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2009-2012年全国高中数学联赛试题及答案


2009 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设 7 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格 按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标 准适当划分档次评分,解答题中至少 4 分为一个档次,不要增加其他中间档次

. 一、填空(共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分) x 1. 若函数 f ? x ? ? 且 f ( n ) ? x ? ? f ? f ? f ? f ? x ? ? ? ,则 f ?99? ?1? ? . ?? ? ?? ??? ???? ? 1 ? x2
n

1 【答案】 10
1 【解析】 f ? ? ? x ? ? f ? x ? ?

x 1 ? x2


x

f?

2?

? x? ? ? x? ?

f ? f ? x ?? ? ? ? x

1 ? 2 x2

…… . 1 ? 99 x 2 1 故 f ?99? ?1? ? . 10 2. 已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 , A 在直线 L 上, , 为圆 M 点 B C 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围为 . 6 【答案】 ?3, ? 【解析】 设 A? a , ? a ? ,则圆心 M 到直线 AC 的距离 d ? AM sin 45? ,由直线 AC 与圆 M 相交,得 9
34 . 2 解得 3 ≤ a ≤ 6 . d≤

f?

99 ?

3.

?y≥0 ? 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由不等式 ?y≤2 ? x ?
t ≤ x ≤ t ? 1 所 确 定 , t 的 取 值 范 围 是 0 ≤ t ≤1 , 则 M 和 N 的 公 共 面 积 是 函 数 . f ?t ? ?

1 2 【解析】 由题意知 f ? t ? ? S阴影部分面积
【答案】 ?t 2 ? t ?
? S?A O B? S?
OC D

y

? S?

B E F

A

4.

1 1 2 C ? 1 ? t 2 ? ?1 ? t ? E 2 2 F B x 1 O D ? ?t 2 ? t ? 2 1 1 1 1 使不等式 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3 为 .
1

【答案】 2009

1 1 1 . 显 然 f ? n? 单 调 递 减 , 则 由 f ? n? 的 最 大 值 ? ??? n ?1 n ? 2 2n ? 1 1 ,可得 a ? 2009 . f ?1? ? a ? 2 0 0 7 3 x2 y 2 5. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最小值 a b 为 . 2a 2b2 【答案】 2 a ? b2 【解析】 设 P ? OP cos? ,OP sin? ? ,
【解析】 设 f ? n ? ?
? π? π ?? ? ? Q ? OQ cos ? ? ? ? ,OQ sin ? ? ? ? ? . 2? 2 ?? ? ? ? 由 P , Q 在椭圆上,有

1 OP
1 OQ
2
2

?
?

cos2 ? sin 2 ? ? 2 a2 b
sin 2 ? cos2 ? ? a2 b2

① ②

①+② 得 1 1 1 1 ? ? 2? 2. 2 2 a b OP OQ

于是当 OP ? OQ ? 6.

2a 2b2 2a 2b2 时, OP OQ 达到最小值 2 . a 2 ? b2 a ? b2 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是



【答案】 k ? 0 或 k ? 4 ? kx ? 0 ? ? 【解析】 ? x ? 1 ? 0 ? 2 ? kx ? ? x ? 1? ? 当且仅当 kx ? 0 x ?1 ? 0 x2 ? ? 2 ? k ? x ? 1 ? 0

① ② ③

对③ 由求根公式得 1 x1 , x2 ? ?k ? 2 ? k 2 ? 4k ? ④ ? 2? ? ? k 2 ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或 k ≥ 4 . (ⅰ k ? 0 时,由③ )当 得 ? x1 ? x2 ? k ? 2 ? 0 ? ? x1 x2 ? 1 ? 0 所以 x1 , x 2 同为负根.
?x ?1 ? 0 又由④ ? 1 知 ? x2 ? 1 ? 0 所以原方程有一个解 x1 .

