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高中数学必修一 第一章 集合测评


第一章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3,5},集合 B={1,3,4,6},则集合 A∩(?UB)=( A.{3} B.{2,5} C.{1,4,6} D.{2,3,5} )

解析:∵?UB={2,5},

A={2,3,5},∴A∩(?UB)={2,5}.故选 B. 答案:B 2.(2016· 福建福州长乐一中高一月考)在映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且 f:(x,y)→(x-y,x+y),则与 A 中的元素(-1,2)对应的 B 中的元素为( ) A.(-3,1) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(3,1) 解析:∵x-y=-1-2=-3,x+y=-1+2=1,∴与 A 中的元素(-1,2)对应的 B 中的元素为(-3,1). 答案:A 3.已知全集 U=R,集合 P={x∈N*|x<7},Q={x|x-3>0},则图中阴影部分表示的集合是 ( )

A.{1,2,3,4,5,6} C.{4,5,6}

B.{x|x>3} D.{x|3<x<7}

解析:由题意知 P={1,2,3,4,5,6},Q={x|x>3},则阴影部分表示的集合是 P∩Q={4,5,6}. 答案:C 4.函数 f(x)=| |的图象是(


)

解析:由于 f(x)=| | = 答案:C



1, > 0, 故选 C. -1, < 0,
1

5.函数 f(x)= + 1 + 2- 的定义域为( A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞) C.[-1,2)

)

D.[-1,+∞) + 1 ≥ 0, 解析:由 解得 x≥-1,且 x≠2. 2- ≠ 0, 答案:A 6.若函数 f(x)=x2-x-3,则 f(f(2))的值为( A.-1 B.-3 C.0 D.-8 )

解析:f(2)=22-2-3=-1,f(f(2))=f(-1)=(-1)2-(-1)-3=1+1-3=-1. 答案:A 7.若函数 f(x)(x∈R)是奇函数,则( ) 2 A.函数 f(x )是奇函数 B.函数[f(x)]2 是奇函数 C.函数 f(x)· x2 是奇函数 D.函数 f(x)+x2 是奇函数 解析:f((-x)2)=f(x2),则函数 f(x2)是偶函数,故 A 错误; [f(-x)]2=[-f(x)]2=[f(x)]2,则函数[f(x)]2 是偶函数,故 B 错误; 函数 f(-x)· (-x)2=-f(x)· x2,则函数 f(x)· x2 是奇函数,故 C 正确; f(-x)+(-x)2≠f(x)+x2,且 f(-x)+(-x)2≠-f(x)-x2,则函数 f(x)+x2 既不是奇函数又不是偶函数, 故 D 错误. 答案:C 8.(2016· 湖南岳阳一中高一月考)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x1)<f A. C.
1 3

的 x 的取值范围是( B. 3 , 3 D. 2 , 3
1 2 1 2

)

1 2 3 3 1 2 2 3

,

,

解析:∵函数 f(x)是偶函数,∴f(2x-1)<f 又 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,

1 3

等价于 f(|2x-1|)<f

1 3

.

∴|2x-1|<3,解得3<x<3.
答案:A 9.若函数 f(x)=2 +3 ≠ 0,且 ≠ - 2 满足 f(f(x))=x,则常数 c 等于( A.3 C.3 或-3 B.-3 D.5 或-3
3

1

1

2

)

解析:f(f(x))= 所以

2+3 2 +3 2+3



= 2 +6 +9=x,即 x[(2c+6)x+9-c2]=0,

2

2 + 6 = 0, 9- 2 = 0,

解得 c=-3.故选 B. 答案:B 10.已知函数 f(x)=ax3+bx+7(其中 a,b 为常数),若 f(-7)=-17,则 f(7)的值为( A.31 B.17 C.-17 D.15

)

解析:令 g(x)=ax3+bx,则 g(x)为奇函数.因为 f(-7)=g(-7)+7=-17,所以 g(-7)=-17-7=24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31. 答案:A 11.若 f(x)= A. 8 , 3 C. 0, 3
1 1 1

(3-1) + 4( < 1), 是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是( -( ≥ 1) B.
1 1 8 3 1

)

,

D. -∞, 3

3-1 < 0, 1 1 解析:由题意可得 - < 0, 解得8≤a<3,故选 A. - ≤ 3-1 + 4, 答案:A 12. 导学号 29900060 定义运算 a b= , ≤ , 则函数 f(x)=x2 |x|的图象是( , > , )

解析:根据运算 a b=

, ≤ , , > ,

得 f(x)=x2 |x| = 2 , < -1 或 > 1, ||,-1 ≤ ≤ 1, 由此可得图象如图所示.

答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 5- 2 , ≤ 3, 则 f(f(1))的值为 2 + 7, > 3, 解析:f(1)=5-1=4,f(f(1))=f(4)=42+7×4=44. 答案:44 13.若函数 f(x)=
+1

.

14.若函数 f(x)= +2 在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 解析:f(x)= +2 =a+ +2 .
+1 1-2

.

