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湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


武汉二中 2015-2016 学年度上学期期末考试 高一数学试卷
考试时间:2016 年 1 月 27 日上午 8:00-10:00 一、选填题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A= ?1 , 2? , B= ?2, 3? ,则 ? U ? A ? B? = A. ?1 , 3, 4? 2. 函数 y= A. (0

,1) B. ?3, 4? C. ( ) 试卷满分:150 分

?3?

D.

?4?
( )

x ln(1-x)的定义域为
B. [0,1) C. (0,1]

D. [0,1]

3. 用二分法研究函数 f ( x) ? x5 ? 8x 3 ?1 的零点时, 第一次经 过计算 f (0) ? 0 , f (0.5) ? 0 , 则其 中一个零点所在的区间和第二次应 计算的函数值分 别为 A. (0, 0.5) f (0.125) C. (0.5 , 1) 4. 函数 y ? 2sin( A. [0, ] B. (0.5 , 1) D. (0 , 0.5) ( )

f (0.25) f (0.25)
( D. [ ? , ? ] )

f (0.75)

?
6

? 2 x), x ?[0, ?] 为增函数的区间是
B. [

?

? 7
,

12 12 3 6 5. 如图, 一个大风车的半径为 8 m, 每 12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2 m. 若风车翼片从最低点按逆时针
方向开始旋转, 则该翼片的端点 P 离地面的距离 h(m)与时间 t(min)之间的函数关系是( π A. h=8cos t+10 6 π C. h=-8sin t+10 6 π B. h=-8cos t+10 3 π D. h=-8cos t+10 6 )

3

?]

C. [ , ? ]

? 5

5 6

6 . 如图, 在 Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 2 3 BD , A. 2 3 B. 3 C.

??? ?

??? ?
3 2

???? ???? ???? AD ? 1 , 则 AC ? AD = (
D.



3 3
( )

? 8 ?? log3 ( x ? 1), x ? 6 7. 设 f ( x) ? ? x ?6 满足 f (n) ? ? , 则 f (n ? 4) ? 9 ? ?3 ? 1, x ? 6
A. 2 B . -2 C. 1 D. -1

1

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ???? 8. 如图, 平面内有三个向量 OA , OB , OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 120? , OA 与 OC 的夹角为 30? , 且 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ???? ( ) | OA |? 2 , | OB |? , | OC |? 2 3 , 若 OC ? ?OA ? ?OB (? , ? ? R) , 则 2 C 8 3 A. ? ? 4 , ? ? 2 B. ? ? , ? ? B 3 2 4 3 4 C. ? ? 2 , ? ? D. ? ? , ? ? O A 3 2 3
x ? x ?? 9. 要得到 y ? sin 的图像, 只需将 y ? cos ? ? ? 的图像上的所有点 2 ?2 4? ? ? ? ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向左平移 D. 向右平移 ? ? 4 4 10. 已知向量 a=(2,1), b =(1,2), 则|a+λ b|(λ ∈R)的最小值为









A.

5 5

B.

2 5 5

C.

3 5 5

D.

5

11. 对于函数 f(x)=a sin x+bx+c (其中, a, b∈R, c∈Z), 选取 a, b, c 的一组值计算 f(1)和 f(-1), 所得出的正确结果一定不可能是 A. 4 和 6 12. 函数 y= A. 2 B. 3 和 1 C. 2 和 4 D. 1 和 2 ) ( )

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?3 ? x ? 5) 的图像所有交点的横坐标之和等于( x ?1
B. 4 C. 6 D. 8

二 、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b 且 c ? a 则向量 a 与 b 的夹角
x ?1 x ?1 14. 方程 log 2 9 ? 5 ? log 2 3 ? 2 ? 2 的解为

?

?

?

?

?

?

?

?

?

. .

?

?

?

?

15. 已知函数 f ? x ? ? sin x . 若存在 x1 , x2 , ??? , xm 满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? , 且

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xm ?1 ? ? f ? xm ? ? 12 ( m ? 2 , m ? ? ? ), 则 m 的 最 小 值
为 .

16. 在锐角三角形 ?? C 中, tan ? ?

