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数学必修5选修2-1期末试卷+答案详解


必修 5 和选修 2-1 测试卷 B 学号: 姓名: 分数: 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 一项。 (1)在△ ABC 中,a=3,b=5,sinA= A.

1 ,则 sinB=( 3
D.1

)

1 5

B.

5 9

C.

5 3

(2)设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集。若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B ( )



(3)动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是 A 双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线

(4) “1<x<2”是“x<2”成立的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 (5)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc B. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 1 C.a2>b2 D.a3>b3 ? a b 2 (6)设首项为 1 ,公比为 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则( 3
(A) Sn ? 2an ? 1 (B) Sn ? 3an ? 2 (C) Sn ? 4 ? 3an (7)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 ( A. ? 0, 2 ?
2



(D) Sn ? 3 ? 2an

) C. ? ?2, ?? ?
2

B. ? ?2, 0?
2

D. ? ??, ?2? )

(8)抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?

y ? 1 的渐近线的距离是( 3
(D) 3

(A)

1 2

(B)

3 2

(C) 1

(9)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S m?1 ? ?2 , S m ? 0 , S m ?1 ? 3 ,则 m ? ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2



(10)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 23cos A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则

b?(

) (B) 9 (C) 8 (D) 5

(A) 10 (11)已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (3,0) ,过点 F 的直线交 E 于 A , B 两点,若 AB a2 b2

的中点坐标为 (1,?1) ,则 E 的方程为(



x2 y2 A. ? ?1 45 36

x2 y2 B. ? ?1 36 27

x2 y2 C. ? ?1 27 18

x2 y2 D. ? ?1 18 9

(12)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 角的正弦值为( ) A. B. C. D.

(请把选项填入表格内) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 (13)不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为
2

.

(14)设 x, y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? 3, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为______。 ??1 ? x ? y ? 0

(15)已知 ?an ? 是等差数列,a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , S n 为其前 n 项和,若 a1 、a2 、a5 成等比数列,则 S8 ? (16)已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1,圆 N : ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心
2 2 2 2

P 的轨迹为曲线 C ,则 C 的方程为

.

三.解答题: 17.(10分)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个内接矩形花园(阴影部分), 则当边长x为何值时,花 园面积最大并求出最大面积

x

40m

40m

18.(12 分) 已知 p : x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q : 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根, p ? q 为真, 若
2 2

p ? q 为假,求 m 的取值范围.

19.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B. (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

20.(12 分)如图, 在直三棱柱 A1 B1C1 - ABC 中, AB ? AC, AB = AC=2, A1 A = 4, 点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 AB A1 所成二面角的正弦值.

21.(12 分)设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ?N ? (Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ) 求数列{ nan }的前 n 项和。

22.( 12 分)设椭圆 得的线段长为

x2 y 2 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b

4 3 . 3

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ ) 设 A, B 分 别 为椭圆 的 左 、右 顶点 , 过点 F 且 斜率 为 k 的 直线 与椭 圆 交于 C, D 两 点 . 若
???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB

学号: 一、选择题:

姓名:

必修 5 和选修 2-1 测试卷 分数:

(1)在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= A.

1 ,则 sinB=( 3
D.1

)

1 5

B.

5 9

C.

5 3

a b 3 5 5 ? , 所以 ? , 所以sin B ? 1 sin B sin A sin B 9 【解析】选 B。由正弦定理得 3

(2)设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集。若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B



【解析】选 C,根据 p : ?x ? A, 2 x ? B 的否定是 ?p : ?x ? A, 2 x ? B ,故选 C. (3)动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是 A 双曲线 【解析】选 D B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线 ( )

(4) “1<x<2”是“x<2”成立的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选 A,因为集合(1,2)是(-∞,2)的真子集,所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件,故选 A. (5)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc
3

)

B.

