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变化率问题和导数的概念


第一章
1.1
1.1.1 1.1.2

导数及其应用
变化率与导数
变化率问题 导数的概念 ?限时20分钟?

双基达标
Δy 则Δx等于

1.已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),

( A.4 C.4+2Δx 解析 答案 B.4x D.4+2(Δx)2

).

2 Δy f?1+Δx?-f?1? 2?1+Δx? -2 = =4+2Δx. Δx= Δx Δx

C

2.如果质点 M 按规律 s=3+t2 运动,则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度 是 ( A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 解析 答案 ?3+2.12?-?3+22? v= =4.1. 0.1 B ).

3.如果某物体的运动方程为 s=2(1-t2)(s 的单位为 m,t 的单位为 s),那么其在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( A.-4.8 m/s C.0.88 m/s 解析 B.-0.88 m/s D.4.8 m/s ).

物体运动在 1.2 s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数,利用导数的定

义即可求得. 答案 A

1 4.已知函数 y=2+x ,当 x 由 1 变到 2 时,函数的增量 Δy=________. 解析 答案 1? 1 ? Δy=?2+2?-(2+1)=-2. ? ? 1 -2

2 5.已知函数 y=x ,当 x 由 2 变到 1.5 时,函数的增量 Δy=________. 解析 答案 2 2 4 1 Δy=f(1.5)-f(2)=1.5-2=3-1=3. 1 3

1 6.利用导数的定义,求函数 y=x2+2 在点 x=1 处的导数. 解
2 1 ? ? ?1 ? -2xΔx-?Δx? ??x+Δx?2+2?-?x2+2?= ∵Δy= , ? ?x+Δx?2·2 x ? ? ?

Δy -2x-Δx ∴Δx= , ?x+Δx?2·2 x -2x-Δx Δy 2 ∴y′= lim Δx= lim 2 2=- 3, x ?x+Δx? · x
Δx→0 Δx→0

∴y′|x=1=-2.

综合提高

?限时25分钟?
( ).

7.已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为

A.0.40 B.0.41 C.0.43 解析 答案

D.0.44

Δy=(2+0.1)2-22=0.41. B lim
Δx→0

8.设函数 f(x)可导,则

f?1+Δx?-f?1? 等于 3Δx ( ).

A.f′(1) 1 C.3f′(1)

B.3f′(1) D.f′(3)

解析

根据导数的定义:

lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? =f′(1), Δx

lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? 1 =3f′(1). 3Δx C

答案

9.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则物体的初速 度是________. 解析 答案 v 初=s′|t=0= 3 lim
Δt→0

s?0+Δt?-s?0? = Δt

lim (3-Δt)=3.
Δt→0

10.某物体作匀速运动,其运动方程是 s=vt,则该物体在运动过程中其平均速 度与任何时刻的瞬时速度的关系是________. 解析 v0= Δs lim Δt = lim
Δt→0

lim
Δt→0

Δt→0

s?t0+Δt?-s?t0? Δt v·Δt lim Δt =v.

= 答案 相等

v?t0+Δt?-vt0 = Δt

Δt→0

11.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动,如果它的加速度是 a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为 t0=1.6×10-3s,求子弹射出枪口时的 瞬时速度. 解 1 运动方程为 s=2at2.

1 1 ∵Δs=2a(t0+Δt)2-2at2 0 1 =at0Δt+2a(Δt)2, Δs 1 ∴ Δt =at0+2aΔt, ∴ Δs lim Δt =at0.

Δt→0

由题意知 a=5×105,t0=1.6×10-3, 故 at0=8×102=800(m/s).

即子弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s. 12.(创新拓展)已知 f(x)=x2,g(x)=x3,求满足 f′(x)+2=g′(x)的 x 的值. 解 由导数的定义知,

?x+Δx?2-x2 Δf f′(x)= lim Δx= lim =2x, Δx
Δx→0 Δx→0

?x+Δx?3-x3 Δg g′(x)= lim Δx = lim =3x2. Δx
Δx→0 Δx→0

∵f′(x)+2=g′(x),∴2x+2=3x2. 即 3x2-2x-2=0,解得 x= 1- 7 1+ 7 或 x= 3 . 3



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