(ⅱ k ? 4 时,原方程有一个解 x ? )当

k ?1 ? 1 . 2
2

?x ? x ? k ? 2 ? 0 (ⅲ k ? 4 时,由③ ? 1 2 )当 得 ? x1 x2 ? 1 ? 0 所以 x1 , x 2 同为正根,且 x1 ? x2 ,不合题意,舍去. 综上可得 k ? 0 或 k ? 4 为所求. 7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和, 最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) 【答案】 101? 298 【解析】 易知: (ⅰ )该数表共有 100 行; (ⅱ )每一行构成一个等差数列,且公差依次为 d1 ? 1 , d 2 ? 2 , d3 ? 22 ,…, d99 ? 298

(ⅲ a100 为所求. )

设第 n ? n≥ 2? 行的第一个数为 a n ,则

an ? an?1 ? ? an?1 ? 2n?2 ? ? 2an?1 ? 2n?2

? 2 ?2an?2 ? 2n?3 ? ? 2n?2 ? ? ? 22 ?2an?3 ? 2n?4 ? ? 2 ? 2n?2 ? 2n?2 ? ?
? 23 an?3 ? 3 ? 2n?2 …… ? 2n?1 a1 ? ? n ? 1? ? 2n?2

? ? n ? 1? 2n?2
故 a100 ? 101? 298 . ∶ 8. 某车站每天 8 00 ~ 9∶00 , 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8 10 ∶ 8 30 ∶ 8 50 ∶ 到站时刻 9∶ 10 9∶30 9∶50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分) . 【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为 10 30 50 70 90 候车时间(分) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 概率 2 6 6 2 6 3 3 6 候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 27 2 3 36 12 18 二、解答题 x2 y 2 1. (本小题满分 14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆 ? ? 1 交于不 16 12 x2 y 2 同两点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 4 12 ???? ??? ? AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. ? y ? kx ? m ? 【解析】 由 ? x 2 y 2 消去 y 化简整理得 ?1 ? ? ?16 12
3

?3 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m2 ? 48 ? 0
8km 3 ? 4k 2

设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ?

?1 ? ?8km? ? 4?3 ? 4k 2 ?? 4m2 ? 48? ? 0
2

① ………………………………………………4 分 ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 ?1 ? ? ? 4 12

?3 ? k ? x
2

2

? 2kmx ? m2 ?12 ? 0
2km 3 ? k2 ② ………………………………………………8

设 C ? x3 ,y4 ? , D ? x4 ,y4 ? ,则 x3 ? x4 ?

?2 ? ? ?2km? ? 4?3 ? k 2 ?? m2 ? 12? ? 0
2



???? ??? ? D 因 为 A C? B ? 0 , 所 以 ? x4 ? x2 ? x3 ? ?x1 0 , 此 时 ? y4 ? y2 ? y3 ? ?y1 0 . 由 ? ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? x3 ? 得 x4

?

8km 2km . ? 2 3 ? 4k 3 ? k2

所以 2 km ? 0 或 ?

4 1 .由上式解得 k ? 0 或 m ? 0 .当 k ? 0 时,由①和②得 ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 ?2 3 ? m ? 2 3 .因 m 是整数,所以 m 的值为 ?3 , ?2 , ?1 , 0 , 1 , 2 , 3 .当 m ? 0 ,

2.

由① 和② ? 3 ? k ? 3 .因 k 是整数,所以 k ? ?1 , 0 , 1 .于是满足条件的直线共有 9 得 条.………14 分 (本小题 15 分) 已知 p ,q ? q ? 0? 是实数, 方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? ,? , 数列 ?an ? (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示) ;
4 ? 满足 a1 ? p , a2 ? p2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 , , ?

1 (Ⅱ p ? 1 , q ? ,求 ?an ? 的前 n 项和. )若 4 【解析】 方法一: (Ⅰ )由韦达定理知 ? ? ? ? q ? 0 ,又 ? ? ? ? p ,所以
整理得 an ? ? an?1 ? ? ? an?1 ? ? an?2 ? 数列 ?bn ? 的首项为: 所 以
an ? pxn?1 ? qxn?2 ? ?? ? ? ? an?1 ? ?? an?2 , ? n ? 3 , , , ? 4 5 ?

