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高三数学第二轮专题复习系列(3)-- 数 列


高三数学第二轮复习——数列

高三数学专题复习系列——数列

典型例题精讲——数列的概念与性质
【例1】 已知由正数组成的等比数列 ?a n ? ,若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项 与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列 ?a n ? 的通项公式. 解:∵q=1

时 S2n ? 2na1 , S偶数项 ? na1 又 a1 ? 0 显然 2na1 ? 11na1 ,q≠1 ∴ S 2n ?
a1 (1 ? q 2n ) a q(1 ? q 2 n ) ? S 偶数项 ? 1 1? q 1? q 2

依题意

a1 (1 ? q 2n ) a q(1 ? q 2n ) 1 ? 11? 1 ;解之 q ? 2 1? q 10 1? q

又 a3 ? a4 ? a1q 2 (1 ? q), a2 a4 ? a12 q 4 , 依题意 a1q 2 (1 ? q) ? 11a12 q 4 ,将 q ?
a n ? 10 ? ( 1 n ?1 ) ? 102?n 10 1 代入得 a1 ? 10 10

【例2】 等差数列 ?a n ? 中, a3 ? a123 ? 30 , a33 ? 15 ,求使 an ? 0 的最小自然数 n 。 解:设公差为 d,则 ?
?a1 ? 2d ? 30 ?a ? 2d ? ?30 ?a ? 2d ? 30 ?a ? 2d ? ?30 或? 1 或? 1 或? 1 ?a1 ? 122d ? 30 ?a1 ? 122d ? 30 ?a1 ? 122d ? ?30 ?a1 ? 122d ? ?30

解得: ?

?a1 ? 30 ? a33 = 30 与已知矛盾 ?d ? 0

或?

?a1 ? ?31 ? 1 ? a33 = - 15 与已知矛盾 ?d ? 2 ?

?a1 ? 31 ? 或? 1 ?a33 = 15 ?d ? ? 2 ?

或?

?a1 ? ?30 ? a33 = - 30 与已知矛盾 ?d ? 0

∴an = 31+(n - 1) ( ?

1 n ?1 ) ? 31 ? ? 0 ? n≥63 2 2

∴满足条件的最小自然数为 63。 【例3】 设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S4 ? 44, S7 ? 35 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式与前 n 项和公式;

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作者:李忠华

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高三数学第二轮复习——数列
(2)求数列 {| a n |} 的前 n 项和 Tn 。 解: (1)设数列的公差为 d,由已知 S4=44,S7=35 可得 a1=17,d=-4 ∴a n =-4n+21 (n∈ N ),S n =-2n 2 +19 (n∈ N ).
* *

(2)由 a n =-4n+21≥0 得 n≤

21 , 故当 n≤5 时,a n ≥0, 当 n≥6 时, a n ? 0 4

当 n≤5 时,T n =S n =-2n 2 +19n 当 n≥6 时,T n =2S5-S n =2n 2 -19n+90. 【例4】 已知等差数列 ?a n ? 的第 2 项是 8,前 10 项和是 185,从数列 ?a n ? 中依次取出第 2 项,第 4 项,第 8 项,……,第 2 n 项,依次排列一个新数列 ?bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式 bn 及前 n 项和公式 S n 。
?a 2 ? a1 ? d ? 8 ?a ? 5 ? 解:由 ? 得 ? 1 10 ? 9 ?d ? 3 ?S10 ? 10a1 ? 2 d ? 185 ?

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2
S n ? b1 ? b2 ? …… ? bn ? 2n ? 3

∴ bn ? a 2 n ? 3 2 n ? 2 ·

2 n?1 ? 2 ? 2n ? 3 2 n?1 ? 6 · 2 ?1

【例5】 已知数列 ?a n ? : 1, ? , ?
1 2 2 1 2 3

2 3 1 2 100 ? ,, ? … ?…? , … 3 3 100 100 100

①求证数列 ?a n ? 为等差数列,并求它的公差 ②设 bn ?

1 ? n ? N * ? ,求 b1 ? b2 ? … ? bn ? …的和。 an an ?1
n?1 ? n ? n ?1 2 ? n 2

1 2 n 1? 2 ?…? n ? 解:①由条件, a n ? ? ? … ? ? n n n 2

∴ a n?1 ?

n?2 n ? 2 n ?1 1 ;∴ an?1 ? an ? ? ? ?n ? 1? 2 2 2 2

故 ?a n ? 为等差数列,公差 d ? ② bn ?

1 2

1 1 4 ? ? n ? 1 n ? 2 ?n ? 1??n ? 2 ? ?n ? 1??n ? 2 ? · 2 2 4

又知

1 1 n ? 2 ? n ?1 1 ? ? ? n ? 1 n ? 2 ?n ? 1??n ? 2? ?n ? 1??n ? 2?
1 ? ? 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 ?

∴ bn ? 4?

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1 ? ?1 1? ?1 1? ? 1 b1 ? b2 ? …bn ? … ? 4? ? ? ? 4? ? ? ? … ? 4? ? ? ?… 2 3? ?3 4? n ?1 n ? 2 ? ? ? 1 ? ?1 ? 4? ? ? ?… ?2 n?2?

∴ b1 ? b2 ? … ? bn ? … ? lim 4? ?
n??

?1 ?2

1 ? ??2 n?2?

【例6】 已知数列 1,2?? 它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项相加而得到。 求 1, 该数列的前 n 项和 S n ; 解:记数列 1,1,2……为{An},其中等比数列为{an},公比为 q; 等差数列为{bn},公差为 d,则 An =an +bn (n∈N) 依题意,b1 =0,∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A 3 =a 3 +b 3 =a 1 q2 +b 1 +2d=2 ③ 由①②③得 d=-1, q=2, ∴ a n ? 2 n?1 , bn ? 1 ? n A 2 =a 2 +b 2 =a 1 q+b 1 +d=1 ②

S n ? A1 ? A2 ? … ? An ? a1 ? a 2 ? … ? a n ? b1 ? b2 ? … ? bn

∴ ? (1 ? 2 ? … ? 2 n?1 ) ? [(1 ? 1) ? (1 ? 2) ? … ? (1 ? n)] n(1 ? n) ? 2n ? 1 ? 2 【例7】 已知数列 ?an ? 满足 an ? Sn ? n, 求 a n 。 解法 1:由 an+Sn=n 得 a n?1 ? S n?1 ? n ? 1 ,两式相减得: a n ? a n?1 ? S n ? S n?1 ? 1 , 即 an ?

1 1 1 an ?1 ? ,即 a n ? 1 ? ?a n?1 ? 1? ,下略 2 2 2

解法 2: 由 an+Sn=n, 当 n=1 时,a1=S1,?a1+a1=1,得 a1=

1 2 3 4
7 8

当 n=2 时,a1+a2=S2,由 a2+S2=2,得 a1+2a2=2,?a2=

当 n=3 时,a1+a2+a3=S3,由 a3+S3=3,得 a1+a2+2a3=3?a3= 猜想, a n ? 1 ? 当 n=1 时,a1=1-

1 (1)下面用数学归纳法证明猜想成立。 2n

1 1 ? ,(1)式成立 2 2
1 2k

假设,当 n=k 时,(1)式成立,即 ak=1-

成立,

则当 n=k+1 时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1
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?2ak+1=k+1-Sk 又 ak=k+Sk

1 1 1 1 ?2ak+1=1+ak ?ak+1= (1 ? ak ) ? (1 ? 1 ? k ) ? 1 ? k ?1 2 2 2 2

即当 n=k+1 时,猜想(1)也成立。 所以对于任意自然数 n, a n ? 1 ?

1 都成立。 2n

【例8】 设 数 列 ?an ? 是 首 项 为 1 的 等 差 数 列 , 数 列 ?bn ? 是 首 项 为 1 的 等 比 数 列 , 又

1 2 7 。 cn ? an ? bn (n ? N * ),且c2 ? ,c3 ? ,c4 ? 6 9 54
(1)求数列 ?cn ? 的通项公式与前 n 项和公式; (2)当 n ? 5 时,试判断 cn 的符号(大于零或小于零),并给予严格证明。 解:(1)设数列 ?an ? ?b 的公差为d, n ? 的公比为 q
? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1)d,bn ? q n?1

cn ? an ? bn ? [1 ? (n ? 1)d ] ? q n ?1 (n ? N * )
1 ? ?1 ? d ? q ? 6 ? 1 ? ? ?d ? 2 ? 2 ? ? 2 由条件得 ?1 ? 2d ? q ? ? ? 9 ? ?q ? 4 ? ? 3 ? ? 7 ?1 ? 3d ? q 3 ? ? 54 ?