1 1 ? a b

C.a >b
3

2

2

D.a >b
3

3

3

【解析】选 D.y=x 在(-∞,+∞)上为增函数,所以 a >b . (6)设首项为 1 ,公比为

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则( 3



(A) Sn ? 2an ? 1 (B) Sn ? 3an ? 2 (C) Sn ? 4 ? 3an

(D) Sn ? 3 ? 2an

a ? an q 2 【解析】 D.方法一: 选 因为等比数列的首项为 1, 公比为 , n ? 1 S ? 1? q 3

2 1 ? an 3 , 所以 S n ? 3 ? 2a n . 2 1? 3

2 1? ( )n 3 ? 3 ? 3 ? ( 2 ) n ? 3 ? 2( 2 ) n?1 , a ? ( 2 ) n ?1 ,观察四个选项可知选 D. 方法二: S n ? n 2 3 3 3 1? 3
(7)若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是 ( A. ? 0, 2 ? 【解析】选 D. 2 2
x? y
x y

) C. ? ?2, ?? ? D. ? ??, ?2?

B. ? ?2, 0?
x y

≤2 +2 =1,所以 2 ≤
2

x+y

1 x+y -2 ,即 2 ≤2 ,所以 x+y≤-2. 4


(8)抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?
2

2

y ? 1 的渐近线的距离是( 3
(D) 3
2

(A)

1 2

(B)

3 2
2

(C) 1

【解析】选 B,由抛物线 y ? 4 x 的焦点 (1, 0) ,双曲线 x ?
2

y ? 1 的一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 ,根 3

据点到直线的距离公式可得 d ?

3 ,故选 B. 2


(9)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S m?1 ? ?2 , S m ? 0 , S m ?1 ? 3 ,则 m ? ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【解析】选 C.由已知得, a m ? S m ? S m?1 ? 2 , a m?1 ? S m?1 ? S m ? 3 ,因为数列 {a n } 为等差数列,所以

d ? a m?1 ? a m ? 1,又因为 S m ?

m(a1 ? a m ) ? 0 ,所以 m(a1 ? 2) ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 a1 ? ?2 ,又 2

am ? a1 ? (m ? 1)d ? 2 ,解得 m ? 5 .
(10)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 23cos A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则
2

b?(

) (B) 9
2

(A) 10

(C) 8

(D) 5
2 2

【解析】选 D.因为 23 cos A ? cos 2 A ? 0 , 23 cos A ? 2 cos A ? 1 ? 0 ,解得 cos A ?
2

1 , 25

方法一:因为△ABC 为锐角三角形,所以 cos A ?

2 6 1 , sin A ? . 5 5

由正弦定理

12 6 7 6 a c 19 得, . sin C ? , cos C ? .又 B ? ? ? ( A ? C ) , ? ? 35 sin A sin C 35 2 6 sin C 5

所以 sin B ? sin(A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ,

sin B ?

2 6 19 1 12 6 50 6 7 b a b ? ? ? ? .由 得, ,解得 b ? 5 . ? ? 5 35 5 35 175 sin A sin B 2 6 50 6 5 175
2 2 2

方法二:由 a ? b ? c ? 2bc cos A , cos A ?

1 1 2 ,则 b ? 36 ? 12b ? ? 49 ,解得 b ? 5 5 5

(11)已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (3,0) ,过点 F 的直线交 E 于 A , B 两点,若 AB a2 b2
) C.

的中点坐标为 (1,?1) ,则 E 的方程为( A.

x2 y2 ? ?1 45 36

B.

x2 y2 ? ?1 36 27

x2 y2 ? ?1 27 18

D.

x2 y2 ? ?1 18 9

x2 y2 2 2 2 2 2 2 【解析】选 D.由椭圆 2 ? 2 ? 1 得, b x ? a y ? a b , a b

x2 y2 因为过 F 点的直线与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于 A , B 两点, a b
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 则 b x1 ? a y1 ? a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x1 ? x 2 y ? y2 ? 1, 1 ? ?1 2 2
2 2 2 2 2 2

