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高中数学 第七章7.2 一元二次不等式及其解法(共72张PPT)


数学

R A(文)

§7.2 一元二次不等式及其解法
第七章 不等式

基础知识·自主学习
要点梳理
1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左 边化为二次项系数大于零的不 等式 ax +bx+c>0 (a>0)或 ax +bx+c<0 (a>0)

. (2)求出相应的一元二次方程 的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴 的交点确定一元二次不等式的 解集.
基础知识 题型分类
2 2

难点正本 疑点清源
1.一元二次不等式的解集及解集的确定
一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a≠0)的 解集的确定受 a 的符号、b2-4ac 的符号 的影响,且与相应的二次函数、一元二 次方程有密切联系, 可结合相应的函数 y =ax2+bx+c (a≠0)的图象,数形结合求 得不等式的解集. 若一元二次不等式经过不等式的同解变 形后, 化为 ax2+bx+c>0(或<0)(其中 a>0) 的形式,其对应的方程 ax2+bx+c=0 有 两个不等实根 x1,x2(x1<x2) (此时 Δ=b2 -4ac>0),则可根据“大于取两边,小于 夹中间”求解集.

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理 难点正本 疑点清源 2.一元二次不等式与相应的二次函数及

一元二次方程的关系如下表:
判别式 Δ=b2 -4ac 二次函数 y= ax2+bx+ c(a>0)的图象 Δ>0 Δ=0 Δ<0

2.解含参数的一元二 次不等式,可先考 虑因式分解,再对 根的大小进行分类 讨论;若不能因式
没有实 数根

有两相 有两相 一元二次方程 异实根 等实根 ax2+bx+c= x1=x2 x1, 0(a>0)的根 b x2(x1<x2) =-2a

分解,则可对判别 式进行分类讨论, 分类要不重不漏.

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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

ax +bx+ c>0 (a>0)的 解集 ax2+bx+ c<0 (a>0)的 解集

2

2.解含参数的一元二
{x|x<x1 {x∈R| {x|x∈ R}

次不等式,可先考 虑因式分解,再对 根的大小进行分类 讨论;若不能因式

或x>x2} x≠x1}

{x|x1<
x<x2}

?

?

分解,则可对判别 式进行分类讨论, 分类要不重不漏.

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基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
{x|-1<x<1}

解析

(-∞,-4]∪[3,+∞)

(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

A

C

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题型一 一元二次不等式的解法
2

【例 1】 已知不等式 ax -3x+6>4 的 解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.

思维启迪

解析

探究提高

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题型一 一元二次不等式的解法
2

【例 1】 已知不等式 ax -3x+6>4 的 解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.

思维启迪

解析

探究提高

(1)先化简不等式为标准形式, 再依据解集确定 a 的符号,然 后利用根与系数的关系列出 a, b 的方程组,求 a,b 的值. (2)所给不等式含有参数 c, 因此 需对 c 讨论写出解集.

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题型一 一元二次不等式的解法
2

【例 1】 已知不等式 ax -3x+6>4 的

思维启迪

解析

探究提高

解集为{x|x<1 或 x>b}. 解 (1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, 所以 x1=1 (1)求 a,b 的值; 与 x =b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0.由根与系
2

(2)解不等式 数的关系, ax2-(ac+b)x+bc<0.
3 ? ?1+b=a, 得? ?1×b=2. a ?
?a=1, ? 解得? ?b=2. ?

(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0,
即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c};
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题型一 一元二次不等式的解法
2

【例 1】 已知不等式 ax -3x+6>4 的

思维启迪

解析

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解集为{x|x<1 或 x>b}. 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; (1)求 a,b 的值; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.
所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?.

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题型分类·深度剖析
题型一 一元二次不等式的解法
2

【例 1】 已知不等式 ax -3x+6>4 的 解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.