1 4 1 4 ? cn ? [1 ? (n ? 1)] ? ( )n ?1 ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 ( n ? N * ) 2 3 2 3
Sn ? 1 4 4 4 [(1 ? 1) ? (2 ? 1) ? … ? (n ? 1)] ? [( ) 0 ? ( ) ? … ? ( ) n?1 ] 2 3 3 3

4 ( )n ? 1 1 n(n ? 1) 1 4n ? [ ? n] ? 3 ? n(n ? 3) ? n ?1 ? 3 (n ? N * ) 4 2 2 4 3 ?1 3
(2) c5 ? 3 ? ( ) 4 ? 0,c6 ?
4 3 7 4 5 ? ( ) ? 0, 猜想n ? 5,cn ? 0 … 2 3

证明:①当 n=5,c5<0 命题成立

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②假设当 n ? k (k ? 5)时,ck ? 0,即 (k ? 1) ? ( ) k ?1 ? 0
ck ?1 ? 1 4 1 4 1 1 4 1 44 (k ? 2) ? ( ) k ? [ (k ? 1) ? ( ) k ?1 ] ? [ ? ( ) k ?1 ] ? ? 5 ? 0 2 3 2 3 2 3 3 2 3

1 2

4 3

当 n ? k ? 1时ck ?1 ? 0 也成立 由①,②对一切 n ? 5,都有 cn<0。

【例9】

?an ? 是等差数列,数列 ?bn ?满足 bn

? an ? an?1 ? an?2 (n ? N ),S n 为?bn ?的前 n 项和。

(1)若 ?an ? 的公差等于首项 a1,证明对于任意自然数 n 都有 S n ?

bn a n ?3 ; 4d

(2)若 ?a n ? 中满足 3a5 ? 8a12 ? 0 ,试问 n 多大时, S n 取得最大值?证明你的结论。 解:(1)当 n ? 1时, S1 ? b1 假设当 n ? k时,S k ? 则 S k ?1 ? S k ? bk ?1 ?
? b1a4 b1 (a1 ? 3d ) ? ? b1 ,∴原命题成立 4d 4d

bk ak ?3 成立 4d

bk ak ?3 ? bk ?1 ? 4d ak ? ak ?1ak ?2 ak ?3 ? bk ?1 ? 4d ? 4d 4d

ak bk ?1 ? bk ?1 4d bk ?1 (ak ? 4d ) bk ?1ak ?4 ? ? 4d 4d 4d bn an?3 4d

?当n ? k ? 1时命题也成立,故对任 n ? N有S n ? 意

(2)由 3a5 ? 8a12,有3a5 ? 8(a5 ? 7d )? a5 ? ?
1 a16 ? a5 ? 11d ? ? d ? 0 5 a17 ? a5 ? 12d ? ? 56 4 d ? 12d ? d ? 0 5 5

56 d 5

b1 ? b2 ? …b14 ? 0 ? b17 ? b18 … b15 ? a15 a16 a17 ? 0,b16 ? a16 a17 a18 ? 0 ? S14 ? S13 ? … ? S1,S14 ? S15,S15 ? S16

6 9 又a15 ? a5 ? 10d ? ? d,a18 ? a5 ? 13d ? d 5 5
? a15 ?| a18 |,? b15 |? b16 , b15 ? b16 ? 0? S16 ? S14 |

故 S n 中 S16 最大 【例10】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足条件 lg S n ? (n ? 1) lg b ? lg(b n?1 ? n ? 2) ,其中 b>0 且 b ? 1。(1) 求数列 ?an ? 的通项 an;(2)若对 4 ? n ? N 时,恒有an ?1 ? an ,试求 b 的取值范围。
*

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解:(1)由已知条件得 S n ? b 2 ?
n?2 b n?1 (1 ? b)n ? 3b ? 2 b n?1

当 n=1 时, a1 ? S1 ? b 2 ? 1;当n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ?

?b2 ? 1 ( n ? 1) ? 故 an ? ? (1 ? b)n ? 3b ? 2 ( n ? 2) ? bn ?1 ?
(2)由 an?1 ? an,化简得(b ? 1)(b ?
解得,b ? 1或b ? ?1 ? n ?1 2 ? 1? n?3 n?3

n ?1 ) ? 0 (n ? 4) n?3

2 ? 1? 2 ? 3 n?3 ?b ? 3 故0 ? b ? 1或b ? 3为所求

【例11】 两个数列 ?a n ? 、 ?bn ? 中, n ? 0,bn ? 0,且an,bn 2,an?1 成等差数列, bn , a n ?1,bn ?1 成等比数列。 且 a
2 2

(1)证明 ?bn ? 是等差数列;(2)若 a2 ? 3a1 ? 3,求 lim 解:(1) ?
?2bn 2 ? a n ? a n ?1 ?
2 2 2 ?a n ?1 ? bn ? bn ?1 ?

b1 ? b2 ? … ? bn 的值。 n?? an

? 2 ?2b ? a n ? a n ?1 ?? n (a n ? 0,bn ? 0) ?a n ?1 ? bn bn ?1 ?

? 2bn 2 ? bn?1bn ? bn bn?1 ? 2bn ? bn?1 ? bn?1 ? ?bn ? 是等差数列

(2)又 a2 ? 3a1 ? 3 ? a1 ? 1,a2 ? 3 ? b1 ? 2 , 又 b1b2 ? a 2 ? b2 ?
? 公差d ?
3 2 2

2 2 2 2 ,? bn ? 2 ? (n ? 1) ? ? n? 2 2 2 2 1 ? a n ? bn bn ?1 ? n(n ? 1) 2 2n ? 2 n(n ? 1) 2 4 ? 1 2 n(n ? 1) 2

b ? b2 ? … ? bn ? lim 1 ? lim n ?? n ?? an

课后专题练习——数列的概念与性质练习
一、选择题
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1.设 s?n? ?
1 1 1 1 1 ? ? ? ? …… 2 , 则 ( n n ?1 n ? 2 n ? 3 n

D )

A. s?n?共有n项,当n ? 2时,s?2? ?

1 1 ? 2 3 1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 ? 2 3 1 1 1 ? ? 2 3 4

B. s?n?共有n ? 1项,当n ? 2时,s?2? ?

C. s?n?共有n 2 ? n项,当n ? 2时,s?2? ?

D. s?n?共有n 2 ? n ? 1项,当n ? 2时,s?2? ?

2.等比数列 ?a n ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 8,a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 56 ,那么
a11 ? a12 ? a13 ? a14 ? a15 的值为(

C ) C. 392 D. 448 C )

A. 56 7

B. 56 2

3.等比数列 {a n } 中, a3 ? 7 ,前三项之和 S 3 =21,则公比 q 的值是( (A) 1 (B) 1 2

(C) 1 或 -

1 2

(D) -1 或

1 2

4.首项为 1,公差不为零的等差数列中的 a 3 ,a 4 ,a 6 是一个等比数列的前 3 项,则这一等 比数列的第四项为( B ) A.8 B.-8
2

C.-6

D.不确定

5.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 sn ? 2n ? 3n ,那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构 成的数列的通项公式是( B ) A. bn ? 8n ? 9?n ? N ? C. bn ? 4n ? 5?n ? N ? B. bn ? 8n ? 1?n ? N ? D. bn ? 4n ? 3?n ? N ?

6.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-2n2 (n∈N),当 n>2 时,就有( D ) A.Sn>na1>nan 7.有下列命题: ①x= ab ( x ? 0) 是 a, x, b 成等比数列的充分但不必要条件 ②某数列既是等差数列又是等比数列,则这个数列一定是常数列 ③已知 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,且 S n ?S n?1 ? a n ( n ? N) ,那么{an}一定是等比数列 ④设 2 a ? 5,2 b ? 15,2 c ? 45 ,则这三个数 a, b, c 成等差数列 其中正确的命题序号是: D ) (
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B.Sn< nan<na1

C.na1<Sn<nan

D.nan<Sn<na1

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A.②④ B.①②③ C.①③ D.①②④
a An 7n ? 1 (n?N), 11 的值等于 C ) 则 ( ? b11 Bn 4n ? 27

8. 若两个等差数列 ?an ? ?bn ?的前 n 项和 An 和Bn 满足 、 A.
7 4

B.

3 2

C.

4 3

D.