① b x2 ? a y 2 ? a b
2 2 2



由①-②得 b ( x1 ? x 2 ) ? a ( y1 ? y 2 ) ? 0 , 化简得 b ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? a ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 .
2 2

2b 2 ( x1 ? x2 ) ? 2a 2 ( y1 ? y 2 ) ? 0 ,

y1 ? y 2 b 2 ? x1 ? x 2 a 2

又直线的斜率为 k ?

b2 1 0 ? (?1) 1 ? ,即 2 ? .因为 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? 9 , 2 3 ?1 2 a

所以

a2 ? 9 1 x2 y2 ? ? 1. ? ,解得 a 2 ? 18 , b 2 ? 9 .故椭圆方程为 18 9 2 a2

(12)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 角的正弦值为( ) A. B. C. D.

【解析】选 D.如图建立空间直角坐标系,则 B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1), ∴ =(0,0,1), =(2,2,0), =(-2,0,1).

设平面 BB1D1D 的一个法向量 n=(x,y,z),



可得

∴可取 n=(1,-1,0).

cos<n,

>=

=

= .

,

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 (13)不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为
2

.

【解析】 {x | ?2 ? x ? 1} .

x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1

(14)设 x, y 满足约束条件 ? 【解析】 3

?1 ? x ? 3, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为______。 ??1 ? x ? y ? 0

画出可行域如图所示,

x

40m

当目标函数 z ? 2 x ? y 过点 A(3,3) 时,取得最大值, Z max ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 (15) 已知 ?an ? 是等差数列,a1 ? 1 , 公差 d ? 0 ,S n 为其前 n 项和, a1 、a2 、 若
40m

a5 成等比数列,则 S8 ?
【解析】 64 ,
2 因为 a1 、 a2 、 a5 成等 1 比数列, a1 ? 1 所以 (1 ? d ) ? 1 ? 4d ,化简得 d ? 2d
2

因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,故 S8 ? 8a1 ?
2 2

8? 7 d ? 8 ? 56 ? 64. 2
2 2

(16)已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1,圆 N : ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心

P 的轨迹为曲线 C ,则 C 的方程为
【解析】

.

x2 y2 ? ? 1( x ? 2) 4 3

由已知得圆 M 的圆心为 M (?1,0) ,半径 r1 ? 1 ;圆 N 圆心为 N (1,0) ,

半径 r2 ? 3 .设圆 P 的圆心为 P( x, y ) ,半径为 R 动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切。 ,所以 | PM | ? | PN |? ( R ? r1 ) ? (r2 ? R) ? r1 ? r2 ? 4 由椭圆定义可知, 曲线 C 是以 M ,N 为左、 右焦点, 长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆 (左顶点除外) ,

其方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? 2) . 4 3

三.解答题: 17.(10分)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个内接矩形花园(阴影部分), 则当边长x为何值时, 花园面积最大并求出最大面积 【解析】设矩形高为 y, 由三角形相似得:

x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40 40 40

? 40 ? x ? y ? 2 xy , 仅当x ? y ? 20时,矩形的面积s ? xy取最大值400 .
19.(12 分)已知 p : x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q : 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若 p ? q 为
2 2

真, p ? q 为假,求 m 的取值范围. 【解析】见世纪金榜课本相关页 19.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B. (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

【 解 析 】 (1) 因 为 a=bcosC+csinB, 所 以 由 正 弦 定 理 得 :sinA=sinBcosC+sinCsinB, 所 以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC≠0, 所以 tanB=1,解得 B=
2

? . 4
2 2

(2)由余弦定理得:b =a +c -2accos

? 2 2 2 2 ,即 4=a +c - 2 ac,由不等式得 a +c ≥2ac,当且仅当 a=c 时,取等号, 4
2 1 ? acsin ≤ ×(4+2 2 )= 2 +1.所以△ 4 2 4

所以 4≥(2- 2 )ac,解得 ac≤4+2 2 ,所以△ABC 的面积为

ABC 面积的最大值为 2 +1. 20.(12 分)如图, 在直三棱柱 A1 B1C1 - ABC 中, AB ? AC, AB = AC=2, A1 A = 4, 点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 AB A1 所成二面角的正弦值. 【解析】(1)以 A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(1, 1, 0), A1 (0, 0, 4), C1 (0, 2, 4), 所以 A1 B =(2, 0, -4), C1 D =(1, -1, -4).因为

????