思维启迪

解析

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(1)解一元二次不等式时,当二次 项系数为负时要先化为正,再根 据判别式符号判断对应方程根的 情况,然后结合相应二次函数的 图象写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式, 要把握好分类讨论的层次,一般 按下面次序进行讨论:首先根据 二次项系数的符号进行分类,其 次根据根是否存在,即 Δ 的符号 进行分类,最后在根存在时,根 据根的大小进行分类.
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变式训练 1 (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},则不等式

{x|-3<x<-2} ax2-bx+c>0 的解集为______________.
(2)解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax (a∈R).
解析 令 f(x)=ax2+bx+c,则 f(-x)=ax2-bx+c,结合图象, 可得 ax2-bx+c>0 的解集为{x|-3<x<-2}.

(2)解 原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0?(ax-2)(x+1)≥0.
①当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0?x≤-1.
②当 a>0 ③当 a<0
? 2? 2 ?x- ?(x+1)≥0?x≥ 或 时,原不等式化为 a? a ? ? 2? 时,原不等式化为?x-a?(x+1)≤0. ? ?

x≤-1.

2 2 当a>-1,即 a<-2 时,原不等式等价于-1≤x≤a;
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题型分类·深度剖析
变式训练 1 (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},则不等式

{x|-3<x<-2} ax2-bx+c>0 的解集为______________.
(2)解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax (a∈R).
2 当a=-1,即 a=-2 时,原不等式等价于 x=-1; 2 2 当a<-1,即 a>-2,原不等式等价于a≤x≤-1. ? 2? 综上所述,当 a<-2 时,原不等式的解集为?-1,a?; ? ? 当 a=-2 时,原不等式的解集为{-1}; ?2 ? 当-2<a<0 时,原不等式的解集为?a,-1?; ? ?
当 a=0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]; ?2 ? 当 a>0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪?a,+∞?. ? ?
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

一元二次不等式恒成立问题
已知不等式 ax +4x+a>1
2

思维启迪

解析

探究提高

-2x2 对一切实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

基础知识

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题型二
【例 2】

一元二次不等式恒成立问题
已知不等式 ax +4x+a>1
2

思维启迪

解析

探究提高

-2x2 对一切实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

化为标准形式 ax2+bx+c>0 后 分 a=0 与 a≠0 讨论.当 a≠0
?a>0, ? 时,有? ?Δ=b2-4ac<0. ?

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

一元二次不等式恒成立问题
已知不等式 ax +4x+a>1
2

思维启迪

解析

探究提高

-2x2 对一切实数 x 恒成立, 求实数 解 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数恒成立,显然 a 的取值范围. a=-2 时,解集不是 R,因此 a≠-2,
?a+2>0, ? 从而有? ?Δ=42-4?a+2??a-1?<0, ? ?a>-2, ? 整理,得? ??a-2??a+3?>0, ? ?a>-2, ? 所以? ?a<-3或a>2, ?

所以 a>2.

故 a 的取值范围是(2,+∞).
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题型二
【例 2】
2

一元二次不等式恒成立问题
已知不等式 ax +4x+a>1
2

思维启迪

解析

探究提高

-2x 对一切实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

不等式 ax2+bx+c>0 的解是全 体实数(或恒成立)的条件是当 a =0 时, b=0, c>0; a≠0 时, 当
?a>0, ? ? ?Δ<0; ?

不等式 ax2 +bx+c<0

的解是全体实数(或恒成立)的 条件是当 a=0 时,b=0,c<0; 当 a≠0
?a<0, ? 时,? ?Δ<0. ?

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取

(-∞,-5] 值范围是______________.
解析 方法一 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立?m< ? ? x2+4 4? 4? - x =-?x+x?在 x∈(1,2)上恒成立,设 φ(x)=-?x+x ?,φ(x)= ? ? ? ? ? 4? -?x+x ?∈(-5,-4),故 m≤-5. ? ?

方法二

设 f(x)=x2+mx+4,因为当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx

+4<0 恒成立,
?f?1?≤0, ? 所以? ?f?2?≤0, ? ?5+m≤0, ? 即? ?8+2m≤0, ?

