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2二次函数存在性之等腰三角形


二次函数之等腰三角形问题 知识要点:
(一)勾股定理(距离公式) (二)分类讨论(先表示线段的平方) 例 1、如图,已知直线 y=﹣ x+2 与抛物线 y=a (x+2) 相交于 A、B 两点,点 A 在 y 轴 上,M 为抛物线的顶点. (1)请直接写出点 A 的坐标及该抛物线的解析式; (2)若 P 为线段 AB 上一个动点(A、B 两端点除外) ,连接 PM,设线

段 PM 的长为 l,点 P 的横坐标为 x,请求出 l 与 x 之间的 函数关系,并直接写出自变量 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 上是否存在点 P,使以 A、M、P 为顶点的三角形是等腰 三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
2 2

【答案】 (1)A 的坐标是(0,2)………………1 分 1 抛物线的解析式是 y= (x+1) 2………………3 分 2 (2)如图,P 为线段 AB 上任意一点,连接 PM,过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D………………4 分 1 设 P 的坐标是(x,- x+2),则在 Rt△PDM 中, 2 PM2=DM2+PD2 1 5 即 l2=(-2-x)2+(- x+2)2= x2+2x+8………………6 分 2 4 自变量 x 的取值范围是:-5<x<0………………7 分 (3)存在满足条件的点 P………………8 分 连接 AM,由题意得,AM= OM2+OA2= 22+22=2 2………………9 分 5 1 ① 当 PM=PA 时, x2+2x+8=x2+(- x+2-2)2 4 2 解得:x=-4 此时 1 y=- ×(-4)+2=4 2

∴点 P1(-4,4) ………………10 分 5 ② 当 PM=AM 时, x2+2x+8=(2 2)2 4 8 解得:x1=- 5 x2=0(舍去) 1 8 14 此时 y=- ×(- )+2= 2 5 5

8 14 ∴点 P2(- , ) ………………11 分 5 5 1 ③ 当 PA=AM 时,x2+(- x+2-2)2=(2 2)2 2 解得:x1=- 4 10 5 4 10 x2= (舍去) 5 2 10 +10 1 4 10 此时 y=- ×(- )+2= 2 5 5

∴点 P3(-

4 10 2 10 +10 , ) ………………12 分 5 5

8 14 4 10 2 10 +10 综上所述,满足条件的点为 P1(-4,4)、P2(- , )、P3(- , ) 5 5 5 5

练习 1、 如图, 抛物线 y ? ax ? 5ax ? 4 经过 △ ABC 的三个顶点, 已知 BC ∥ x 轴, 点 A在
2

x 轴上,点 C 在 y 轴上,且 AC ? BC .
(1)求抛物线的对称轴;

(2)写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式; (3)探究:若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点,是否存在 △ PAB 是等腰 三角形.若存在,求出所有符合条件的点 P 坐标;不存在,请说明理由. 解: y C A
1

B

0

1

x

( 抛物线的对称轴 x ? ?

?5 a 5 ? ) 2a 2

(? y ? ?

1 2 5 x ? x?4) 6 6

? ( ?P 1? ,

?5 ?2 ?

199 ? ? 2 ? ?

? 5 8 ? 295 ? ? P2 ? ? ? 2, 2 ? ? ?

?P , ? 1) ) 3 (2.5

例 2.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4,0) 、C(8, 2 0) 、D(8,8).抛物线 y=ax +bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点 P 从点 A 出发.沿线段 AB 向终点 B 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿 线段 CD 向终点 D 运动.速度均为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E

①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,交抛物线于点 G.当 t 为何值时,线段 EG 最长? ②连接 EQ.在点 P、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三 角形?请直接写出相应的 t 值.

1 2 x ? bx ? c 与 y 轴相交于 C, 与 x 轴相交于 A、 B, 2 点 A 的坐标为(2,0) ,点 C 的坐标为(0,-1). (1)求抛物线的解析式; (2)点 E 是线段 AC 上一动点,过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D,连结 DC,当 △DCE 的面积最大时,求点 D 的坐标;

练习 2:如图, 已知抛物线 y ?

(3)在直线 BC 上是否存在一点 P,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求 点 P 的坐标,若不存在,说明理由.

解: (1)∵二次函数 y ?

1 2 x ? bx ? c 的图像经过点 A(2,0)C(0,-1) 2
解得: b=-

∴?

?2 ? 2b ? c ? 0 ?c ? ?1

1 2

c=-1-------------------2 分

∴二次函数的解析式为 y ?

1 2 1 x ? x ? 1 --------3 分 2 2

(2)设点 D 的坐标为(m,0) (0<m<2) ∴ OD=m 由△ADE∽△AOC 得, ∴

∴AD=2-m

2 ? m DE ? 2 1

AD DE ? --------------4 分 AO OC 2?m ∴DE= -----------------------------------5 分 2

∴△CDE 的面积=

1 2?m 1 1 m2 m ? = ? (m ? 1) 2 ? × × m= ? 2 2 4 4 4 2

当 m=1 时,△CDE 的面积最大 ∴点 D 的坐标为(1,0)--------------------------8 分 (3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为 y ? 设 y=0 则 0 ?

1 2 1 x ? x ?1 2 2

1 2 1 x ? x ? 1 解得:x1=2 x2=-1 2 2

∴点 B 的坐标为(-1,0) C(0,-1) 设直线 BC 的解析式为:y=kx+b ∴ ?

?? k ? b ? 0 ?b ? ?1

解得:k=-1

b=-1

∴直线 BC 的解析式为: y=-x-1 0 在 Rt△AOC 中,∠AOC=90 OA=2 OC=1 由勾股定理得:AC= 5 ∵点 B(-1,0) 点 C(0,-1) ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点 C 为顶点且 PC=AC= 5 时, 设 P(k, -k-1) 过点 P 作 PH⊥y 轴于 H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在 Rt△PCH 中 k2+k2=

? 5?

2

解得 k1=

10 10 , k2=- 2 2

∴P1(

10 10 10 10 ? 1 ) P2(- ? 1 )---10 分 ,- , 2 2 2 2

②以 A 为顶点,即 AC=AP= 5 设 P(k, -k-1) 过点 P 作 PG⊥x 轴于 G AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣ 在 Rt△APG 中 AG2+PG2=AP2 (2-k)2+(-k-1)2=5

解得:k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, -2) ----------------------------------11 分 ③以 P 为顶点,PC=AP 设 P(k, -k-1) 过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q PL⊥x 轴于点 L ∴L(k,0) ∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= 2 k ∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1| 在 Rt△PLA 中 ( 2 k)2=(k-2)2+(k+1)2 解得:k=

5 5 7 ∴P4( ,- ) ------------------------12 分 2 2 2

综上所述: 存在四个点:P1(

10 10 ?1 ) ,- 2 2
P4(

P2(-

10 10 ?1 ) , 2 2

P3(1, -2)

5 7 ,- ) 2 2

2 练习 3、如图,已知二次函数 y ? ? x ? bx ? c (c ? 0) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点

(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,且 OB=OC=3,顶点为 M. (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 为线段 BM 上的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线 PQ,垂足为 Q,若 OQ=m,四边形 ACPQ 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数解析式,并写出 m 的取

值范围; (3)探索:线段 BM 上是否存在点 N,使△NMC 为等腰三角形;如果存在,求 出点 N 的坐标;如果不存在,请说明理由. 解: y
M C P O AO O Q B

x


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