令 bn ? an?1 ? ? an ,则 bn?1 ? ? bn ? n ? 1, , ? .所以 ?bn ? 是公比为 ? 的等比数列. 2 ?

b1 ? a2 ? ? a1 ? p2 ? q ? ? p ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 .
2

bn ? ? 2 ? ? n? ?1? n?
n?1 2

1 ,



an?1 ? ? an ? ? n?1

? ? n ? 1,2 , ?







an?1 ? ? an ? ?

? ? n ? 1,2 , ? .

2 ? ① ? ? p ? 4q ? 0 时, ? ? ? ? 0 , a1 ? p ? ? ? ? ? 2? , an?1 ? ? an ? ? n?1 ? n ? 1, , ? 当 2 ? 变为 an?1 ? ? an ? ? n?1 ? n ? 1, , ? .整理得,

? n?1 ? n a 2? ?a ? 数列 ? nn ? 成公差为 1 的等差数列,其首项为 1 ? ? 2 .所以 ? ? ?? ?

an?1

?

an

2 ? ? 1 , ? n ? 1, , ? .所以,

?n

an

? 2 ? 1? n ? 1? ? n ? 1 .

4

于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? ? n ? 1?? n ;……………………………………………………………………………5
分 ② ? ? p2 ? 4q ? 0 时, ? ? ? , 当
an?1 ? ? an ? ? n?1 ? ? ? n?1 ? ? an ? ? ? ?? ? ? ? ? an ? ? n?1 ? ? n?1 ? n ? 1, , ? . 2 ? ? ?? ? ?? 整理得 ? ? n? 2 ? n?1 ? an?1 ? ? ? ? an ? 2 ? ? , ? n ? 1, , ? . ? ?? ? ?? ? ?
? ? n?1 ? 所 以 , 数 列 ?an ? ? 成 公 比 为 ? 的 等 比 数 列 , 其 首 项 为 ? ?? ? ? ?2 ?2 ?2 ? n?1 ?2 a1 ? ?? ? ? ? ? ? ? n?1 . .所以 an ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??


an ?




n ?1



?an ?













?

n ?1

?? ? ??

.………………………………………………10 分

1 1 (Ⅱ p ? 1 , q ? ,则 ? ? p2 ? 4q ? 0 ,此时 ? ? ? ? .由第(Ⅰ )若 )步的结果得,数列 ?an ? 的 4 2
? 1 ? n ?1 通项公式为 an ? ? n ? 1? ? ? ? n ,所以, ?an ? 的前 n 项和为 2 ?2? 2 3 4 n n ?1 sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? 2 2 2 2 2n 2n?1 1 3 n?3 以上两式相减,整理得 sn ? ? n?1 2 2 2 所 以 n?3 sn ? 3 ? n . ……………………………………………………………………………15 2 分 方法二: (Ⅰ )由韦达定理知 ? ? ? ? q ? 0 ,又 ? ? ? ? p ,所以
n

a1 ? ? ? ? , a2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? .

特征方程 ? 2 ? p? ? q ? 0 的两个根为 ? , ? . ① ? ? ? ? 0 时,通项 an ? ? A1 ? A2n ?? n ? n ? 1, , ? 由 a1 ? 2? , a2 ? 3? 2 得 当 2 ?

?? A1 ? A2 ?? ? 2? ? ? 2 2 ?? A1 ? 2 A2 ?? ? 3? ? 解得 A1 ? A2 ? 1 . 故

an ? ?1 ? n ?? n .……………………………………………………5

分 ② ? ? ? 时,通项 an ? A1? n ? A2 ? n ? n ? 1, , ? .由 a1 ? ? ? ? , a2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? 得 当 2 ?

5

? A1? ? A2 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? A1? ? A2 ? ? ? ? ? ? ?? ?
解得 A1 ?
?? ? , A2 ? .故 ? ?? ? ??

an ?

?? n?1 ? n?1 ? n?1 ? n?1 ? ? ? .…………………………………………………………10 ? ? ? ?? ? ? ? ?