解得 m≤-5.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 一元二次不等式的实际应用
思维启迪 解析

【例 3】 某汽车厂上年度生产汽车 的投入成本为 10 万元/辆,出厂价 为 12 万元/辆,年销售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划 提高产品质量,适度增加投入成 本.若每辆车投入成本增加的比例 为 x (0<x<1), 则出厂价相应地提高 比例为 0.75x,同时预计年销售量 增加的比例为 0.6x,已知年利润= (出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投 入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度 有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?
基础知识 题型分类

探究提高

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 一元二次不等式的实际应用
思维启迪 解析

【例 3】 某汽车厂上年度生产汽车 的投入成本为 10 万元/辆,出厂价 为 12 万元/辆,年销售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划 提高产品质量,适度增加投入成 本.若每辆车投入成本增加的比例 为 x (0<x<1), 则出厂价相应地提高 比例为 0.75x,同时预计年销售量 增加的比例为 0.6x,已知年利润= (出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投 入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度 有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?
基础知识 题型分类

探究提高

(1)依据“年利润=(出厂价-投入成 本)×年销售量”写出;(2)年利润有 所增加,即 y-(12-10)×10 000>0, 解此不等式即可得 x 的范围.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 一元二次不等式的实际应用

【例 3】 某汽车厂上年度生产汽车 探究提高 思维启迪 解析 的投入成本为 10 万元/辆,出厂价 为 12 万元/辆,年销售量为 10 000 解 (1)由题意得 y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000 ×(1+0.6x) 辆.本年度为适应市场需求,计划 (0<x<1), 提高产品质量,适度增加投入成 整理得 y=-6 000x2+2 000 x+20 000(0<x<1). 本.若每辆车投入成本增加的比例 为 x (0<x<1), 则出厂价相应地提高 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有 比例为 0.75x,同时预计年销售量 增加的比例为 0.6x,已知年利润= ?y-?12-10?×10 000>0, ?-6 000x2+2 000x>0, ? ? (出厂价-投入成本)×年销售量. ? 即? ?0<x<1, ?0<x<1, ? ? (1)写出本年度预计的年利润 y 与投 入成本增加的比例 x 的关系式; 1 解得 0<x< , 3 (2)为使本年度的年利润比上年度 ? ? 有所增加,则投入成本增加的比例1?范围内. 所以投入成本增加的比例应在?0,3 ? ? x 应在什么范围内?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 一元二次不等式的实际应用
思维启迪 解析

【例 3】 某汽车厂上年度生产汽车 的投入成本为 10 万元/辆,出厂价 为 12 万元/辆,年销售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划 提高产品质量,适度增加投入成 本.若每辆车投入成本增加的比例 为 x (0<x<1), 则出厂价相应地提高 比例为 0.75x,同时预计年销售量 增加的比例为 0.6x,已知年利润= (出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投 入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度 有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?
基础知识 题型分类

探究提高

不等式应用题常以函数、数列为背 景出现,多是解决现实生活、生产 中的最优化问题,在解题中主要涉 及到不等式的解法等问题,构造数 学模型是解不等式应用题的关键.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测

六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份 销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总 额相等,若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小

20 值是________.
解析 由题意得, 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000, 3

化简得(x%)2+3· x%-0.64≥0,
解得 x%≥0.2, x%≤-3.2(舍去). 或 ∴x≥20, x 的最小值为 20. 即

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 10.解与一元二次不等式有关的恒成立问题
典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
答题模板 10.解与一元二次不等式有关的恒成立问题
典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,可转化为函数 f(x)的图象总是在 x 轴下方, 可讨论 m 的取值,利用判别式求解. (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法: 方法一是利用二次函数区间上的最值来处理;方法二是先分离出参数,再 去求函数的最值来处理,一般方法二比较简单.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
答题模板 10.解与一元二次不等式有关的恒成立问题
典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.



规 范 解 答 审 题 视 角 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,
?m<0, ? m≠0,则? ?Δ=m2+4m<0 ?

温 馨 提 醒

若 m=0,显然-1<0;
若 ?-4<m<0.