1 , D 为边 ? C 上的点, ??? D 与 ??CD 的面积分别为 2 和 4 . 过 D 2 ??? ? ??? ? 作 D? ? ?? 于 ? , DF ? ?C 于 F , 则 D?? DF ? .

三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)计算: (1) 已知 2sin ? ? cos ? ? 0 , 求

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 的值. ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

? ? 3 (2) 已知 cos ? ? ? x? ? ,
?4 ? 5

3 2 求 sin x ? sin x cos x 的值.

1 ? tan x

2

18. (12 分)已知向量 a, b 满足|a|=|b|=1, 且|ka+b|= 3|a-kb|(k>0), 令 f(k)=a·b. (1) 求 f(k)=a·b(用 k 表示); 1 2 (2) 当 k>0 时, f(k)≥x -2tx- 对任意的 t∈[-1,1]恒成立, 求实数 x 的取值范围. 2

?? ? ?? 2 ? x ? 满足 f ? ? ? ? =f(0), 19. (12 分)设 a∈R, f(x)=cos x(a sin x-cos x)+cos ? 2 ? 3? ? ?
(1) 求函数 f(x)的解析式; (写成形如 y=A sin (wx+φ )+B 的形式, w>0) (2) 画出函数在 [0, ? ] 的图像; (3)求函数在[

? 11? , ]上的最大值和最小值. 4 24

20. (12 分)某影院共有 1000 个座位, 票价不分等次. 根据该影院的经营经验, 当每张标价不超过 10 元时, 票 可全部售出, 当每张票价高于 10 元时, 每提高 1 元, 将有 30 张票不能售出, 为了获得更好的收益, 需给影 院一个合适的票价, 符合的基本条件是: ①为方便找零和算帐, 票价定为 1 元的整数倍; ②影院放映一场电 影的成本费用支出为 5750 元, 票房收入必须高于成本支出. 用 x(元)表示每张票价, 用 y(元)表示该影院放 映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入). (1) 把 y 表示成 x 的函数, 并求其定义域; (2) 试问在符合基本条件的前提下, 每张票价定为多少元时, 放映一场的净收入最多?

21. (12 分)在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A、B、C 三点满足 OC ? (1) 求证: A、B、C 三点共线

????

? 2 ??? ? 1 ??? OA ? OB 3 3

3

? 2? 2 (2) 已知 A ?1,cos x ?、B ?1 ? sin x,cos x ?, x ? ?0, ? , f(x)= OA ? OC ? ? ? 2m ? ?? | AB | ? ? 3? ? ? 2?
的最小值为

1 , 求实数 m 的值. 2

22. (12 分)在△ABC 中. ??? ? ??? ??? ?? ??? ? ? (1) , 求? BD | AC |? 2,| AB | AC |?|? 2, 2,|AD AB? |?BC 2, 于 AD D, ? ? BC BAD 于D ?, 45 ? ,BAD ?DAC ? 45 ? ?60 ,? ?DAC 60· ? AC , BA · AC . ( 2) 如果(1)的条件下△ABC 中, PQ 是以 A 为圆心,

2 为半径的圆的直径, 求 BP ? CQ 的最 ? ??? ? ??? 大值, 最小值, 并指出取最大值, 最小值时向量 PQ 与 BC 的夹角.

武汉二中 2015-2016 学年度上学期期末考试 高一数学试卷参考答案 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C 9 A 10 C 11 D 12 D

13、

120°

14、

2

15、

8

16、 -

16 15

17. (10 分) (1) -

10 3

(6 分)
2 2

(2)

7 2 60

(6 分)

18 . (12 分) 解:(1)由题设得|a| =|b| =1, 对|ka+b|= 3|a-kb|两边平方得

k2a2+2ka·b+b2=3(a2-2ka·b+k2b2),
整理易得 f(k)=a·b= (2)f(k)=

k2+1 ( k>0).---------------------------------------------6 分 4k

k2+1 k 1 1 = + ≥ , 当且仅当 k=1 时取等号. 4k 4 4k 2

1 1 1 2 2 欲使 f(k)≥x -2tx- 对任意的 t∈[-1,1]恒成立, 等价于 ≥x -2tx- , 2 2 2 即 g(t)=2xt-x +1≥0 在[-1,1]上恒成立, 而 g(t)在[-1,1]上为单调函数或常函数,
? ?g(1)=2x-x +1≥0 所以? 2 ?g(-1)=-2x-x +1≥0 ?
2 2

,

4

解得 1- 2≤x≤ 2-1. 故实数 x 的取值范围为[1- 2, 2-1].----------- --------------------------12 分

19. (12 分) (1) 解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos x ? sin x
2 2

?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

? 3 a 1 f (? ) ? f (0)得 ? ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 3 2 2 2 由
f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
因此

?

