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江苏省江浦高级中学2007—2008学年度第二学期期中模拟试卷高二数学(文科)


江苏省江浦高级中学 2007—2008 学年度第二学期期中模拟试卷高二数学(文科)
一、填空(共 14 小题,每小题 5,共 70 分) ) 1、复数 z ? m (1 ? i) ? m ? i(m ? R) 的纯虚数时, m 的值是
2



2、利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下

表来确定 断言“ X 和 Y 有关系” ,如果 ? ? 5.024 ,那么就有把握认为“ X 和 Y 有关系”
2

的百分比为

. 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 。 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( ? 2 ? x0 )

x0

3、函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调递减区间是

4、双曲线焦点在 y 轴上,且它的一个焦点在直线 5x ? 2 y ? 20 ? 0 上,两焦点关于原点对称, 离心率 e ?

5 ,则双曲线方程为 3
2



5 、已知抛物线 y ? mx ( x ? 0) 的准线与椭圆 是 。

x2 y2 ? ? 1 的右准线重合,则实数 m 的值 6 2

6、复数满足 ( 3 ? 3i ) z ? 3i ,则复数 z 等于



7、设 f 0 ( x) ? sin x ? cos x , f1 ( x) ?? f 0?( x) , f 2 ( x) ?? f1?( x) ,?? f n ?1 ( x ) ? f n ( x )

?

?

(n ? N ) , 则 f 2007 ( x) 等于



8、已知 p:一 4<x-a<4,q:(x 一 2)(3 一 x)>0,若? p 是? q 的充分条件,则实数 a 的取值范 围是 . 9、已知曲线 y ? ? x ? 4 x 上有两点 A(4,0)、B (2,4) ,该曲线上的切线 l 和 AB 平行,则切线 l 的
2

方程为



10、已知数列 ?a n ?满足 a n ?1 ? 猜想 ?a n ?的通项公式 a n ? 11、在 ?ABC 中,不等式

1 1 (n ? N ? ) , a1 ? ., 2 ? an 2


1 1 1 9 ? ? ? 成立;在四边形 ABCD 中, A B C ? 1 1 1 1 16 不等式 ? ? ? 成立;在五边形 ABCDE 中, ? A B C D 2?

1 1 1 1 1 25 成立。根据前面的规律,猜想在 n 边形 A1 A2 ? An 中, ? ? ? ? ? A B C D E 3?
不等式

1 1 1 ? ??? ? A1 A2 An
?

成立。

12、用反证法证明命题“ a, b ? N ,如果 ab 是偶数,那么 a, b 中至少有一个是偶数”时,应假 设 。

13、对于两个复数 z1 ? x1 ? y1i , z 2 ? x2 ? y 2 i ( x1 , y1 , x2 y 2 ? R) ,定义运算“⊙”为

z1 ⊙ z 2 ? x1 x2 ? y1 y 2 。设非零复数 w1 , w1 在复平面内对应的点分别为 P1 , P2 ,点 O 为坐标
原点,如果 w1 ⊙ w2 =0,那么 ?P 1OP2 等于
2



14、已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A, B , 则 AB ? 二、解答题 15、已知复数 z 满足 zi ? 2 z ? 1 ? i ,求复数 z 及 | z | 。

16、某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有下表关系:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)画出散点; (2)求回归线方程; (3)根据(2)求出的回归线方程求:当广告支出 5 万元 时,随机误差的效应为

17、已知: p :

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆, 3m ? 2 2m ? 1

4 q :函数 f ( x) ? x 3 ? mx 2 ? (m ? ) x ? 9 有两个极值点。 p 和 q 有且只有一个正确。 3 求 m 的取值范围。

18、如图,制作一个圆锥形漏斗,其母线 l 长为 20cm ,高为 hcm 。 (1)求圆锥形漏斗的体积 V (cm ) 与高 h(cm) 之间的关系; (2)当高为何值时圆锥形漏斗的体积取得最大值?
3

19、已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 短轴的端点,点 O 到直线 AB 的距离为

3 ,点 A、B 分别是椭圆 C 的长轴、 2
y Q

6 5 。 5

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点 E(3, 0),设点 P、Q 是椭圆 C 上的两个动点, 满足 EP⊥EQ,求 EP ? QP 的取值范围。

P O B A E x

20. 如图,过四面体 V-ABC 的底面上任一点 O 分别作 OA1∥VA,OB1∥VB,OC1∥VC,A1,B1,

C1 分别是所作直线与侧面的交点,求证:

OA1 OB1 OC1 为定值. ? ? VA VB VC

参考答案 一、填空(每小题 5 分,共 70 分) 1、0;2、 97.5% ;3、 (0,1) ;4、

y2 x2 3 3 i ;7、 sin x ? cos x ; ? ? 1 ;5、 ? 12 ;6、 ? 4 4 36 64

8、 ? 1 ? x ? 6 ;9、 2 x ? y ? 9 ? 0 ;10、 a n ? 11、

n (n ? N ) ; n ?1

n2 (n ? 2)?