分 (Ⅱ )同方法一. (本小题满分 15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值. 【解析】 函数的定义域为 ?0 , ? .因为 13 3.
y ? x ? x ? 27 ? 13 ? x ? x ? 27 ? 13 ? 2 x ?13 ? x ?
≥ 27 ? 13 ? 3 3 ? 13

当 x ? 0 时等号成立. y 的最小值为 3 3 ? 13 . 故 ……………………………………………5 分 又由柯西不等式得
y2 ?

?

x ? x ? 27 ? 13 ? x

?

2

1? ?1 ≤ ? ? 1 ? ? ? 2 x ? ? x ? 27 ? ? 3 ?13 ? x ? ? ? 121 3? ?2 所以 y ≤11 . ………………………………………………………………………………10

分 由柯西不等式等号成立的条件,得 4x ? 9 ?13 ? x ? ? x ? 27 ,解得 x ? 9 .故当 x ? 9 时等号成 立 . 因 此 的 最 大 值 y 11.…………………………………………………………………………………15 分 为

2010 年全国高中数学联赛 一 试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是
2

. .

2. 已知函数 y ? (a cos x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是
2 2

3. 双曲线 x ? y ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标 均为整数的点)的个数是 .

4. 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中

a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,
则? ? ? ? .

6

5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? . .

8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分)

9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值. 10. ( 20 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 6 x 上 的 两 个 动 点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) , 其 中 x1 ? x 2 且
2

x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.
11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数
3

列 {an } ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

解 答
1.

[?3, 3]

提示:易知 f (x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f (x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知

f (x) 的值域为 [?3, 3] .
2. ?

3 ? a ? 12 2

2 提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at ? a ? 3)t ,即

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .
( 由 ? at ? (a ? 3)t ? ?3 , at(t ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 ?
3 2

? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3 .
当 t ? 0,?1 时(1)总成立;
2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,?

(1)

1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2

3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线

7

右半支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区 域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 . 4.
3

3 ? 3 提示 :设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则
3 ? d ? q,
(1) (2)

3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
2

(1)代入(2)得 9 ? 12d ? d ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 . 从而有 3 ? 6(n ? 1) ? log? 9 n?1 ? ? 对一切正整数 n 都成立, 6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ? 对 即 一切正整数 n 都成立. 从而

log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,
求得

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .
1 4
x 2 提示: a ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? ,+?) 上是递增的. 令

5. ?

3 2

?1 当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ] ,

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以

1 , 2

1 1 1 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4


a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,

g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
所以

1 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? . 4 1 综上 f (x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4 12 21 7 ? 6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 ,从而先投掷人的获胜概率 17 36 12


8

7 5 7 5 7 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? ? ? 12 12 12 12 12 12

1 12 . ? 25 17 1? 144

7.

10 提示:解法一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在 4

直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则

B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1
设分别与平面 BA P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量 1 是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则
z A1 C1 B1 P A O C B x y

?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?
由此可设

m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) , 所 以

?? ? ?? ? m ? n ? m ? nc o s ,即 ?

3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 10 . 4

6 . 4

所以 sin ? ?

解法二:如图, PC ? PC1 , PA ? PB . 1 设

A1 C1

A1 B



AB1







O,



E B1 O A P


OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从 而 AB1 ? 平
PA1 B .
过 O 在平面 PA B 上作 OE ? A1 P ,垂足为 E . 1

C B

连 结 B1 E , 则 ?B1 EO 为 二 面 角 B ? A1 P ? B1 的 平 面 角 . 设 AA1 ? 2 , 则 易 求 得
9

PB ? PA ? 5, A1O ? B1O ? 2, PO ? 3 . 1
在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?
6 4 5 . ? 5 5
B1O 2 10 . ? ? B1 E 4 5 4 5

6 5

.

又 B1O ?

2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
sin ? ? sin ?B1 EO ?

2 8. 336675 提示:首先易知 x ? y ? z ? 2010的正整数解的个数为 C2009 ? 2009?1004.

把 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

1 ? 3 ? 1003 ? 6k ? 2009 ? 1004 ,
所以

6k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 ,


k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 .
从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为

1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .

9. 解法一:

? f ?(0) ? c, ? 1 3 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由 ? f ?( ) ? a ? b ? c, ? 4 ? 2 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以

1 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2 1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) ? 8 , 2

10

所以 a ? 为

8 8 3 2 . 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值 3 3

8 . 3
解法二: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c . 设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ? 设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 .

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

容 易 知 道 当 ? 1 ? z ? 1 时 , 0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从 而 当 ? 1 ? z ? 1 时 ,

0?

h( z ) ? h( ? z ) ?2 , 即 2 0?

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 4 4 3a 3a 8 ? b ? c ? 1 ? 0 , z 2 ? 2 ,由 0 ? z 2 ? 1 知 a ? . 从而 4 4 3 8 8 3 2 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3
10. 解法一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 , 2 2

k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 . ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y ? y0 ? ?

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点

C 坐标为 (5,0) .
由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0
(2)

x?
2

y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3

(2)代入 y ? 6 x 得 y ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即
2 2 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 12 ? 0 .

(3)
11

依题意, y1 , y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y2 ,所以
2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
y

AB ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

A

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
O

B

2 y0 ? (1 ? )[(y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

C(5,0)

x

? (1 ?
?

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3

定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0 .

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y 0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2
2 2 2 1 1 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 3 ( ) 3 2 3

?
?

14 7 . 3

2 2 当且仅当 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 ,即 y0 ? ? 5 , A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值为

14 7. 3

解法二:同解法一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为 (5,0) .

12

5 1 2 设 x1 ? t , x2 ? t , t1 ? t 2 , t ? t ? 4 ,则 S ?ABC ? t1 2 2 t2
2 1 2 2 2 1 2 2

0

1

6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

1 2 2 S ?ABC ? ( (5 6t1 ? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 2 3 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 ? (4 ? 2t1t 2 )( t1t 2 ? 5)( t1t 2 ? 5) 2 3 14 3 ? ( ) , 2 3
所 以 S ?ABC ?

14 2 7 , 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 ? 4 , 即 t1 ? 3
, A(

7? 5 6

,

t2 ? ?

7? 5 6

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值是

14 7. 3

3 2 11. 令 f ( x) ? 2x ? 5x ? 2 , 则 f ?( x) ? 6 x ? 5 ? 0 , 所 以 f (x) 是 严 格 递 增 的 . 又

1 3 1 f (0) ? ?2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f (x) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 4 2
所以

2r 3 ? 5r ? 2 ? 0 ,
2 r ? ? r ? r 4 ? r 7 ? r10 ?? . 3 5 1? r

故数列 an ? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?满足

r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ?
去掉上面等式两边相同的项,有

2 , 5

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,
这里 s1 ?s 2 ?s 3 ? ?, t1 ? t 2 ? t3 ? ? ,所有的 s i 与 t j 都是不同的. 不妨设 s1 ? t1 ,则

13

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? ,

1 ? r t1 ?s1 ? r t2 ? s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ?
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

1 ?1 ? 1? r

1 1 1? 2

? 1 ? 1,

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ?



2.函数 f ( x) ?

x 2 ?1 x ?1

的值域为



3





a, b











1 1 ? ?2 2 a b



(a ? b) 2 ? 4(ab) 3





l

a

ob ?g


14

4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是



5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目, 每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答)

6.在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC ? ?CDA ? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四 面体 ABCD的外接球的半径为 .

15

7. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, 为抛物线上的一点, ACB ? 90? , C ? 则点 C 的坐标为 .

8. 已知 a n ? C ?? 6 ?
n 3 200

200? n

? 1 ? ? (n ? 1,2, ? ,95) , ?? 则数列 {a n } 中整数项的个数为 ? ? ? 2?

n



16

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 9. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | ,实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (?
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a, b 的值.

b ?1 ), b?2

10 . 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) , (
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t n ? 1
(n ? N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 a n 的大小.

17

11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C :

1 3

x2 y2 ? ?1交 36 4

y P O x B A

于 A, B 两点(如图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB的面积.

18

19

2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.

2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向 x ??? ??? ? ? 直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是 . 2 2 2 解:方法1:设 p ( x0 , x0 ? ), 则直线 PA 的方程为 y ? ( x0 ? ) ? ?( x ? x0 ), 即 y ? ? x ? 2 x0 ? . x0 x0 x0
1. 设 P 是函数 y ? x ?