78 71

9.在等差数列 ?a n ? 中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和为( A ) A.26 B.13 C.52 D.156

10.等差数列 ?an ? , a1 =-5,它的前 11 项的算术平均值为 5。若从中抽去一项,余下 10 项的算术平均值为 4,则抽去的是( D ) A. a 8 二、填空题 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和的公式为 S n ? 2n 2 ? 3n ? 1 ,则通项公式为
?? 2?n ? 1? an ? ? ?4n ? 5?n ? 2?

B. a 9

C. a10

D. a11



2.数列{a n }的通项公式为 a n ?

1 前 n 项和为 S n ,若 lim aS n ? 1 n?? (2n ? 1)(2n ? 3)

(a 为实常数),则 a 的值等于

。3

三、解答题 1. 数列{a n }的前n项和S n ? 2 n ? P( P ∈ R),数列{bn }满足bn ? log2 a n , 若{an }是等比数列 . (1) 求P的值及通项 a n ; (2) 求 lim
2 2

a1b1 ? a 2 b2 ? … ? a n bn (n ? 1· n )2
2 2

n??
2

;
2 n

(3) 求和Tn ? ? b1 ? ? ? b2 ? ? ? b3 ? ? ? b4 ? ? … ? ? bk ?1 ? ? ? bk ? ? … ? ?1? 解: (1) a n ? S n ? S n?1 ? 2 n ? 2 n?1 ? 2 n?1 (n ≥ 2)
∵{a n }是等比数列,∴由 a n ?1 ? 2 得公比q ? 2 an

? bn ?

2

∵a 2 ? 2 ? a1 q, ∴ a1 ? 1 又 a1 ? S1 ,∴ a1 ? S1 ? 21 ? P, ∴1 ? 2 ? P, P ? ?1. ∴a n ? 2 n ?1 (n ∈ N ), P ? ?1

(2)
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? bn ? log2 a n , ∴bn ? log2 2 n ?1 ? n ? 1

设 Qn ? a1b1 ? a 2 b2 ? … ? a n bn , 则 Qn ? 1 2 ? 2 2 2 ? 3 2 3 ? … ? (n ? 2· n ? 2 ? (n ? 1· n ?1 , ① · · · )2 )2
2Qn ? 1 2 2 ? 2 2 3 ? 3 2 4 ? … ? (n ? 2· n ?1 ? (n ? 1· n ② · · · )2 )2
②-①得
Q n ? ?2 ? 2 2 ? 2 3 ? … ? 2 n ?1 ? (n ? 1· n )2 2 ? 2 n ?1 2 · ? (n ? 1· n )2 1? 2 ? 2 ? 2 n ? (n ? 1· n )2 ?? ? (n ? 2· n ? 2 )2
a1b1 ? a 2 b2 ? … ? a n bn (n ? 1· n )2
*

∴ lim

n ??

? lim

(n ? 2· n ? 2 )2 (n ? 1· n )2

n ??

? 1.

(3)当 n=2k( k ? N )时,
Tn ? [(b1 )2 ? (b2 )2 ] ? [(b3 )2 ? (b4 )2 ] ? … ? [(b2k ?1 )2 ? (b2k )2 ] ? (b1 ? b2 )(b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 )(b3 ? b4 ) ? … ? (b2k ?1 ? b2k )(b2k ?1 ? b2k )
? ?(b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? … ? b2 k ?1 ? b2 k ) ? ?(1 ? 2 ? … ? 2k ? 1) ?? (2k ? 1)(1 ? 2k ? 1) ? ?2k 2 ? k . 2
*

当 n=2k-1 ( k ? N )时,
Tn ? [(b1 ) 2 ? (b2 ) 2 ] ? [(b3 ) 2 ] ? … ? [(b2k ?3 ) 2 ? (b2k ?2 ) 2 ] ? (b2k ?1 ) 2

= -[1+ 2 + 3 + 4 + … + (2k - 3)] + (2k - 2)2 ? 2k 2 ? 3k ? 1

??2k 2 ? k ( n ? 2k , k∈N * ) ? ∴ Tn ? ? 2 * ? 2k ? 3k ? 1 ( n ? 2k ? 1, k∈N ). ?

2.数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn, 已知 ?S n ? 是各项为正数的等比数列。试比较 的大小,证明你的结论。 解:依题意, 可设 S n ? S1q n?1 ?其中S1 ? 0, q ? 0?

a n ? a n?2 与a n ?1 2

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则 S n ?1 ? S1q n ? 2 ?n ? 2? 从而有 a n ? ?
当n ? 1时 ? ?S1 ? 0 ?S n ? S n?1 ? S1q n?2 ?q ? 1? 当n ? 2时 ?

(Ⅰ)当 q = 1 时, a2 = a3 = … = 0 ∴

a1 ? a 3 a ? a n?2 ? a2 , n ? a n ?1 ?n ? 2? 2 2
a1 ? a3 S ? S1q?q ? 1? ? a2 ? 1 ? S1 ?q ? 1? 2 2

(Ⅱ)当 q > 0 且 q ? 1 时, (1)当 n = 1 时,
?

2 1 ?? 3? 3? S1 ?? q ? ? ? ? ? 0 2 ?? 2? 4? ? ?



a1 ? a3 ? a2 2
a n ? a n? 2 S q n?2 ?q ? 1? ? S1q n ?q ? 1? ? a n?1 ? 1 ? S1q n?1 ?q ? 1? 2 2

(2)当 n ? 2时,
?

1 3 S1q n?2 ?q ? 1? 2

a n ? a n?2 ? a n ?1 2 a ? a n?2 (ii)若 0 < q < 1 时, 则 n ? a n ?1 2
(i)若 q > 1 时, 则
3a ? 4 16 ,且n ? 2时,a n ? n?1 3 7 ? an?1

3.已知数列 ?an ? 中,a7 ?

(1)分别求出 a8 ,a9 ,a10 的值 。 (2)当 n?9 且 n 是自然数时,试比较 a n 与 2 的大小,并说明理由。
3a ? 4 ? 解: (1) a 8 ? 7 7 ? a7 3? 16 ?4 4 3 ? 12 ; 同理:a 9 ? ?8,a10 ? ? 16 3 7? 3

(2) a n ? 2 ?

3a n ?1 ? 4 5?a n ?1 ? 2? ?2 ? 7 ? a n ?1 7 ? a n ?1

用数学归纳法证明:当 ? 9时,a n ? 2 n

当n ? 9时a9 ? ?8 ? 2 ?命题成立
假设n ? k (k ? 9)时a k ? 2

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数列总复习

作者:李忠华

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高三数学第二轮复习——数列
那么当n ? k ? 1时
a k ?1 ? 2 ? 5(a k ? 2) ? 0 (? a k ? 2, a k ? 2 ? 0 7 ? a k ? 0) ? 7 ? ak

n ? k ?1 时命题成立
综上所述,对一切 ? 9 n 自然数a n ? 2成立。

4.已知 S n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N ) , f (n) ? S 2n?1 ? S n?1 2 3 n

⑴比较 f (n ? 1) 与 f (n) 的大小。 ⑵试确定实数 m 的取值范围,使得对于一切大于 1 的自然数 n ,不等式
f (n) ? [logm (m ? 1)]2 ? 11 [log( m?1) m] 2 恒成立。 20
1 1 1 ? ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 2

解: (1)∵f(n+1)-f(n)=S2n+3-Sn+2-(S2n+1-Sn+1)=…= >
1 1 1 =0, ? ? 2n ? 4 2n ? 4 n ? 2

∴f(n+1)>f(n)。 (2)∵f(n+1)>f(n),∴当 n>1 时,f(n)的最小值为 f(2)=S5-S3= ∴必需且只须 [logm (m ? 1)]2 ? 由?
9 20

9 11 ……………①, [log(m?1) m]2 < 20 20

?m ? 0且m ? 1 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 ? 0且m ? 1 ? 1
?t ? 0 ? 11 9 ,解得:0<t<1 ?t ? 20t ? 20 ?

令 t= [logm (m ? 1)]2 则不等式①等价于 ?

即 0< [logm (m ? 1)]2 <1,即-1<logm(m-1)<0 或 0<logm(m-1)<1, 解之得:
1? 5 ? m ? 2或m ? 2 。 2

5.某人年初向建设银行贷款 10 万元用于买房。 (1)如果他向建设银行贷款, 年利率为 5%, 且这笔借款分 10 次等额归还(不计复利), 每年 一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到 1 元)? (2)如果他向工商银行贷款, 年利率为 4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生 息), 仍分 10 次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到 1 元)? 解:(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款 x 元, 则 105×(1 + 10×5%) = x(1 + 9×5%) + x(1 + 8×5%) + x(1 + 7×5%) + … + x,
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105×1.5 = 10x + 45×0.05x, 解得 x ?
105 ? 15 . ? 12245 (元) 12.25

(2)若向工商银行贷款, 设每年还款 y 元, 则 105×(1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + … + y
105 ? 104 10 ? . 104 10 ? 1 . ·y 104 ? 1 .