所以-4<m≤0. (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,即
? 1?2 3 m?x-2? +4m-6<0 ? ?

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4分

在 x∈[1,3]上恒成立.

6分

有以下两种方法:
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 10.解与一元二次不等式有关的恒成立问题
典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

审 题 视 角
方法一 令

规 范 解 答

温 馨 提 醒

? 1? 3 ?x- ?2+ m-6,x∈[1,3]. g(x)=m 2? 4 ?

当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数,

8分

所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0,
6 6 所以 m<7,则 0<m<7; 10分 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0,所以 m<6,所以 m<0. 6 12分 综上所述:m 的取值范围是{m|m<7}. 动画展示 思想方法 题型分类 练出高分 基础知识

题型分类·深度剖析
答题模板 10.解与一元二次不等式有关的恒成立问题
典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

审 题 视 角
方法二 因为 x
2 2

规 范 解 答

温 馨 提 醒

? 1? 3 ?x- ?2+ >0, -x+1= 2? 4 ?

6 又因为 m(x -x+1)-6<0,所以 m< 2 . x -x+1

8分

6 6 6 6 因为函数 y= 2 =? 1? 在[1,3]上的最小值为7,所以只需 m<7即可. 3 x -x+1 ?x- ?2+ 2? 4 ? 10分
所以,m
? 6? ? ? ?m|m< ?. 的取值范围是 7? ? ? ?

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 10.解与一元二次不等式有关的恒成立问题
典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

对于给定区间上的不等式恒成立问题,一般可根据以下几步求解: 第一步:整理不等式(或分离参数); 第二步:构造函数 g(x); 第三步:求函数 g(x)在给定区间上的最大值或最小值; 第四步:根据最值构造不等式求参数; 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点,完善解题步骤.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板 10.解与一元二次不等式有关的恒成立问题
典例:(12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1.与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通 过分离参数,再求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的 范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数. 3.对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给 定的区间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定 的区间上全部在 x 轴下方. 4.本题易错点:忽略对 m=0 的讨论.这是由思维定势所造成的.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论 基础; 一般可把 a<0 的情况转化为 a>0 时的情形.

方 法 与 技 巧

2.f(x)>0 的解集即为函数 y=f(x)的图象在 x 轴上方 的点的横坐标的集合,充分利用数形结合思想.

3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二 次不等式解法进行求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论

失 误 与 防 范

a=0 时的情形.

2.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集为 R 还是?, 要注意区别.

3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x-3 1.不等式 <0 的解集为 x+2 A.{x|-2<x<3} C.{x|x<-2,或 x>3} B.{x|x<-2} D.{x|x>3}

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x-3 1.不等式 <0 的解集为 x+2 A.{x|-2<x<3} C.{x|x<-2,或 x>3} B.{x|x<-2} D.{x|x>3}

( A )

解 析
x-3 不等式 <0 可转化为(x+2)(x-3)<0, x+2

解得-2<x<3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
2

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9
? 1 1? 的解集是?-2,-3?,则不等式 ? ?

2.已知不等式 ax -bx-1≥0 -bx-a<0 的解集是 A.(2,3) ?1 1? C.?3,2? ? ?

x2 )

( B.(-∞,2)∪(3,+∞) ? ? 1? ?1 D.?-∞,3?∪?2,+∞? ? ? ? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
2

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9
? 1 1? 的解集是?-2,-3?,则不等式 ? ?

2.已知不等式 ax -bx-1≥0 -bx-a<0 的解集是 A.(2,3) ?1 1? C.?3,2? ? ?

x2

( A ) B.(-∞,2)∪(3,+∞) ? ? 1? ?1 D.?-∞,3?∪?2,+∞? ? ? ? ?

