0<φ <π )个单位得到,这两个函数的 部分图像如图所示,则 φ = .

答案: 解析:函数 f(x)=sin 2x 的图像在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x=,则 x=.x=关于 x=对称的直线为 x=,由图像可知,通过向右平移之后,横坐标为 x=的点平移到 x=,则 φ =. 9.设函数 f(x)=sin,则下列命题: ①f(x)的图像关于直线 x=对称; ②f(x)的图像关于点对称; ③f(x)的最小正周期为 π ,且在区间上为增函数; ④把 f(x)的图像向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图像. 其中正确的命题的序号为 .?导学号 32470453? 答案:③④ 解析:对于①,f=sin=sin,不是最值,因此 x=不是函数 f(x)的图像的对称轴,故该命题错误; 对于②,f=sin=1≠0,因此点不是函数 f(x)的图像的对称中心,故该命题错误; 对于③,函数 f(x)的周期为 T==π ,当 x∈时,令 t=2x+,显然函数 y=sin t 在区间上为增函数, 因此函数 f(x)在区间上为增函数,故该命题正确; 对于④,把 f(x)的图像向右平移个单位长度后所对应的函数为 g(x)=sin=sin 2x,是奇函数,故 该命题正确. 10.已知函数 y=3sin. (1)用五点法作出函数的图像; (2)说明此图像是由 y=sin x 的图像经过怎么样的变化得到的. 解:(1)列表: x ππππ 2 x0 ππ π 3sin 描点、连线,如图所示: 2 03 0

3

0

(2)方法一:“先平移,后伸缩”. 先把 y=sin x 的图像上所有点向右平移个单位,得到 y=sin 的图像;再把 y=sin 的图像上所有 点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 的图像,最后将 y=sin 的图像上所有点的 纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y=3sin 的图像. 方法二:“先伸缩,后平移” 先把 y=sin x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sinx 的图像; 再把 y=sinx 图像上所有的点向右平移个单位,得到 y=sin=sin 的图像,最后将 y=sin 的图像上所有 点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y=3sin 的图像. 2 11.(2015 安徽,文 16)已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值. 2 2 解:(1)因为 f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+cos 2x =1+sin 2x+cos 2x=sin+1, 所以函数 f(x)的最小正周期为 T==π . (2)由(1)的计算结果知, f(x)=sin+1. 当 x∈时,2x+, 由正弦函数 y=sin x 在上的图像知, 当 2x+,即 x=时,f(x)取最大值+1; 当 2x+,即 x=时,f(x)取最小值 0. 综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为 0. 能力提升组 12.(2015 东北三校联考)已知函数 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正 周期为,直线 x=是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( ) A.y=4sin B.y=2sin+2 C.y=2sin+2 D.y=2sin+2?导学号 32470454? 答案:D 解析:由函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的最大值为 4,最小值为 0,可知 b=2,A=2.由函数的最小正周期为, 可知,得 ω =4.由直线 x=是其图像的一条对称轴,可知 4×+φ =kπ +,k∈Z,从而 φ =kπ -,k∈Z, 故满足题意的是 y=2sin+2. 13.(2015 山东青岛一模)函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),A>0,ω >0,|φ |<的部分图像如图所示,若 x1,x2∈, 且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( )

A.1 B. C. 答案:D 解析:观察图像可知,A=1,T=π , ∴ω =2,f(x)=sin(2x+φ ). 将代入上式得 sin=0, 由|φ |<,得 φ =, 则 f(x)=sin,函数图像的对称轴为

D.

x=. 又 x1,x2∈,且 f(x1)=f(x2), ∴,∴x1+x2=,
3

∴f(x1+x2)=sin.故选 D. 14.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π ,当 x=时,函数 f(x)取
得最小值,则下列结论正确的是( ) A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)?导学号 32470455? 答案:A 解析:由周期 T==π ,得 ω =2.当 x=时,f(x)取得最小值,所以+φ =+2kπ ,k∈Z,即 φ =+2kπ ,k∈Z,所 以 f(x)=Asin.所以 f(0)=Asin>0,f(2)=AsinAsin 4+cos 4<0,f(-2)=Asin=-Asin 4+cos 4. 因为 f(2)-f(-2)=Asin 4<0, 所以 f(2)<f(-2). 又 f(-2)-f(0)=-Asin =-A, 因为 π <4-<π +π , 所以 sin>sin=-, 即 sin>0, 所以 f(-2)<f(0). 综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选 A. 15.(2015 天津,文 14)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.若函数 f(x)在区间(-ω ,ω ) 内是增加的,且函数 y=f(x)的图像关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为 . 答案: 解析:f(x)=sin ω x+cos ω x=sin,由 2kπ -≤ω x+≤2kπ +,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z, 即 f(x)的单调递增区间是(k∈Z), 而 f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增, 所以 解得 2 2 因为 ω >0,所以只能取 k=0,这时有 0<ω ≤.① 又因为函数 f(x)的图像关于直线 x=ω 对称, 2 2 所以 ω +=kπ +(k∈Z),即 ω =kπ +(k∈Z).② 2 由①②知 ω =.故 ω =. 2 16.(2015 重庆,文 18)已知函数 f(x)=sin 2x-cos x. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图像.当 x∈时,求 g(x)的值域. 2 解:(1)f(x)=sin 2x-cos x=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin, 因此 f(x)的最小正周期为 π ,最小值为-. (2)由条件可知:g(x)=sin. 当 x∈时,有 x-,从而 sin 的值域为,那么 sin 的值域为. 故 g(x)在区间上的值域是.

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