其中 1.0410 = (1 + 0.04)10 = 1 + 10×0.04 + 45×0.042 + 120×0.043 + 210×0.044 + … ? 1.4802
y? 105 ? 14802 ? 0.04 . ? 12330 (元) 0.4802

答: 若向建设银行贷款, 每年需还 12245 元; 若向工商银行贷款, 每年需还 12330 元。

典型例题精讲——数列的综合应用(1)
【例1】 已知无穷数列 ?a n ? , S n 是其前 n 项和,对不小于 2 的正整数 n,满足关系 1 ? S n ? a n?1 ? a n 。 (1)证明 ?a n ? 是等比数列;
?a n , 计算 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? (2)设 bn ? ? ? log a n ?? log 2 a 2 n ?1 ? 2 2n ?3 ? ? ? 1 2 ?

解: (1)S2= a1 ? a2 ,?1 ? (a1 ? a2 ) ? a1 ? a2 , a1 ?
S 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ,?1 ? (a1 ? a 2 ? a 3 ) ? a 2 ? a 3 , a 2 ?

1 2
1 4 1 8

S 4 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ?1 ? (a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? a 3 ? a 4 , a 3 ?

(2)猜想 a n ? (1) (2)

1 2n

(n ? N )

当 n=1 时,命题成立 假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 a k ?
1 2k

?1 ? S k ?1 ? a k ? a k ?1 ?1 ? ( S k ? a k ?1 ) ? a k ? a k ?1 (*) ?1 ? S k ? a k

同理有 1-Sk+1=ak+1 由(*)式和假设 a k ?
1 2
k

(**)
得S k ? 1 ? 1 2k

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由(**)式,得,1=(Sk+ak+1) 故 ak+1= (1 ? S k ) ?
1 2 1 2
k ?1

∴当 n=k+1 时,命题也成立。 由(1)(2)n∈N,a n ? , 此时
1 2n 成立

a n ?1 1 ? 成 立 {a n }是 等 比 数 列 ? an 2

(2)另证:对 n≥2, 1-Sn=an-1-an 1- Sn+1=an-an+1 两式相减,有
S n?1 ? S n ? an?1 ? 2an ? an?1
? a n ?1 ? a n ?1 ? 2a n ? a n ?1 ? an a a 1 a 1 ? 即 2 ? 3 ? ?? ? n ? ? ? a n ?1 2 a1 a 2 a n ?1 2

?{a n }是等比数列

? ? ? ? (3)? bn ? ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 n 2n ? 1? ? 2 n ?1 2n ? 3? ? 2 n ? ?

?

2

1

?

1

?

1

?

1

? lim ?b1 ? b2 ? ? ? bn ?
n ??

?? 1 ? ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? lim ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? n ?1 n ?? n ? ? ?? 3 5 ? 2 ? ? 5 ? 2 7 ? 4 ? ? 7 ? 4 9 ?8 ? (2n ? 1) ? 2 (2n ? 3) ? 2 ? ? ? ? ?? ?

= lim ? ?
n ?? ? 3

?1 ?

? 1 ?? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? 1

【例2】 已知 f ?x ? ? 2 x 2 ? 1?x ? 0? ,数列

?a n ? 满足 ?a1 ?
?

a ?1
n

? f ?a n ?1 ?

?n ? N且n ? 2?

(1)求 a n 。 (2)求 lim
2 3n ? an

n ??

3n ? 2 n



(3)若 b1 ?

2 22 2n ,b2 ? , bn ? … , 求数列 bn 的前 n 项的和 Sn。 … a1 ? a2 a 2 ? a3 an ? an?1

? ?

解: (1)由 a1 ? 1, a n ? 2a n ?1 2 ? 1 得数列前五项
a1 ? 1,a 2 ? 3,a3 ? 7,a 4 ? 15,a5 ? 31 由此猜想a n ? 2 n ? 1 ①

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证(i)当n ? 1时,a1 ? 2 ? 1 ? 1等式①成立

(ii)假设 n ? k 时等式①成立,即 a k ? 2 k ? 1?k ? N ?
2 当 n ? k ? 1 时 a k ?1 ? 2a k ? 1 ? 2 2 k ? 1 ? 1 ? 2 k ?1 ? 1

?

?

即等式①对 n ? k ? 1 也成立 由(i) (ii)可知等式①对 n ? N 都成立
? 2? ?1? 1? ? ? ? ? ? ? 3? ?3? ?2? 1? ? ? ?3?
2n 2 n?1 ? 1 ? 2 n ? 1
n 2 n

(2) lim

2 3n ? an

n ??

3n ? 2 n

? lim

3n ? 2 n ? 1 3n ? 2 n

n ??

? lim

n ??

?1

(3) S n ?

1 1? 3

?

22 3? 7

?…?

?

3 ?1 ? 2

? 7 ? 3 ?2
22

2

2 n ? 2 n ?1 ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? ? ?…? ? n 2

? 2 n ?1 ? 1 ? 1

【例3】 已 知 a ? 0,a ? 1 , 数 列 ?a n ? 是 首 项 为 a , 公 比 也 为 a 的 等 比 数 列 , 令

bn ? an lg an n ? N *) ( 。
(1)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ; (2)当数列 ?bn ? 中的每一项总小于它后面的项时,求 a 的取值范围. 解: (1)由题意知 an=an,bn=nanlga. ∴Sn=(1 ? a+2 ? a2+3 ? a3+……+n ? an)lga. a Sn=(1 ? a2+2 ? a3+3 ? a4+……+n ? an+1)lga. 以上两式相减得 (1–a)Sn=(a+a2+a3+……+an–n ? an+1)lga ? ? ∵a≠1,∴ S n ?
a lg a (1 ? a) 2
? a (1 ? a n ) ? 1? a ? ? ? n ? a n ?1 ? lg a . ? ?

?1 ? (1 ? n ? na)a ?.
n

(2)由 bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga=aklga[k(a–1)+a]. 由题意知 bk+1–bk>0,而 ak>0, ∴lga[k(a–1)+a]>0. ①
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(1)若 a>1,则 lga>0,k(a–1)+a>0,故 a>1 时,不等式①成立; (2)若 0<a<1,则 lga<0, 不等式①成立 ? k (a ? 1) ? a ? 0 ? 0 ? a ?
1 ? k ? ?0?a?? ? . ? ? k ? 1 ? min 2

k 恒成立 k ?1

综合(1)(2)得 a 的取值范围为 (0, ) ? (1,??) 、

1 2

【例4】 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,又有数列 ?bn ? ,它们满足关系 b1 ? a1 ,对 n ? N 有
*

an ? S n ? n, bn?1 ? an?1 ? an 。

(1)求证 ?bn ? 是等比数列,并写出它的通项公式 (2)求 lim a n
n??

解:⑴证法一:当 n=1 时, a1 ? s1 ? 1, ? a1 ? a1 ? 1 ? a1 ? b1 ?
?a n ? s n ? n 当n ? 2时, 由? ? 2a n ? a n ?1 ? 1 (1) ?a n ?1 ? s n ?1 ? n ? 1

1 。 2

同理, 2a n?1 ? a n ? 1

(2)

(2)-(1), 2(an?1 ? an ) ? an ? an?1 即 2bn ?1 ? bn
? bn ?1 1 ? (3) bn 2
3 4 3 1 1 ? ? 4 2 4

由 a2 ? s2 ? 2, 得a2 ? . 又b2 ? a2 ? a1 ? 于是
b2 1 ? b1 2 (4)
1 2

由(3),(4)知 {bn }是b1 ? , q ?

1 1 的等比数列, bn ? n 2 2

1 1 1 证法二:同上算得 b1 ? , b2 ? ,……猜想 bn ? n 且数学归纳法证明, 2 4 2

(1) 当 n ? 1时,

1 1 ? ? b1 ,命题成立 2? 2
1 成立。 2k

(2)假设 n ? k (k ? N ) 时命题成立,即 bk ?
? 1 2k

? a k ? a k ?1 ? (k ? S k ) ? ?(k ? 1) ? S k ?1 ? ? 1 ? a k

∴ ak ? 1?