解 析
1 1 由题意知- ,- 是方程 ax2-bx-1=0 的根,所以由根与 2 3 1 ? 1? b 1 ? 1? 1 ?- ?= ,- ×?- ?=- .解得 a=-6, 系数的关系得- + 3 a a 2 ? 2 ? 3? ? b=5,不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0,解集为(2,3).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是( A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是( D ) A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

解 析
由题意知 a=0 时,满足条件.
?a>0 ? 时,由? 2 ?Δ=a -4a≤0 ?

a≠0

得 0<a≤4,所以 0≤a≤4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c, 不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}, 则函数 y=f(-x)的图象可以为 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c, 不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}, 则函数 y=f(-x)的图象可以为 ( B )

解 析
由 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}知 a<0,y=f(x)的图象与 x 轴交点为(-3,0),(1,0),∴f(-x)图象开口向下,与 x 轴交点 为(3,0),(-1,0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

? 1 ? ax-1 5. 已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞, -1)∪?-2,+∞?, x+1 ? ?

则 a=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

? 1 ? ax-1 5. 已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞, -1)∪?-2,+∞?, x+1 ? ?

-2 则 a=________. 解 析
? 1 ? ax-1 由于不等式 <0 的解集是(-∞, -1)∪?-2,+∞?, x+1 ? ?

1 故- 应是 ax-1=0 的根,∴a=-2. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2-9 6.(2012· 江西)不等式 >0 的解集是______________________. x-2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2-9 {x|-3<x<2 或 x>3} 6.(2012· 江西)不等式 >0 的解集是______________________. x-2

解 析
利用“穿根法”求解.
?x-3??x+3? 不等式可化为 >0,即(x-3)(x+3)(x-2)>0,利 x-2 用数轴穿根法可知,不等式的解集为{x|-3<x<2 或 x>3}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7. 若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1, 则 m=________. m),

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2 7. 若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1, 则 m=________. m),

解 析
根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2-6x+a2=0 的 一个根,即 a2+a-6=0,解得 a=2 或 a=-3,当 a=2 时, 不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,2),符合要求;当 a=-3 时,不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞), 不符合要求,舍去.故 m=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)求不等式 12x2-ax>a2 (a∈R)的解集.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)求不等式 12x2-ax>a2 (a∈R)的解集.

解 析
解 原不等式可化为(3x-a)(4x+a)>0.
? a a? ? ? ?x|x<- 或x> ?; 时,不等式的解集为 4 3? ? ? ?

当 a>0

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0};
a a 当 a<0 时,不等式的解集为{x|x<3或 x>-4}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 8 件. 若售价降低 x 成(1 成=10%), 售出商品数量就增加 x 成. 要 5 求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y =f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元, x 的取值范围. 求

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 8 件. 若售价降低 x 成(1 成=10%), 售出商品数量就增加 x 成. 要 5 求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y =f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元, x 的取值范围. 求
? ? x? 8 ? (1)依题意,y=100?1-10?· ?1+50x?. 100 ? ? ? ?
? x? 100?1-10?-80≥0. ? ?

解 析



又售价不能低于成本价,所以

所以 y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为 x∈[0,2].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 8 件. 若售价降低 x 成(1 成=10%), 售出商品数量就增加 x 成. 要 5 求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y =f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元, x 的取值范围. 求

解 析
(2)由题意得 40(10-x)(25+4x)≥10 260, 1 13 2 化简得 8x -30x+13≤0.解得2≤x≤ 4 . ?1 ? 所以 x 的取值范围是?2,2?. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-1<x<2},那么不等式 a(x2+1) +b(x-1)+c>2ax 的解集为 A.{x|0<x<3} C.{x|-2<x<1} B.{x|x<0,或 x>3} D.{x|x<-2,或 x>1} ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-1<x<2},那么不等式 a(x2+1) +b(x-1)+c>2ax 的解集为 A.{x|0<x<3} C.{x|-2<x<1} B.{x|x<0,或 x>3} D.{x|x<-2,或 x>1} ( A )

解 析
由题意知 a<0 且-1,2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根, ? b ?-a=1 ∴? ,∴b=-a,c=-2a, c ? =-2 ?a ∴不等式 a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax, 即为 a(x2+1)-a(x-1)-2a>2ax,
∴x2-3x<0,∴0<x<3. 题型分类 基础知识
思想方法 练出高分