?y ? x 1 1 ? 由? 2 ? A( x0 ? , x0 ? ). x0 x0 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 ? ??? ? ? ??? ??? 1 ? ? 1 1 ??? 2 又 B(0, x0 ? ), 所以 PA ? ( , ? ), PB ? (? x0 , 0). 故 PA ? PB ? ? (? x0 ) ? ?1. x0 x0 x0 x0 3 2. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A ? c , 5 tan A 则 的值是 . tan B 3 c 2 ? a 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 3 ?b? ? c ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 故 解:由题设及余弦定理得 a ? 5 2ca 2bc 5 2 2 2 a ?c ?b 8 2 a? c 2 2 2 tan A sin A cos B c ? a ?b 2ac 5 ? 4. ? ? ? ? b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? a 2 2 c 2 tan B sin B cos A b? 5 2bc 3.设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值是
解:不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 因为

.

y ? x ? z ? y ? z ? x.

y ? x ? z ? y ? 2[( y ? x) ? ( z ? y)] ? 2( z ? x).

所以 M ? 2( z ? x) ? z ? x ? ( 2 ?1) z ? x ? 2 ?1.

1 时上式等号同时成立.故 M max ? 2 ?1. 2 2 4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为l, A, B 是抛物线上的 ? 两个动点,且满足 ?AFB ? .设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N , 3 | MN | 则 的最大值是 . | AB | AF ? BF . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN ? 2
当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0, z ? 1, y ? 在 ?AFB 中,由余弦定理得 AB ? AF ? BF ? 2 AF ? BF cos
2 2 2

?

3

? ( AF ? BF )2 ? 3 AF ? BF ? ( AF ? BF )2 ? 3(

AF ? BF 2 AF ? BF 2 2 ) ?( ) ? MN . 2 2

20

当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故

MN

AB 5.设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P ? ABC 的侧面与 ? 底面所成的角为 45 ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 . 解:如图.连结 PQ ,则 PQ ? 平面 ABC ,垂足 H 为正 ?ABC 的中心,且 PQ 过球心 O ,连结 CH 并 延长交 AB 于点 M ,则 M 为 AB 的中点,且 CM ? AB ,易知 ?PMH , ?QMH 分别为正三棱锥 P ? ABC, Q ? ABC 的侧面与底面所成二角的平面角,则 ?PMH ? 45? 1 ,从而 PH ? MH ? AH ,因为 ?PAQ ? 90? , AH ? PQ, 2 1 2 所以 AP2 ? PH ? QH , 即 AH ? AH ? QH . 2 QH ?4 所以 QH ? 2 AH ? 4MH . ,故 tan ?QMH ? MH 6. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x? .若对任意的 x ? [a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .
? x 2 ( x ? 0) ? 解:由题设知 f ( x ) ? ? 2 ,则 2 f ( x) ? f ( 2x). 因此,原不等式等价于 f ( x ? a) ? f ( 2 x). ?? x ( x ? 0) ?
因为 f ( x ) 在 R 上是增函数,所以 x ? a ? 时,

的最大值为1.

2 x, 即 a ? ( 2 ?1) x. 又 x ?[a, a ? 2], 所以当 x ? a ? 2

( 2 ?1)x 取得最大值 ( 2 ?1)(a ? 2). 因此, a ? ( 2 ?1)(a ? 2), 解得 a ? 2. 故 a 的取值范围是 [ 2, ??). 1 ? 1 7.满足 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 . 4 n 3 ? 3 解:由正弦函数的凸性,有当 x ? (0, ) 时, x ? sin x ? x, 由此得 6 ? ? ? 1 ? 3 ? 1 sin ? ? ,sin ? ? ? , 13 13 4 12 ? 12 4 ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? ? . 所以 sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 10 10 3 9 ? 9 3 13 4 12 11 10 3 9 1 ? 1 故满足 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 33 . 4 n 3 8.某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未
使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的 概率是 .(用最简分数表示) 解:用 P 表示第 k 周用 A 种密码的概率,则第 k 周末用 A 种密码的概率为 k