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? A1 B ? C1 D 18 3 10 ? cos ? A1 B, C1 D ?? ???? ????? ? ? 10 | A1 B || C1 D | 20 18
所以异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值成角的余弦值为

3 10 10
???? ? ??

(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1 = (x, y, z), 因为 AD =(1, 1, 0), AC1 =(0, 2, 4), 所以 n1 · AD =0,

??

????

????

?? ???? ? ?? n1 · AC1 =0,即 x+y=0 且 y+2z =0, 取 z =1, 得 x =2,y=-2, 所以, n1 =(2, -2, 1)是平面 ADC1 的一个
法向量.取平面 A A1 B 的一个法向量为 n2 =(0, 1, 0), 设平面 ADC1 与与平面

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 2 2 ? ? 得 AB A1 所成二面角的大小为 ? .由|cos ? |= ? ?? ??? ? | n1 || n2 | 9 3
sin ? =

5 , 3 5 3

因此, 平面 ADC1 与平面 AB A1 所成二面角的正弦值为

21.(12 分)设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ?N ? (Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)
2

求数列{ nan }的前 n 项和。

【解析】 (Ⅰ)令 n ? 1,得 2a1 ? a1 ? a1 ,因为 a1 ? 0 ,所以 a 1 ? 1 , 令 n ? 2 ,得 2a2 ? 1 ? s 2 ? 1 ? a2 ,解得 a 2 ? 2 。当 n ? 2 时,由 2a n ?1 ? s n

2a n ?1 ? 1 ? s n ?1 ,两式相减,整理得 a n ? 2a n ?1 ,于是数列 ?a n ?是首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以,
a n ? 2 n ?1 。
(Ⅱ)由(I )知 nan ? n 2
n ?1

,记其前 n 项和为 T n ,于是 ①

Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1

2Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n ②
① -②得 ?T n? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n

2 从而 Tn ? 1 ? ( n ? 1) ?
22.( 12 分)设椭圆 截得的线段长为

n

x2 y 2 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 3 a 2 b2

4 3 . 3

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB

【解析】(Ⅰ)设 F (?c, 0) 由

c 3 ? , 知 a ? 3c, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x ? ?c, 代入椭圆方程有 a 3

( ?c ) 2 y 2 6b 2 6b 4 3 ? 2 ? 1, 解得 y ? ? , 于是 ? , 解得 b ? 2, 又 a 2 ? c 2 ? b2 ,从而 a ? 3, c ? 1 ,所 2 3 3 3 a b
以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, . 3 2

? y ? k ( x ? 1), ? (Ⅱ)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,由 F (?1, 0) 得直线 CD 的方程为 y ? k ( x ? 1), 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y, ? ? 1, ? 2 ?3
整理得 (2 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0.
2 2 2 2

6k 2 3k 2 ? 6 可得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 因为 A(? 3, 0), B( 3, 0), 所以 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? ( x1 ? 3, y1 ) ? ( 3 ? x2 , ? y2 ) ? ( x2 ? 3, y2 ) ? ( 3 ? x1 , ? y1 ) DB CB

? 6 ? 2 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 6 ? 2 x1 x2 ? 2k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2k 2 ? 12 ? 6 ? (2 ? 2k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 6 ? 2 ? 3k 2
2 2 2

由已知得 6 ?

2k 2 ? 12 ? 8 ,解得 k ? ? 2. 2 ? 3k 2


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