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2013年全国高中数学联赛湖北省预赛第13题的解法探究


2 0 1 4年 第 9期 

福建 中学数 学 

4 3  

( I I I ) 不 等 式左 边 是 一1 项 积 的形 式 ,我们 把  右边 的  也化 成 
探究 是否 有 一 I n n<  




I n2  l n3  l I l 4

 
———一 ‘— —… ‘ ’’一

n  
 

● ●

项 的 

p  




罟  ?  ,  

2  

3  

4  

n  

即I n n<聍 一 1 成立 .  

<     ? . … .   :   ( ≥2   , 刀∈ ∈N N?   < 一. … ? ~ =一 即≥ , 刀   ).   2  3   , 2   n  
.  

证 明 可证 f ( x ) 在( 1 , + ∞ ) 时递 增 ,   故 f( x ) >_ 厂 ( 1 ) ,即 一 l n x + X -1 >0,  



从 以上几个例子可以看 出,数 学解题虽无定法  但一般有通法 ,一些表面上看似毫无规律、无从下  手 的问题 ,只要肯钻研、勤反思、富联想、善类 比,   把 握 问题 本 质 往往 可 以得 到一 般 的 处理 方 法 ,从 而 
实 现解 法 的融会 贯通 。  



0 <I n x<X 一 1 对一 切 X∈ ( 1 , + o 0 ) 成立 .  
, z ≥2,   ∈N   ,贝 Ⅱ 有0 <1 n  <, z 一 1 ,  
0<   <   。  

? . 







2 0 1 3年全 国高 中数学联赛湖 北省预赛第 1 3 题 的解 法探 究 
黄俊峰  袁方程  湖 北省大 冶 市第 一 中学 ( 4 3 5 1 0 0 )   题目 ( 2 0 1 3 年全 国高 中数学联赛湖北省预赛试 
题 1 3 题) : 设 G为 A A B C的重 心 ,过 G作 直 线分 别 交 
边A B,A C于点  ,Ⅳ , 已知 A B=2,A C=   求 四边 形 MN C B的面 积 的最 大值 .   c,  

由   =   ( j f +   , 可 得  詈 ,   罟  , . .   ~≤ 吾   .  
? . . 



命题组给 出的答案 :设 B C= f ,则 A C: √  ,  
C O SC =   AC j _ BC 一AB 
2  C.   C 

即四边 形  c  的面积 的最大 值 为  仅 当B C=2 且 MN/ / B C时取得 .  

,当且 

4 t  一4   2 t  一 2  
一   一   ’  

从 而 


。 =  

c?  c_ s i n c  

这 种 方 法 虽然 比较 常规 ,但运 算量 比较大 ,尤  其 是在 “ G为 A A B C的重 心” 这 一 条 件 的转 化 上 对 学 




2   A C . B C √   二  =   2   x / 3 t l l 一 ( 2 √ 、 t 2 / 3 - , f   2 , ) 。  
丽 =   万  
≤  厄 =   ,  

生要求 很高 ,但 若用 向量来转化 ,那就降低 了要 
求 .于是 得 到解法 一 .   解法 1  G为 A A B C的重 心 ,   故- d 6= -   +   ,  

=  

=  

设 

=  

,一 A N =n A — C,  

当且仅当  =2 时等号成立  . A A B C的面积的最 
 ̄f f F t 3 0   .设 A M =x A B, A N =y A C , D为 B C 中 
点 ,则 
又 

又  , N , G三 点 共线 ,   则  =   + ( 1 一x ) 一 A N= x m— A B+ ( 1 _  ) , 2   ,  
. . .  

:   ,  
+   1  S  ̄ M G +  

:   ,( 1 - x )  :   ,即  +   :3 ,  

设  c : a ,则A C : √  ,  
C O S A:   AB + AC 一BC  4+3 a  一a   2+ a  



 

c 等 +  =  
=  

2   .  C  
S= S  C B= S  B C— S  
1×2×  
=  

~ — 2 — × — 2 — — × — 4 ; 3 ● a   一— 2 — 4   3 a   ’  

? . .  

(   +  ) .  

s  

一 

?  

s  

福建 中学数 学 

2 0 1 4年 第 9 期 



( 1 一 m H ) ? , f 3 a s i n A  

N   x y ≥ 罟 ,  
- ( 1 一   一 3 d[ 卜  ) 2 ]  
? . .