?n ? 3, n ? N )(注:

不写n ? 3, n ? N不扣分? ;

12、 a, b 都不是偶数(答案不唯一) ;13、90;14、 3 2 。 二、解答题: 14、解:设 z ? a ? bi (a, b ? R) ,??????????????2 分 代入

zi ? 2 z ? 1 ? i 得

(a ? bi)i ? 2(a ? bi) ? 1 ? i

即: (2a ? b) ? (a ? 2b)i ? 1 ? i

所以 ?

? 2a ? b ? 1 ?a ? 2b ? ?1

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

所以 z ? 1 ? i ????10 分

| z |? 12 ? 12 ? 2 ??????????????????14 分

y ? 6.5 x ? 17.5 。 16、答案: (1)略(4 分) (2) y 与 x 的线性回归方程为 ? (6 分) (3)当广告
支出 5 万元时,随机误差的效应为 10(4 分)

17、略解: p :

2 ? m ? 1或 m ? 1 3

q : m ? ?1 或 m ? 4 ??7 分

2 m 的取值范围是 m ? ?1或 ? m ? 1或1 ? m ? 4 ??14 分 3
18、解: (1)设圆锥的底面半径为 rcm,则 r ? 20 ? h ? 400 ? h
2 2 2 2

??2 分

1 1 V ? ?r 2 h ? ? (400 ? h 2 ) (0 ? h ? 20) ????????4 分 3 3
(2) V ? ?

20 3 1 ?????6 分 ? (400 ? 3h 2 ) ,当 V ? ? 0 时, h ? 3 3 20 3 20 3 ? 20, 且当h ? (0, ) 时, V ? ? 0 , 3 3

因为 0 ?

当h?(

20 3 ,20) 时, V ? ? 0 3
20 3 时, V 取得极大值,且最大值。??????7 分 3

所以 当 h ?

答:当高为

20 3 cm 时,圆锥形漏斗的体积取得最大值。????8 3
???2 分 ????4 分 ????7 分
2

19、解: (1)由离心率 e=

c 3 b 1 ,得 ? 1 ? e 2 ? ,所以 a = 2b① ? a 2 a 2 ab 6 5 6 5 ? 因为原点 O 到直线 AB 的距离为 ,所以 ② 2 2 5 5 a ?b

由①代入②得 b2=9,所以 a2=36,则椭圆 C 的标准方程是

x2 y2 ? ?1 36 9

(2)因为 EP⊥EQ,所以 EP ? EQ =0,所以 EP ? QP ? EP ? ( EP ? EQ) ? EP ?9 分

x2 x2 y2 2 ? ? 1 设 P(x , y),则 ,即 y =9– 36 9 4
2 2 2 2

??11 分

x2 3 所以 EP ? QP = EP ? ( x ? 3) ? y ? x ? 6 x ? 9 ? (9 ? ) ? ( x ? 4) 2 ? 6 ?13 分 4 4 3 2 因为–6≤x≤6,所以 6≤ ( x ? 4) +6≤81,所以 EP ? QP 的取值范围为[6,81]?15 分 4
20、 分析: 考虑平面上的类似命题: “过△ABC (底) 边 AB 上任一点 O 分别作 OA1∥AC, OB1∥BC, 分别交 BC、AC 于 A1、B1,求证

OA1 OB1 为定值”.这一命题利用相似三角形的性质很容易推 ? CA CB

出其定值为 1.另外,过 A、O 分别作 BC 垂线,过 B、O 分别作 AC 垂线,用面积法也不难证明其 定值为 1.于是类比到空间图形,也可用两种方法证明其定值为 1. 证明:如图,设平面 OA1 VA∩BC=M,平面 OB1 VB∩AC=N,平面 OC1 VC∩AB=L,则有 △MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1 ∽△ LCV.得

OA1 OB1 OC1 OM ON OL = ? ? ? ? VA VB VC MA NB LC
在底面△ABC 中,由于 AM、BN、CL 交于一点 O,用面积法易证得:

OM ON OL =1. ? ? MA NB LC OA1 OB1 OC1 ∴ =1. ? ? VA VB VC


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