1 1 1 1 1? ? 1 ? Pk .于是,有 Pk ?1 ? (1 ? Pk ), k ? N ? ,即 Pk ?1 ? ? ? ( Pk ? ) 由 P ? 1 知, ? Pk ? ? 是首项为 1 3 4 3 4 4? ? 3 1 1 3 1 k ?1 3 1 k ?1 1 61 ,公比为 ? 的等比数列。所以 Pk ? ? (? ) ,即 Pk ? (? ) ? ,故 P7 ? 4 3 4 4 3 4 3 4 243
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.

21

9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; 解:(1) f ( x) ? sin x ? a sin x ? a ?
2

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

3 3 . 令 t ? sin x(?1 ? t ? 1), 则 g (t ) ? t 2 ? at ? a ? ???? 4 a a



3 ? ? g (?1) ? 1 ? a ? 0 ? ? a ? (0,1]???8 分 对任意 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 ? 3 ? g (1) ? 1 ? 2a ? ? 0 ? a ? a 3 (2)因为 a ? 2, 所以 ? ? ?1. 所以 g (t ) min ? g (?1) ? 1 ? ????12 分 2 a 3 3 因此 f ( x) min ? 1 ? . 于是,存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 的充要条件是 1 ? ? 0 ? 0 ? a ? 3. a a 故 a 的取值范围是 [2,3].????16 分
10.(本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ?? an )2 ? a1 ? a2 ? ?? an (1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ;

(2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.
2 3 3 解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? a1 ,由 a1 ? 0 得 a1 ? 1 .当 n ? 2 时, (1 ? a2 )2 ? 1 ? a2 ,由 a2 ? 0 得 a2 ? 2

或 a2 ? ?1 ………5分
3 3 当 n ? 3 时, (1 ? a2 ? a3 )2 ? 1 ? a2 ? a3 . 若 a2 ? 2 得 a3 ? 3 或 a3 ? ?2 ;若 a2 ? ?1 得 a3 ? 1 ;

综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分
2 3 3 3 (2)令 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , 则 Sn ? a1 ? a2 ? ?? an (n ? N ? ) 从而 3 3 3 3 (Sn ? an?1 )2 ? a1 ? a2 ? ?? an ? an?1. 2 两式相减,结合 an?1 ? 0 得 2Sn ? an?1 ? an?1 当 n ? 1 时,由(1)知 a1 ? 1 ; 2 2 当 n ? 2 时, 2an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? (an?1 ? an?1 ) ? (an ? an ), 即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ?1) ? 0,

所以 an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1 ……………………………………15分又 a1 ? 1, a2013 ? ?2012, 所以 an ? ?

?n(1 ? n ? 2012)
n ?2012 ? (?1) (n ? 2013)

………………………………20分

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值;
2 2 (2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求

22

点 C 的轨迹. 解:因为 OB ? OD , AB ? AD ? BC ? CD , 所以 O, A, C 山的共 线………………………………………5分 如图,连结 BD ,则 BD 垂直平分线段 AC ,设垂足为 K ,于是有

OA ? OC ? ( OK ? AK )( OK ? AK )
? OK ? AK ? ( OB ? BK ) ? ( AB ? BK ) ? OB ? AB ? 62 ? 42 ? 20 (定
2 2 2 2 2 2 2 2

值)…………10分 (2)设 C ( x, y), A(2 ? 2cos ? , 2sin ? ), 其中 ? ? ?XMA(?
2 2 2

?
2

?? ?
2

?
2

), 则 ?XOC ?

?
2

. …………15

因为 OA ? (2 ? 2 cos ? ) ? (2sin ? ) ? 8(1 ? cos ? ) ? 16 cos 分 由(1)的结论得 OC cos

?
2

, 所以 OA ? 4 cos

?
2

?
2

? 5, 所以 x ? OC cos

?
2

? 5. 从而 y ? OC sin

?
2

? 5 tan

?
2

? [?5,5].

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A(5,5), B(5, ?5) ……………20分

23


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