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浙江省宁波万里国际学校2012-2013学年高二下学期期末考试数学(文)试题


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宁波万里国际学校 2012-2013 学年高二下学期期末考试 数学(文)试题
答卷时间:120 分钟 (考生注意:本试卷满分:147 分,另加卷面 3 分,请注意保持卷面整洁) 参考公式:
1 棱锥的体积公式:V= Sh 3
<

br />棱台的体积公式

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高

V= h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 )
其中 S1, S2 分别表示棱台的上、下底面积,

1 3

h 表示棱台的高

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3},则 A ?(CU B ) = A.{4,5}
2

B.{2,3}

C.{1}

D.{3}

2. 设 a ? R ,若 (a ? i ) ? i ( i 为虚数单位)为负实数,则 a ? A.2 B.1 C.0 D. ?1

3.设函数 f (x) (x∈R)满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) ,则 y ? f (x) 的图象可能是

4. 对于指数函数 f ( x) ? a , 则 " a ? 1" ,是“ f ( x) 是 R 上的单调函数”的
x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 不充分也不必要条件 5.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆 的半径为1,则该几何体的体积为
·1·

条件

D.既

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A. 24 ?

3 ? 2

B. 24 ?

?
3

C. 24 ? ?

D. 24 ?

?
2

6. 设 m,n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m// ? , n ? B.若 m// ? , n ?

? , m ? n, 则? ? ?
? , m ? n, 则? / / ? ? , m / / n, 则? ? ?
D.若 m// ? , n ?

C.若 m// ? , n ?

? , m / / n, 则? / / ?

7.函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的部分如图所示,点 A、B 是 最高点,点 C 是最低点,若 ?ABC 是直角三角形,则 ? 的值为 A.

?
2

B.

?
4

C.

?
3

D. ?

8. 设连接双曲线

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 的四个顶点组成的四边 a2 b b a

形的面积为 S1 ,连接其四个焦点组成的四边形的面积为 S 2 ,则

S1 : S 2 的最大值是
1 C. 1 D. 2 2 2 2 9. 在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内, 过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD, 则四边形 ABCD
A. B. 的面积为 A.5 2 B.10 2 C.15 2 D.20 2

1 4

10. 已知函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时,不等式 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立,若

b a ? 30.3 ? f (30.3 ) , ? log ? 3 ? f (log ? 3) , ? log 3 c

1 1 则 b, ? f (log 3 ) , a, c 间的大小关系是( 9 9
D.a>c>b

).

A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11. 已知 {a n } 为等差数列, a3 ? a4 ? 1 ,则其前 6 项之和为___ __.

? 4 ? 5? 12. 已知 ? ? ( , ) 为锐角,且 cos( ? ? ) ? ,则 sin ? 的值是________. 3 5 3 6
13. 在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,
·2·

开始

i ?1 s?0
1

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则构成的四边形是梯形的概率为 14. 若某程序框图如图所示,则运行结果为 . 2 2 x y 15. 已知 F1,F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点, a b π 点 P 是椭圆在 y 轴右侧上的点,且∠F1PF2= ,记线段 2 PF1 与 y 轴的交点为 Q,O 为坐标原点,若△F1OQ 与四 边形 OF2PQ 的面积之比为 1∶2,则该椭圆的离心率等于 16. 在 ?ABC 中, sin A ? cos A ? 则 ?ABC 的面积是_ _

2 , AC ? 4, AB ? 5 , 2

17.如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , M 为 BC 的中点,若 N 为正方形 内 (含边界)任意一点,则 AM ? AN 的取值范围是 三、解答题(本大题共 5 小题,共 69 分) 18. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

???? ???? ?

.

C (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,若 f ( ) ? 2 且 c 2 ? ab , 2
试判断△ABC 的形状.

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? 3a n ? 2. (Ⅰ)记 bn ? an ? 1 ,求证:数列 ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 S n 20.(本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB//CD, ∠DAB=90°, PA=AD=DC=1, AB=2, M 为 PB 的中点. (I)证明:MC//平面 PAD; (II)求直线 MC 与平面 PAC 所成角的余弦值.

·3·

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21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

a 2 x ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f (x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围.

22. (本题满分 14 分)如图,已知抛物线 C1 : x (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程;

2

? 2 py 的焦点在抛物线 C 2 : y ?

1 2 x ? 1 上. 2

C2

y

(Ⅱ)过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线

C1
M

PM 、 PN , 切点为 M 、 N .若 PM 、 PN 的
斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
N

O

P

x

(第 22 题)

·4·

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2012-2013 学年度第二学期期末考试高二数学参考答案
一.选择题: (每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 C 1 D 2 B 3 A 4 A 5 C 6 A 7 B 8 B 9 C 10

二.填空题: (每题 4 分,共 28 分)

所以 S n ? (3 ? 2 ? 3 2 ? ? ? n ? 3 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)

…9 分

·5·

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其中 1 ? 2 ? ? n ?

n2 ? n 2
① ②

记 Tn ? 3 ? 2 ? 3 2 ? ? ? n ? 3 n

3Tn ? 3 2 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3 n ? n ? 3 n ?1
两式相减得 ? 2Tn ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
2 n n ?1

?

3 ? 3 n ?1 ? n ? 3 n ?1 ?2

…13 分

Tn ?

2n ? 1 n ?1 3 ?3 ? 4 4
…14 分

所以 S n ?

2n ? 1 n ?1 2n 2 ? 2n ? 3 ?3 ? 4 4

·6·

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a ? 4 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? ( x ? 0) . (II) f ' ( x) ? ax ? 2 ? x x
记 h( x) ? ax ? 2 x ? a ? 4 .
2

若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根. …8 分 由 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a ( x ? 1) ? 2( x ? 2) ,
2

所以 a ?

2( x ? 2) ? x2 ?1

2 5 ( x ? 2) ? ?4 x?2



…10 分

·7·

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8 因为 x ? 2 ? ( 3,4) ,所以 a ? ( ,3) . 5 8 经检验当 a ? ( ,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根. 5

8 故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 ( , 3) . 5

…14 分

·8·


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