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人教版选修1-1 3.2.1《导数的计算-几种常见导数》PPT课件


3.2.1《导数的计算 -几种常见函数的导数》

教学目标
? 1.掌握四个公式,理解公式的证明过程. ? 2.学会利用公式,求一些函数的导数. ? 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的 简单问题. ? 【教学重点】用定义推导常见函数的导数 公式. ? 【教学难点】公式的推导.

一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:

(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); 说明:上面的方法 (2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : 中把x换x0即为求 函数在点x0处的 导 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; 数. ?x ?x ?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x )在x= x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
0

4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
?y 解 : y ? f ( x ) ? C , ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? C ? C , ? 0, ?x ?y ? f ?( x) ? C ? ? lim ? 0. ?x ? 0 ?x

公式1: C? ? 0 (C为常数) .

请同学们求下列函数的导数:
y ' ?1 2) y ? f ( x) ? x,
3) y ? f ( x) ? x , y ' ? 2 x
2
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1

这又说明什么?

1 4) y ? f ( x) ? , y ' ? ? 1 2 x x

? ? nx n?1 (n ? Q) . 公式2: ( x )
n

请注意公式中的条件是 n ? Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n ? N * 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.

看几个例子:
例1.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。

例2.已知y ? x,1)求y?; 2)求曲线在点( , 11 )处的切线方程.

看几个例子:
例2.已知y ? x,1)求y?;

?x 解:1)?y ? x ? ?x ? x ? x ? ?x ? x ?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

2)求曲线在点( , 11 )处的切线方程.

1 1 1 切线方程 : y ? 1 ? ( x ? 1).即:y= x ? 2 2 2

四、小结与作业
1 1.会求常用函数 y ? c, y ? x, y ? x , y ? , x
2

的导数.其中: 公式1: C? ? 0 (C为常数) .

2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题. 3.作业:第二教材A、B.

练习、作业:
练习.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、 直线x=2所围城的三角形的面积。
作业:第二教材A、B.


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