1 2
k ?1

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又 a k ?1 ? S k ?1 ? k ? 1, 即a k ?1 ? ?a k ?1 ? S k ? ? k ? 1
? 2a K ?1 ? (k ? 1) ? S k ? (k ? 1) ? (k ? a k ) ? 1 ? a k ? 2 ? ? a k ?1 ? 1 ? 1 2k 1 2
k ?1

1 2k

? bk ?1 ? a k ?1 ? a k ?

即n ? k ? 1时命题成立 .

由(1)(2)知对 n ? N 猜想 bn ?
?{bn }是以b1 ?

1 2n

成立

1 1 1 , q ? 的等比数列, bn ? n 2 2 2

⑵? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ??(a2 ? a1 ) ? a1
1 1 (1 ? n ) 2 2 ? 1? 1 ? bn ? bn ?1 ? ?? ? b2 ? b1 ? 1 2n 1? 2

∴ lim a n ? lim (1 ?
n?? n??

1 2n

) ?1

解法 2:由 2a n ? a n?1 ? 1 ? a n ? 1 ?
1 ?1? ? a n ? 1 ? ?a1 ? 1?? ? ? a n ? 1 ? n 2 ?2?
n

1 ?a n?1 ? 1? 2

1 ? ? 1 ? 1 1 ? ? bn ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n ?1 ? ? n ,∴{bn}是等比数列;且 lim a n ? lim (1 ? n ) ? 1 n?? n?? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2

【例5】 已知 ?a n ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 An , ?bn ? 是首项为 1,公比为 q(|q|<1)的等比数列, 其前 n 项和为 B n , S n ? B1 ? B2 ? B3 ? . ? Bn , lim ( 设 若
n??

An ? Sn ) ? 1 , n

求 d 和 q。 解: An ? na1 ? 又 Bn ?
A n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 d ? n? d ;? n ? 1 ? d 2 2 n 2

1? qn 1 qn ; ? ? 1? q 1? q 1? q
n q(1 ? q n ) ? 1 ? q (1 ? q) 2

? S n ? B1 ? B2 ? B3 ? ....? Bn ?

? lim (
n??

An q(1 ? q n ) n ?1 n d? ? ] ? S n ) ? lim [1 ? n ?? 2 1 ? q (1 ? q) 2 n
q q n ?1 d d 1 ? )?( ? )n ? ] =1 2 (1 ? q) 2 2 1? q (1 ? q) 2

? lim [(1 ?
n ??

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? q |? 1,? ? lim |
q n?1 (1 ? q) 2 ?0

n??

q ? d ? 1, ?1 ? 2 ? (1 ? q) 2 ? ?? ? d ? 1 ? 0. ? 2 1? q ? q q 1 1 ? ? ? 0, ( ? 1) ? 0. 2 1? q 1? q 1? q (1 ? q)

又?

1 q 1 ? 0,? ? 1,? q ? ., d ? 4 1? q 1? q 2

【例6】 已知等比数列 {a n } 中 a1 = 1,公比为 x (x > 0),其前 n 项和为 S。 (1)写出数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式; (2)设 bn ? 的表达式; (3)判断数列{bn}的增减性; (4)求 limbn 。
n??

an ,写出 bn 关于 x 和 n Sn

解: (1) a n ? x n?1 ,S n ? ?1 ? x n (2) x ? 1时, bn ?
x ? 1时, bn ?

?n, x ? 1时 ? , x ? 1时 ? ? 1? x

an 1 ? , Sn n

a n x n ?1 ?1 ? x ? ? Sn 1? x n

?1 ? n , x ? 1时 ? ? bn ? ? n?1 ? x ?1 ? x ? , x ? 1时 ? ? 1? xn
1 bn?1 n ? 1 n (3)当 x ? 1时, ? ? ? 1,又bn ? 0 ;∴ bn ?1 ? bn 1 bn n ?1 n

x n ?1 ? x ? n ?1 bn ?1 1 ? x n ?1 ? x ? x ? 1 ? 1 ? x 当 n ? 1 时, ? n ?1 x ?1 ? x ? 1 ? x n ?1 bn 1 ? x n ?1 1 ? xn
? x ? 1,1 ? x与1 ? x n同号, ? ?1 ? 1? x 1? xn 1? x 1? xn ?0

? 1,又bn ? 0,? bn?1 ? bn

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综上知 ?bn ?为递减数列。 (4)当 x ? 1时, bn ? lim lim
n??

1 ?0 n?? n

当x ? 1时, bn ? lim lim
n ??

x n?1 ? x n 1? xn

n ??

1 ?1 1 当x ? 1时, bn ? lim x lim ? 1? 1 n ?? x ?1 n x

当 0 ? x ? 1时, lim bn ? 0
n ??

?0, 当 0 ? x ? 1时 ? ? lim bn ? ? 1 n ?? ?1 ? x ,当x ? 1时 ?

数列的综合应用(1)

1. 等差数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? 2 ? 3n, ?a n ?的前 n 项和 S n 等于( A
(A) ? n 2 ?
3 2 n 2

)

(B) ? n 2 ?

3 2

n 2
n

(C)

3 2 n n ? 2 2

(D)

3 2 n n ? 2 2

1 2. 一个等比数列的前 n 项和 S n ? 1 ? ? ? ,则该数列各项和为( B ) ? ? ?2?

A.

1 2

B.1

C.-

1 2

D.任意实数

3. 已知数列{an}满足 an+1=an–an–1(n≥2) 1=a,a2=b,记 Sn=a1+a2+a3+…+an,则下列结 ,a
论正确的是( A ). (B)a100=–b,S100=2b–a (D)a100=–a,S100=b–a

(A)a100=–a,S100=2b–a (C)a100=–b,S100=b–a

4. 设首项为 3,公比为 2 的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,首项为 2,公比为 3 的等比
数列{a' n }的前 n 项和为 S' n ,则 lim (A)
1 2
n ??

S n ? S 'n 的值等于( a n ? a' n
3 2

C

)

(B)

2 3

(C)

(D) 2

5. 在等比数列 {an } 中,首项 a1 < 0,则 {a n } 是递增数列的充要条件是公比 q 满足
( C )
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A.q > 1 B.q < 1 C.0 < q < 1 D.q < 0

6. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1,2an?1 ? an (n ? 1,2,3,??) ,则这个数列前 n 项和的极限是(A)
(A)2 (B)
1 2

(C)3

(D)

1 3
a1 ? a 2 ? … ? a n (n ? N ) 所确定的数列 ?bn ? 的前 n

7. 等差数列 ?a n ? 的通项 an ? 2n ? 1 , bn ? 则由
n 项和是( C ) A. n(n ? 1) B.
n(n ? 1) 2

C.

n(n ? 5) 2

D.

n( n ? 7) 2

8. 已知等比数列{an}中,公比 q ? R,且 a1 ? a2 ? a3 ? 9 , a4 ? a5 ? a5 ? ?3 ,记
S n ? a1 ? a2 ? ?? ? an 则 lim Sn 等于(
n ??

D ) D.
1 3

A.

36 175

B.

48 175

C. 6
? q3 ? ?

27 4

解:由已知可得 ?

?a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 9 ? ?a1 q (1 ? q ? q ) ? ?3 ?
3 2

所以得: a1 (1 ? q ? q 2 )(q ? 1) ? 9(q ? 1) ? a1 (q 3 ? 1) ? 9(q ? 1) ? a1 ? ? 所以 lim S n ?
n ??

27 (q ? 1) 4

a1 27 ? 1? q 4

9. 已知数列 ?an ? cos0,2 cos , : …
1 3 1 3 2

?

?n ? 1?? , 此数列所有项的和等于( 1 cos … n 2 3
C.0.3 D.0.375

C )

A.0.25

B.0.5

10. 设等差数列 ?an ? 共有 3n 项,它的前 2n 项之和是 100,后 2n 项之和是 200,则该等差数
列的中间 n 项之和等于 . 75

11. 在数列 ?an ? a1 ? sin ? ? 0,an?1 ? an cos? ?n ? N ? 该数列所有项的和为 3 ,则 θ 的值等于 中,
2k? ?

?
3

?k ? z ?

12. 某工厂原来年总产值为 a, 以后连续两年平均以 10%递增, 若连续两年中第二年产值为 b,
则 a 占 b 的百分数是 。 82
78 % 121

13. 数列 ?a n ? 中,a1 ? 5,an ? a1 ? a2 ? a3 ? …an?1 (n ? 2)则an ? 14. 已知 ?a n ? 、 ?bn ? 都是公差不为零的等差数列,且 lim
an ?2 n?? bn

。a n ? ?

