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2013年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题


2013 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

一、填空题: 本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 已 知 函 数 f ( x) ?
3 ? 2x 的 反 函 数 为 f ?1 ( x) , 定 义 数 列 {xn } 如 下 : x1 ? 2 , x?4

xn ?1 ? f ?1 ( xn ) , n ?

N * ,则数列 {xn } 的通项公式是 xn =__________.

2. 设 x, y 为实数,且满足 5x 2 ? 4 y 2 ? 10 x ,则 x 2 ? y 2 的最大值为_________. 3. S ?
1 3 ? 1 5 ? 1 7 ??? 1 99

的整数部分是_______.

4. 已知三棱锥 A-BCD 的体积是 V,棱 BC 的长是 a ,面 ABC 和面 DBC 的面积分别是 S1 和
S 2 ,设面 ABC 和面 DBC 所成的二面角是 ? ,那么 sin ? =_______.

1 1 1 1 图像的对称中心的坐标为________. ? ? ??? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 2013 1 6. 设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 的最小值为________. 2

5. 函数 f ( x) ?

7. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在 4×4 方格表的 16 个小方格内,每个小方格内至多 填一个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共有________. 8. 从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde ,满足条件 “ a ? b ? c ? d ? e ”的概率为_________.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分) 是否存在三边为连续自然数的三角形,使得: (1)最大角是最小角的两倍? (2)最大角是最小角的三倍? 若存在,分别求出该三角形的三边长;若不存在,请说明理由.

1

10. (本小题满分 20 分) 如图, ⊙O 为锐角 △ABC 的外接圆,直线 BO 和 CO 分别与边 AC 、 AB 交于点 D 、

E ,直线 DE 交 △ABC 的外接圆于点 M 、 N ,且 AM ? AN .
(1)求证: AM 2 ? AE ? AB ; (2)求证: AO ? BC .

2

11. (本小题满分 20 分) 设 椭 圆 C1 :
x2 y 2 ? ? 1 与 抛 物 线 C2 : y 2 ? 8 x 的 一 个 交 点 为 16 12
P( x0 , y0 ) , 定 义

?2 2 , (?0x ? x0 x ) ? f ( x) ? ? 3 ,若直线 y ? a与f ( x) 的图像交于 A, B 两点,且已知定点 ? 16 ? x 2 , ( x ? x0 ) ? ? 2

,求 ?ABN 的周长的取值范围. N ( 2, 0)

3


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