). 6 ---------------------4 分

(2)

---------------------8 分

x ? [ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 4 3 6 3 2 (3) 当 为增函数, ? 11? ? ? 3? x ?[ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 3 24 6 2 4 当 为减函数,

? ?

?

? ?

? 11? ? f ( x)在[ , ]上的最大值为f ( ) ? 2. 4 4 3 所以 ? 11? f ( ) ? 3, f ( ) ? 2, 4 24 又因为
? 11? 11? f ( x )在[ , ] f( ) ? 2. 4 24 上的最小值为 24 故 ---------- -------12 分

20. (12 分) 解: (1)由题意知当 x≤10 时, y=1000x-5750, 当 x>10 时, y=[1000-30(x-10)]x-5750= -3 0x +1300x-5750
5
2

?1000 x ? 5750 ? 0 解之得 : ? 2 ??30 x ? 1300 x ? 5750 ? 0 130 ? 1302 ? 12 ? 575 130 ? 10000 ? 6 6 又 x∈N,∴6≤x≤38 ∴所求表达式为 5.75 ? x ?
(6 ? x ? 10, x ? N ) ? 1000 x ? 5750 y?? 2 ??30 x ? 1300 x ? 5750 (10 ? x ? 38, x ? N ) 定义域为{x 6 ? x ? 38, x ? N }

------------------------------------6 分

(2)当 y ? 1000x ? 5750 (6 ? x ? 10, x ? N )时, x ? 10 时ymax ? 4250 当 y ? ?30x2 ? 1300x ? 5750 (10 ? x ? 38, x ? N )时,

y ? ?30( x ?

65 2 25000 ) ? , x ? 22时ymax ? 8330 3 3
(12 分 ) 解 (1)

所以每张票价定为 22 元时净收入最多。------------------------------12 分 21.

??? ? ??? ? ??? ? , ? AB ? OB ? OA ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 AC ? OC ? OA ? OA ? OB ? OA ? OB ? OA ? ? OB ? OA ? ? AB ? AC ? AB,? A、B、C 三点共线 3 3 3 3 3 3
??
2? ?

-----------------------------4 分 (2)由 A ?1, cos x ? , B ?1 ? sin x, cos x ? , x ? ?0,

? ?

??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ? 2 ? ?OC ? OA ? OB ? ?1 ? sin x,cos x ? 3 3 ? 3 ?

??? ? ??? ? AB ? ? sin x,0? , 故 AB ? sin 2 x ? sin x 从而

??? ? ??? ? ? ? 2 ? ??? 2 2? ? f ? x ? ? OA? OC ? ? 2m2 ? ?? AB ?? 1 ? sin x ? cos 2 x ? ? 2m2 ? ? sin x 3 3 3? ? ? ?

? cos2 x ? 2m2 sin x ? 1 ? ? sin 2 x ? 2m2 sin x ? 2 ? ? ? sin x ? m2 ? ? m4 ? 2
2

又 sin x ??0,1? , ? 当 sin x ? 1

时, f ? x ? 取最小值. 即 ? 1? m

?

2 2

?

? m4 ? 2 ?

1 1 1 ? m2 ? , ? m ? ? 2 4 2

----------------------------------------12

22.

(12 分 ) (1) BD · AC = 3 (2) BP = BA + AP

BA · AC = 3 -1 ------------------------4 分

? BP · CQ =( BA - AQ )·( CA + AQ )
CQ = CA + AQ
= BA · CA + BA · AQ - AQ · CA - AQ =-1- 3 + AQ · BC =-1- 3 +( 2 + 6 )cos< PQ , BC
2

6

∴ ( BP · CQ )max= 6 + 2 - 3 -1

PQ , BC 同向 PQ , BC 反向-------------------12 分

( BP · CQ )min=- 6 - 2 - 3 -1

7


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