?5 (n ? 1) ? ?5 ? 2 n?2 (n ? 2) ?

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则 lim
a1 ? a 2 ? … ? a n 的值为 n?? nb2n



1 2

15. 已知数列 ?a n ? 是等比数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 18,a2 ? a3 ? a4 ? ?9
且 S n ? a1 ? a 2 ? … ? a n,则 lim S n ?
n??

. 16

16. 数列 {an } 中,前 n 项和 S n ? an2 ? bn 其中 a, b 是常数,且 a ? 0, a ? b ? 1, n ? N * .
(1)求 {an } 的通项公式 a n ,并证明 a n?1 ? a n ? 1(n ? N ) ; (2)令 c n ? log an a n?1 ,试判断数列 {cn } 中任意相邻两项的大小. 解: (1) a1 ? S1 ? a ? b ? 1
a n ? S n ? S n ?1 ? (an2 ? bn) ? [a(n ? 1) 2 ? b(n ? 1)]

? 2an ? a ? b(n ? 2,3,4??)

当 n=1 时也能满足上式,∴ a n ? 2an ? a ? b (n ? 1,2,3, ??)
a n?1 ? an ? 2a(n ? 1) ? a ? b ? (2an ? a ? b) ? 2a ? 0.

∴ a n?1 ? a n ? 1.(n ? 1,2,3??) (2)由(1)及对数的性质可得数列 {cn } 中各项皆为正值
? log an ?1 a n ? 2 ? log an ?1 a n ? c n ?1 log an ?1 a n ? 2 ? ? ? log an ?1 a n ? 2 ? log an ?1 a n ? ? ? ? 2 cn log an a n ?1 ? ?
2

?

? a n?2 ? a n 1? 1 log an ?1 (a n ? 2 ? a n ) 2 ? ?log an ?1 ? ? 4? 2 4 ? ?

?

?

? ? ? ?

2?

? ? ?

(a n ? 2 ? a n )

?

1 logan ?1 (a n?1 ) 2 4

?

?

2

?1

又∵ a n ? 1 ,∴ c n ? logan a n?1 ? 0 . ∴ c n?1 ? c n
(n ? 1,2,3??).

17. 已知数列 ?an ? , a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,对于任意 n ? 2, 3S n ? 4, a n ,2 ? 中
列。 (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求通项 an ; (3)计算 lim S n .
n??

3S n?1 总成等差数 2

解: (1)∵当 n≥2 时, 3S n ? 4, a n ,2 ?
3 2

3S n?1 成等差数列 2

∴ 2a n ? 3S n ? 4 ? 2 ? S n?1 ;∴ a n ? 3S n ? 4(n ? 2)
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∴ a2 ? 3(a1 ? a2 ) ? 4, ∵ a1 ? 1 ,∴ a2 ?

1 2
1 4

类似地 a3 ? 3(a1 ? a 2 ? a3 ) ? 4 ∴ a 3 ? ?
1 8

a4 ? 3(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 4 ∴ a 4 ?

(2)∵当 n≥2 时, an ? 3Sn ? 4 ,即 3S n ? an ? 4

∴?

?3S n ? a n ? 4 ?? ① ?3S n ?1 ? a n ?1 ? 4 ?? ②

②–①得 3an ?1 ? an ?1 ? an



a n ?1 1 ? ? 为常数 an 2
1 2 1 2

∴ a2 , a3 , a4 ,…, an ,…成等比数列.;其中 a 2 ? , q ? ?
1 1 n?2 1 (? ) ? ?(? ) n ?1 2 2 2

故 n ? 2, a n ? a 2 ? q n?2 ?

∴ an ? ?

(n ? 1) ?1 ? 1 n ?1 (n ? 2) ?- (- 2 ) ?

(3)∵ Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an = 1 ? (a2 ? a3 ? ? ? an )

∴ lim S n ? 1 ? lim (a2 ? a3 ? ? ? an ) = 1 ?
n?? n??

1 2 1 1 ? (? ) 2

? 1?

1 4 ? 3 3

数列的综合应用(2)
【例1】 已 知 函 数 f ( x) ?

4x ? 2 ( x ? ?1,x ? R) , 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? a(a ? ?1,a ? R) , x ?1

an ?1 ? f (an )(n ? N * ) .
(1)若数列 ? an ? 是常数列,求 a 的值;

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(2)当 a1 ? 4 时,记 bn ? 解 (1)∵ f ( x) ?

an ? 2 (n ? N * ) ,证明数列 ?bn ? 是等比数列,并求出通项公式 an . a n ?1

4x ? 2 ,数列 ? an ? 是常数列, ,a1 ? a,an ?1 ? f (an(n ? N *) ) x ?1 4a ? 2 ∴ an ?1 ? an ? a ,即 a ? ,解得 a ? 2 ,或 a ? 1 . ………6 分 a ?1 ∴所求实数 a 的值是 1 或 2.
(2)∵ a1 ? 4,bn ?

an ? 2 (n ? N * ) , an ? 1

4an ? 2 ?2 an ?1 ? 2 an ? 1 2 2 an ? 2 2 ∴ b1 ? ,bn ?1 ? ,即 bn ?1 ? bn (n ? N * ) .…10 分 ? ? 3 an ?1 ? 1 4an ? 2 ? 1 3 an ? 1 3 an ? 1
∴数列 ?bn ? 是以 b1 ?

2 2 为首项,公比为 q ? 的等比数列,于是 3 3

2 2 2 bn ? ( )n?1 ? ( )n (n ? N * ) . 12 分 3 3 3

2 ( )n ? 2 an ? 2 an ? 2 2 n 由 bn ? 即 ? ( ) ,解得 an ? 3 , (n ? N * ) . 2 n an ? 1 3 an ? 1 ( ) ?1 3 2 ( )n ? 2 ∴所求的通项公式 an ? 3 (n ? N * ) . 2 ( )n ? 1 3
【例2】 数列 ?a n ?中, a n ? 0 , a n ? 1 ,且 a n ?1 ? (1)证明: a n ? a n ?1 ; (2)若 a1 ?

16 分

3a n ? ( n ? N ). 2a n ? 1

3 ,计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,并求出数列 ?a n ?的通项公式; 4
? p ? an ? ? 成等比数列. ? an ?

(3)若 a1 ? a ,求实数 p ( p ? 0 ) ,使得数列 ?

(1)若 a n ? a n ?1 ,即

3a n ? a n ,得 a n ? 0 或 a n ? 1 与题设矛盾, 2a n ?1

? a n ? a n?1 ……4 分

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(2) a 2 ?

9 27 81 , a3 ? , a4 ? …………6 分(错一个扣 1 分,错 2 个全扣) 10 28 82
3n ,再用数学归纳法证明.…………10 分 3n ? 1

解法一:用数学归纳法,先猜想 a n ?

解法二: ,由

1 a n ?1

1 1 2 1 1 1 ? ( ) ? ,得 ? 1 ? ( ? 1) , 3 an 3 a n ?1 3 an

?数列{

1 1 1 1 1 1 ?1 ? , 公 比 为 的 等 比 数 列 , ? ?1 ? ( )n , 得 ? 1} 是 首 项 为 a1 3 an an 3 3

an ?

3n …………10 分 3n ? 1

p ? a n ?1 ? p ? an ? a n ?1 (2 p ? 3)a n ? p ? ? q, (3)设数列 ? ? 成等比数列,公比为 q ,则 p ? an 3( p ? a n ) ? an ? an
即 (2 p ? 3q ? 3)a n ? 3 pq ? p ………………14 分

? p ? ?1 ?2 p ? 3q ? 3 ? 0 ? 由 p ? 0 ,? ?a n ?不是常数列,? ? ,? 1 , ? p(3q ? 1) ? 0 ?q ? 3 ?
此时, ?

? p ? an ? 1 ? 是公比为 的等比数列………………16 分 3 ? an ?

【例3】 已知函数 f(x)= x 2 ? 1( x ≥1) (1)求 f(x)的反函数 f
-1

(x)的表达式;
-1

(2) 数列 ?an ? 中,a1 ? 1;an ? f 的通项公式及前 n 项和 Sn;

* (an-1 )(n ? N *,n ? 2) , 如果 bn ? (n ? N ) , 求数列 ?bn ?

(3)如果 g(n)=2Sn-17n,求函数 g(x) (x?R)在区间[t,t+2] (t?R)上的最小值 h(t)的表达式。
∴ ∴ 解: (1) y ? x 2 ? 1  y 2 ? x 2 ? 1  x 2 ? y 2 ? 1
∵ x ≥ 1  y ≥ 0  x ? ∴ ∴ y2 ?1
(a n ?1 ) ?