… 
从而 一   ? 5 S


 ̄ J t   s 2 ' ( 1 一  
( 1 - 朋)   — - a 4 +   8 a 2


S ̄M T v> -   4S


<5 b
, 


:  





( 1 一  


一 4 ) 2 + l 2 】 ,  

又 ≤  , 故 四边形  c  面积 的最大值 为 

.  

而 
P  q  

2  

V  
Pq  

詈 j   一 

解法 3以 A B所在直线为 轴 , 其中垂线为 Y 轴 
建立直 角 坐标 系 ,则 ( 一 1 , 0 ) ,   ( 1 , 0 ) ,设 C( x , Y ) ,  

( 当且 仅 当 

g  

时取“ . ’ ’ ) ;  

由A C : √  c, 得  而
圆心 ,  

= √  

,  

而 一 ( 日 。 一 4 )   +   2  2 , 故 当 日   : 4 ,  g   亏 时 ,  
取 最 大值  × ( 1 - 2   x 1 2 =2 5


即  一 2 ) 。 +   : 3,即动点 C ( x, Y ) 在 以( 2 , 0 ) 为 

为 半径 的 圆上 , 故A A B C的边 A B上 的高 的 



即 四边 形 删   面 

最大值便是圆 (   一 2 )   +   。 = 3 的半径  , 故A A B C的 

3 积的最大值为 _ 5 4

.  

面 积 最 大 值 是 圭 × 2 ×   =  .  
解法 4利用海伦公式表示面积 .  
设 c:f ,N A C:   ,则 p:   ,  

此题还 可 以用下 面 的解 法 .  

解法 2以 A B所在直线为 轴 ,   其 中垂线为 Y轴建立直角坐标系 ,  
贝 0  ( 一 1 , O ) ,B ( 1 , 0 ) ,设 c ( 口 , b ) ,  



\ 『一 2  

/ 2 + ( 1 +   ( 1 +  ) f 一 2   2 + (  一 1 ) t   2 + ( 1 一  ) f  
2   2   2  

由 A C =  B c , 得√   + 1 )   +  =  √   一 1 ) 2 +  ,  
即日 :2 ±   . 一   6   ,  



{ √ [ ( 1 +  )   ,   一 4 ] [ 4 一 ( 1 一  ) 。 f   】  
:  

设A M =x A B, A N =y A C,  

=  



,  

由 G为 A A B C的重 心可得  + 一 1:3
,  

以下 同解法 1 .  

几何 画板与高 中数学课堂教学 的有效融汇 
— —

以  曲线 与 方程  的教 学实 践为例  福建 省福 州屏 东 中学 ( 3 5 0 0 0 3 )  



恺 

随着信息技术的不断发展 ,几何 画板使数学知  识 的 发 生 发 展 过 程 与 结 果 的 教 育 得 到 了 更好 地 结  合 ,使 数 学兴 趣 、 情感 与 数 学 的理性 思 维教 育得 到 

标 点都 在 曲线 上 是本 节 教 学难 点 .前 不 久 ,在 笔者  学校 的市级 公开 课活 动 中开设 了一 节  曲线与 方程 

有机的融合 ,为高 中数学有效教 学的实施提供了有  利 的技术保障 .但几何画板与高中教学的整合 ,不  是简单地应用,而是高层次的融合与主动适应 .  
“ 曲线和方程” 位于数学选修2 一 l( 人教 版)第二  章 圆锥 曲线 与 方程 的第 1 节 ,是 圆锥 曲线 与 方程 的入  门课 ,学 生对 于 曲线 的方程 与 方 程 的 曲线 的概 念 的  理 解 、坐 标法 求 曲线 方程 以 及证 明以 方程 的解 为 坐 

的公开课 ,本文将重现课堂场景片 断,希望能与读  者 共 同感 受教 师 如何 将 几 何 画板 有效 地 融 入高 中 日   常教学 .   1教 学 过程辑 录  1 . 1片断一 :激发兴趣,引入新课  师 :同 学们 ,我们 在 必修 二 已经 学 习了直 线与  方程和圆与方程的知识 ,在学 习的过程中我们借助 
平面 直 角坐 标 系 ,利 用坐 标 法 将直 线 、 圆这 些 几何 


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