练出高分
1
t 2 ? 2 t ?3

B组
2 3

专项能力提升
4 5 6 7

2.若不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则关于 t 的不 等式 a C.? <1 的解集为 B.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(0,1) ( ) A.(-3,1)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
t 2 ? 2 t ?3

B组
2 3

专项能力提升
4 5 6 7

2.若不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则关于 t 的不 等式 a C.? <1 的解集为 B.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(0,1) ( B ) A.(-3,1)

解 析
不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立, 则 Δ=(-2a)2-4a<0,即 a2-a<0,解得 0<a<1,
所以不等式 a 故选 B.
t 2 ? 2 t ?3

<1 转化为 t2+2t-3>0, 解得 t<-3 或 t>1,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?x2-2x-3≤0, ? 3. 若不等式组? 2 ?x +4x-?1+a?≤0 ?

的解集不是空集, 则实数 a 的取 ( B.[-4,+∞) D.[-40,20) )

值范围是 A.(-∞,-4] C.[-4,20]

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

?x2-2x-3≤0, ? 3. 若不等式组? 2 ?x +4x-?1+a?≤0 ?

的解集不是空集, 则实数 a 的取 ( B ) B.[-4,+∞) D.[-40,20)

值范围是 A.(-∞,-4] C.[-4,20]

解 析
设 f(x)=x2+4x-(1+a),根据已知可转化为存在 x0∈[-1, 3]使 f(x0)≤0.易知函数 f(x)在区间[-1,3]上为增函数,故只 需 f(-1)=-4-a≤0 即可,解得 a≥-4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
?x+1 ? f(x)=? ?-x-1 ?

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知

?x<0?, 则不等式 x+(x+1)f(x-1)≤3 的 ?x≥0?,

解集是____________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
?x+1 ? f(x)=? ?-x-1 ?

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知

?x<0?, 则不等式 x+(x+1)f(x-1)≤3 的 ?x≥0?,

{x|x≥-3} 解集是____________. 解 析
?x, x<1 ? ∵f(x-1)=? ?-x, x≥1 ?



∴x+(x+1)f(x-1)≤3
?x≥1 ? 或? ?x+?x+1??-x?≤3 ?

?x<1 ? 等价于? ?x+?x+1?x≤3 ?



解得-3≤x<1 或 x≥1,即 x≥-3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为 an,

10 100 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 解 析
由不等式 x2-x<2nx (n∈N*),可得其解集为(0,2n+1), 其中整数解有 2n 个,即 an=2n,

100×?2+200? ∴S100= =10 100. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4


5

6

7

6.若关于 x 的不等式 4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围为__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4


5

6

7

6.若关于 x 的不等式 4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立,则实数 a

(-∞,0] 的取值范围为__________.
解 析
∵4x-2x 1-a≥0 在[1,2]上恒成立,


∴4x-2x 1≥a 在[1,2]上恒成立.
令 y=4x-2x 1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1. ∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4.




由二次函数的性质可知:当 2x=2,即 x=1 时,y 有最 小值 0.∴a 的取值范围为(-∞,0].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值.

解 析



(1)∵f(1)>0,∴-3+a(6-a)+b>0,

即 a2-6a+3-b<0. Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b. ①当 Δ≤0,即 b≤-6 时,原不等式的解集为?. ②当 Δ>0,即 b>-6 时,
方程 a2-6a+3-b=0 有两根 a1=3- 6+b, a2=3+ 6+b, ∴不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值.

解 析

综上所述:当 b≤-6 时,原不等式的解集为?;

当 b>-6 时,原不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b).

(2)由 f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0, 即 3x2-a(6-a)x-b<0.∵它的解集为(-1,3), ∴-1 与 3 是方程 3x2-a(6-a)x-b=0 的两根.
a?6-a? ? ?-1+3= 3 , ∴? ?-1×3=-b, 3 ?
基础知识
?a=3- ? 解得? ?b=9 ?

3,

?a=3+ ? 或? ?b=9. ?

3,

题型分类

思想方法

练出高分


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