∴f

-1

(x)=

x 2 ? 1( x ≥ 0)

(2) a1 ? 1 a n ? f

?1

2 a n ?1 ? 1(n ? N , N ≥ 2)

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2 2 ∴ a1 ? 1 a n 2 ? a n?1 ? 1

∴ b1 ? 1 bn ? bn?1 ? 1

∴ b n ? 是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列

?

∴b n ? n

∴S n ?

1 n(n ? 1) 2

(3)g(n)=2Sn-17n=n2-16n ∴ g ( x) ? x 2 ? 16x ? ( x ? 8) 2 ? 64 ∴g(x)函数图像是以顶点 M(8,-64)且开口向上的抛物线 (i)当 t>8 时,g(x)在[t,t+2]上是增函数 (ii)当 t+2<8 时,g(x)在[t,t+2]是减函数 (iii)当 6≤t≤8 时 h(t)=g(8)=-64 ∴h(t)=g(t)=t2-16t

x?R

∴h(t)=g(t+2)=t2-12t-28

?t 2 ? 12 t ? 28 t ?( ??,6) ? ∴ h( t ) ? ??64     t ?[6,8] ? 2 ?t ? 16t   t ?(8,??)

【例4】 在数列{an}中,已知 a1 ? a ? a ? 2 ?,且an ?1 ? (1)求证: an ? 2 n ? N

2 an ?n ? N * ? 2 ? an ? 1?

?

*

(2)求证: a ?;

n ?1

? an ? n ? N * ? ;
lg

3 (3)若存在 k ? N * ,使得 a k ? 3 ,求证: k ? a ? 1 。 3 lg 4

解: (1)证明: 当 n ? 1时,a1 ? a ? 2 ,命题成立。 假设 n ? k ?k ? 1,k ? N ? 时,命题成立,即 a k ? 2 则 a k ?1 ?
2 ? ak 1? 1 ? ??a k ? 1? ? ? 2? 2?a k ? 1? 2 ? ak ? 1 ?

由归纳假设 ak ? 2 ,则 ak ? 1 ? 0,且ak ? 1 ?
a k ?1 ? ? 1? ? 1 ? 2? ? 2 ?2 ?a k ? 1· 2? ak ? 1 ? ? ?

1 ,由平均值定理得 ak ? 1

所以 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? 2 也成立 因此,对任意自然数 n,都有 an ? 2 (2)证明:
a n?1 an an?1 1 ? 1 ? 1? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? a ? 1 ? ;由(1) an ? 2 ,? a ? 2 ?1 ? 2 ? 1 ? ? 1 an 2?a n ? 1? 2 ? ? ? n n ?

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又 an ? 2 ? 0, an?1 ? an ? (3)证明:由 a n?1 ? a n 及 ak ? 3 得 a1 ? a2 ? a3 …… ? ak ?1 ? ak ? 3
则 ak a k ?1 1? 1 ? 1? 1 ? 3 ? ? ? ?1 ? ? a ? 1 ? ? 2 ?1 ? 3 ? 1 ? ? 4 a k ?1 2?a k ?1 ? 1? 2 ? ? ? k ?1 ? a a a 3 3 3 ?3? a k ? a1 2· 3 …… k ? a1 · …… ? a ? ? · · · a1 a 2 a k ?1 4 4 4 ?4?
?3? ? 3 ? ak ? a ? ? · ?4? ?3? ?4?
k ?1 k ?1

k ?1

由此得 a? ?

?3? ? 3,又a ? 3, ? ? ? ?4?

k ?1

?

3 3 3 ;于是 ?k ? 1?lg ? lg a 4 a

3 lg 3 a ?1 又 lg ? 0 ,解得 k ? 3 4 lg 4

【例5】 已 知 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 2 , 对 于 任 意 的 n ? N

*

, 都 有 an ? 0 , 且

n ?1 (n ? 1)an 2 ? an an+1 ? nan ?12=0 , 又知数列 {bn }: bn=2 ? 1 。 (1)求数列 {a n } 的通项 a n 以

及它的前 n 项和 S n ;(2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ;(3)猜想 Sn和Tn 的大小关系,并说明 理由.
2 2 解:⑴∵ an ? 0(n ? N ), (n ? 1)an ? an an?1 ? nan?1 ? 0



(n ? 1)(

an 2 a ) ? ( n ) ?n ? 0。 a n?1 a n?1



?? 1, ? 1 ? 1 ? 4n(n ? 1) ? 1 ? (2n ? 1) ? an ? ? ?? n an?1 2(n ? 1) 2(n ? 1) ?n ? 1. ?
an a n n ?1 。即 n ?1 ? 。 ? a n ?1 n ? 1 an n

∴ an ? 0 ,∴ ∴

a a n a n ?1 a n ?2 a a n n ?1 n ? 2 3 2 ? ? ??? 3 ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? n 。∴ n ? n , a n ?1 a n ?2 a n?3 a 2 a1 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 a1

又 a1 ? 2 ,∴ an ? 2n 。 ∴ S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 2 ? ⑵∴ bn ? 2 n ?1 ? 1 ,
n(n ? 1) ? n2 ? n 。 2

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∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (2 0 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? n ? ⑶ Tn ? S n ? (2 n ? n ? 1) ? (n 2 ? n) ? 2 n ? n 2 ? 1 当 n ? 1 时, T1 ? S1 ? 21 ? 12 ? 1 ? 0 ,∴ T1 ? S1 ; 当 n ? 2 时, T2 ? S 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? ?1 ? 0 ,∴ T2 ? S 2 ; 当 n ? 3 时, T3 ? S 3 ? 2 3 ? 3 2 ? 1 ? ?2 ? 0 ,∴ T3 ? S 3 ; 当 n ? 4 时, T4 ? S 4 ? 2 4 ? 4 2 ? 1 ? ?1 ? 0 ,∴ T4 ? S 4 ; 当 n ? 5 时, T5 ? S 5 ? 2 5 ? 5 2 ? 1 ? 6 ? 0 ,∴ T5 ? S5 ; 当 n ? 6 时, T6 ? S 6 ? 2 6 ? 6 2 ? 1 ? 27 ? 0 ,∴ T6 ? S 6 。 猜想:当 n ? 5 时, Tn ? S n 。 即 2 n ? n 2 ? 1 ? 0 。亦即 2 n ? n 2 ? 1 。 下面用数学归纳法证明:
2 0 (2 n ? 1) ? n ? 2 n ? n ?1 。 2 ?1

1? 当 n ? 5 时,前面已验证成立;
2? 假设 n ? k (k ? 5) 时, 2 k ? k 2 ? 1 成立,那么当 n ? k ? 1(k ? 5) 时,
2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2(k 2 ? 1) ? k 2 ? k 2 ? 2 ? k 2 ? 5k ? 2 ? k 2 ? 2k ? 2 ? (k ? 1) 2 ? 1 。

∴当 n ? k ? 1(k ? 5) 时, 2 k ?1 ? (k ? 1) 2 ? 1 也成立。 由以上 1? 、 2? 可知,当 n ? 5 时,有 Tn ? S n ;当 n ? 1时, T1 ? S1 ; 当 2 ? n ? 5 时, Tn ? S n 。 【例6】 已知等差数列 {a n } 中,公差为 d ? 0 ,等比数列 {bn } 中, b1 ? 0 公比 q ? 0且q ? 1. 若

an ? a1 ? loga bn ? loga b1 (n ? 1, n ? N * , a ? 0, a ? 1) ,求 a 的取值范围.
解:由已知不等式,得 a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? loga (b1q n?1 ) ? loga b1
(n ? 1)d ? (n ? 1) loga q

∵ n ? 1 ? 0 ,∴ d ? loga q
1

①当 0 ? a ? 1 时, a d ? q ,∵ d ? 0 ,∴ a ? q d
1 1

∵若 0 ? q ? 1 ,则 q d ? 1 ,∴ 0 ? a ? q d

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若 q ? 1 ,则 q d ? 1 ,∴ 0 ? a ? 1 ②当 a ? 1时, a d ? q
1

1

∵ d ? 0 ,∴ a ? q d 若 0 ? q ? 1 ,则 q d ? 1 ,∴ a ? 1 若 q ? 1时,则 q ? 1 ,∴ a ? q
1
1 d 1 d

1

综上:若 0 ? q ? 1 时, 0 ? a ? q d 或 a ? 1
1

q ? 1 时, 0 ? a ? 1 或 a ? q d

数列的综合应用(2)练习
一、选择题 1.设 Sn ? A.
1 8

1 2 1 2 1 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? 2 n ?1 ? 2 n ,则 lim Sn 等于( A ) n ?? 3 3 3 3 3 3
B.
1 4

C.0

D. ?

1 2

2.已知数列 ?an ? 中, a1 ? ?60,an?1 ? an ? 3 ,那么 | a1 | ? | a2 | ? ? ? | a30 | 等于( B ) A、-495 B、765 C、1080 D、3105 )

3.在等差数列 ?a n ? 中, am ? n,an ? m(m、n ? N,m ? n),则am?n ? ( A A、0 B、m C、n D、不确定

4.一个等差数列的首项为 4,它的第一项、第七项、与第十项成等比数列,这个数列的通项 公式是( C )

1 1 A、 an ? 4 ? (n ? 1)或an ? 4 B、 an ? 4 ? (n ? 1) 3 3 1 C、 an ? 4 ? (n ? 1)或an ? 4 3

1 D、 an ? 4 ? (n ? 1) 3

5.设 2a 2 ? 5a ? 2 ? 0,则 lim A、
1 a

an a n?1

n?? 1 ?

等于( C )
1 C、 或0 2

1 B、 或0 3

D、1

6.数列 1,b,c,8 中,前三项 1,b,c 成等差数列,后三项 b,c,8 成等比数列,则必有( B ) A、c>0 B、b>0 C、c<0 D、b<0

7.设等差数列的前 4 项之和为 26,其末 4 项之和为 110,又这个数列的所有的项之和为
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高三数学第二轮复习——数列
187,则这个数列共有多少项( A A、11 项 B、22 项 ) D、项数不能确定

C、8 项

8.设数列 ? x n ? 满足 lo ga xn?1 ? 1 ? lo ga xn (n ? N ) 且 x1 ? x 2 ? … ?100 ? 100, 则 x101 ? x102 ? … x 200 等于( D ) A、100a 二、填空题 1.若等差数列 ?a n ? 的前几项和为 Sn,且 S15 ? S10 ? 20 , 则 S25 ? 2.已知数列 ?an ? , an ? 0, ? N ) 它的前 n 项和记为 Sn,若 ?an ? 是一个首项为 a (n 公比为 q(q>0)的等比数列,且 Gn ? a12 ? a2 2 ? … ? an 2 (n ? N ) lim
?1 ? a ( q ? 1) ? S lim n ? ?0 ( q ? 1) n ?? G n ?1 ? q ? (0 ? q ? 1) ? a
n??

B、100a2

C、101a100

D、100a100

。100

Sn ? Gn

.

3. 在等比数列 ?a n ? 中, 记:S n ? a1 ? a2 ? … ? an , a3 ? 2S 2 ? 1,a4 ? 2S3 ? 1 则公比 q= 若
2 4.数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n,且S n ? 1 ? an (n ? N )则 lim sn 的值为 n?? 3

3

。1

5.数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? 等于 。2

1 lim 前 n 项和为 S n, aSn ? 1 (a 为实常数),则 a 的值 n?? (2n ? 1)(2n ? 1)

6.已知等比数列 ?a n ? 的各项都是正数, S n ? 80,S 2n ? 6560,且前 n 项中最大的一项为 54, 则 n= 三、解答题 1、若 S n 和Tn 分别表示数列 {an }和{bn } 的前 n 项的和,对任意正整数 n, an ? ?2(n ? 1), (1)求数列 {bn } 的通项公式; Tn ? 3S n ? 4n. 。 (2)在平面直角坐标系内,直线 l n 的斜率为 bn ,且与曲线 y ? x 有且仅有一个交点,与 y
2

。4

轴交于点 Dn,记 d n ? | Dn?1 Dn | ?(2n ? 7), 求d n ; (3)若 c n ?
2 d 2 n ?1 ? d n (n ? N ), 求证 : lim (c1 ? c 2 ? ? ? c n ? n) ? 1 . n ?? 2d n ?1 d n

1 3

解: (1)解法(一)由已知 Tn ? 3S n ? 4n.当n ? 1时, b1 ? T1 ? 3S1 ? 4 ? 3a1 ? 4 ? ?8.
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高三数学第二轮复习——数列
当 n ? 2时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 3(S n ? S n?1 ) ? 4n ? 4(n ? 1) ? 3(S n ? S n?1 ) ? 4 ? 3an ? 4 由于 a n ? ?2(n ? 1). ? bn ? 3[?2(n ? 1)] ? 4 ? ?6n ? 2. 由于 b1 适合上式,? bn ? ?6n ? 2(n ? N ). 解法(二)由于 an ? ?2(n ? 1), 则{an } 为等差数列, a1 ? ?4.
Sn ? n(a1 ? a n ) n(?4 ? 2n ? 2) ? ? ?n 2 ? 3n 2 2

? Tn ? 3S n ? 4n ? 3(?n 2 ? 3n) ? 4n ? ?3n 2 ? 5n
当 n=1 时, b1 ? T1 ? ?8 , 当 n ? 2时, bn ? Tn ? Tn?1 ? ?3n 2 ? 5n ? [?3(n ? 1) 2 ? 5(n ? 1)] ? ?6n ? 2. 由于 b1 适合上式,? bn ? ?6n ? 2(n ? N ), (2)设 l n 的方程为 y ? bn x ? m
?y ? x2 , 消去y, 得x 2 ? bn x ? m ? 0. ? y ? bn x ? m. ?

2 ∵直线 l n 与曲线只有一个交点,∴ ? ? 0,即bn ? 4m ? 0.

∴ m ? ? bn 4

2

则 Dn (0,? bn ).
4
2 2

2

从而 d n ? 1 | Dn?1 Dn | ?(2n ? 7) ? 1 | ? bn ? (? bn?1 ) | ?(2n ? 7)
3 3 4 4
? [?(6n ? 8)] 1 [?(6n ? 2)] |? ? | ?(2n ? 7) ? 6n ? 5 ? (2n ? 7) ? 4n ? 2. 3 4 4
2 2

? d n ? 4n ? 2

(n ? N ).
2(4n ? 2)(4n ? 2) 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

2 2 2 2 2 (3)? c n ? d n?1 ? d n ? (4n ? 2) ? (4n ? 2) ? 4n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 . 2

2d n ?1 d n

1 1 1 1 1 ? c1 ? c 2 ? c3 ? ? ? c n ? n ? (1 ? 1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? )?n 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=1 ?

1 . 2n ? 1
n ??

? lim (c1 ? c2 ? ? ? cn ? n) ? lim (1 ?
n ??

1 ) ? 1. 2n ? 1

2 2. {an }, {bn } 都是各项为正的数列,对任意的自然数 n ,都有 an , bn , an?1 成等差数列

2 2 bn , an?1 , bn?1 成等比数列。

(1)试问 {bn } 是否是等差数列?为什么?

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高三数学第二轮复习——数列
2 2 2 (2)求证:对任意的自然数 p, q( p ? q), b p ?q ? b p ? q ? 2b p 成立;

(3)如果 a1 ? 1, b1 ? 2 , S n ?

1 1 1 ,求 lim S n 。 ? ??? n ?? a1 a 2 an

2 解:依题意 2bn ? a n ? a n?1 ……①

2 2 2 a n?1 ? bn ? bn?1 ……②

(1)∵ an ? 0, bn ? 0 ,∴由②式得 a n?1 ? bn ? bn?1 从而 n ? 2 时, a n ? bn?1 ? bn
2 代入① 2bn ? bn?1bn ? bn bn?1 ,∴ 2bn ? bn?1 ? bn?1 (n ? 2)

∴ {bn } 是等差数列。 (2)因为 {bn } 是等差数列∴ b p ?q ? b p ?q ? 2b p
2 2 ∴ b p ?q ? b p ? q ?

(b p ?q ? b p ? q ) 2 2

2 ? bp

(3)由 a1 ? 1, b1 ? 2 及①②两式易得 a2 ? 3, b2 ? ∴ {bn } 中公差 d ?
2 2
2 (n ? 1) 2

3 2 2

∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d ? ∴ an?1 ?

1 (n ? 1)(n ? 2) ………………③ 2 1 n(n ? 1) ? 1 ? 2 也适合③、∴ an ? (n ? N ) 2 2

又 a1 ? 1 ? ∴

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) a n n(n ? 1) n n ?1

∴ S n ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ∴ 1im S n ? 2
n ??

1 2

1 2

1 3

1 n

1 1 )] ? 2(1 ? ) n ?1 n ?1

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