∵y= +2在区间(-2,+∞)上是减函数, ∴1-2a>0, ∴a<2.
答案:a<2 15.已知集合 A={x|0≤x≤4},集合 B={y|0≤y≤2},从 A 到 B 的对应关系 f 分别为:① f:x→2x;②f:x→x-2;③f:x→ ;④f:x→|x-2|.其中表示函数关系的是 号) 解析:由函数的定义可判定①③④正确.对于②,由于当 0≤x≤4 时,-2≤x-2≤2.显然不满 足函数的定义. 答案:①③④ 16. 导学号 29900061 已知函数 f(x)同时满足:①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(-x)=0;
1 1 1

1

.(只填序

②对于定义域上的任意 x1,x2.当 x1≠x2 时,恒有
下列三个函数中:(1)f(x)= ,(2)f(x)=x2,(3)f(x)= 序号).
1

( 1 )- ( 2 ) 1 - 2

<0,则称函数 f(x)为“理想函数”.在 (只填

- 2 , ≥ 0, “理想函数”有 2 , < 0,

解析:由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上是减函数. 函数 f(x)= 是奇函数,其虽然在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但不能说其在定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,所以 f(x)= 不是“理想函数”;函数 f(x)=x2 是偶函数,且其在定 义域 R 上先减后增,也不是“理想函数”;函数 f(x)= 答案:(3) - 2 , ≥ 0, 是“理想函数”. 2 , < 0
1 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 A={1,2,x},B={1,x2},且 A∩B=B,求 x 的值. 解:∵A∩B=B, ∴x2=2 或 x2=x, 即 x=± 2或 x=0 或 x=1. 当 x= 2时,A={1,2, 2},B={1,2},符合题意; 当 x=- 2时,A={1,2,- 2},B={1,2},符合题意; 当 x=0 时,A={1,2,0},B={1,0},符合题意; 当 x=1 时,A={1,2,1},B={1,1},由集合中元素的互异性知 x=1 不符合题意,应舍去. 故 x=± 2或 x=0. 18.(本小题满分 12 分)已知 f(x)= -1,x∈[2,6]. (1)证明 f(x)是定义域上的减函数; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)设 2≤x1<x2≤6,则 f(x1)-f(x2)=
1
1

1

? -1

1
2

= ( -1

2 - 1

1 -1)( 2 -1)

.

因为 x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,所以 f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)是定义域上的减函数. (2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=5,f(x)max=f(2)=1. 19.(本小题满分 12 分)(2016· 河北正定中学高一月考)已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实 ()( > 0), 数),设 F(x)= -()( < 0). (1)若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)满足 f(-x)=f(x),试比较 F(m)+F(n)的值与 0 的大小. 解:(1)∵f(-1)=0, ∴b=a+1. 由 f(x)≥0 恒成立知,a>0,且 Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,
1

∴a=1.
从而 f(x)=x2+2x+1. ( + 1)2 ( > 0), -( + 1)2 ( < 0). (2)由(1)知,f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1. 故 F(x)= 由 g(x)在区间[-2,2]上是单调函数,知2- 2

≤-2 或-

2- 2

≥2,

得 k≤-2 或 k≥6. 故 k 的取值范围为 k≤-2 或 k≥6. (3)∵f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数,b=0. ∵a>0, ∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数. 对于 F(x),当 x>0 时,-x<0, F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x); 当 x<0 时,-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),∴F(-x)=-F(x),且 F(x)在区间[0,+∞)上为增函 数. 由 mn<0,知 m,n 异号,不妨设 m>0,n<0, 由 m>-n>0,知 F(m)>F(-n)=-F(n), ∴F(m)+F(n)>0. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=mx+
1

+ (m,n 是常数),且 f(1)=2,f(2)= .
2 4

1

11

(1)求 m,n 的值; (2)当 x∈[1,+∞)时,判断 f(x)的单调性并证明; (3)若不等式 f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数 x 的取值范围. 解:(1)由题意知 f(1)=m+ + 2=2, f(2)=2m+2 + 2 =
1 1 11 4 1 1

, = 1, = 2.

∴将上式联立方程组解得

(2)f(x)在区间[1,+∞)上是增函数. 证明如下:设 1≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2) =x1+2 + 2 ? 2 + 2 + 2
1 2

1

1

1

1

=(x1-x2) 1- 2 =(x1-x2)

1
1 2

2 1 2 -1 2 1 2

.

∵1≤x1<x2, ∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴2x1x2>2>1, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.

(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,

∴1+2x2>x2-2x+4, ∴x2+2x-3>0,
解得 x<-3 或 x>1. 故 x 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞). 21. 导学号 29900062(本小题满分 12 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当 x>0 时,有 f(x)>1. (1)求 f(0); (2)求证:f(x)在 R 上为增函数; (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax-2)+f(x-x2)<3 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立,求实数 a 的 取值范围. (1)解:令 m=n=0,则 f(0)=2f(0)-1, ∴f(0)=1. (2)证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 x2-x1>0,f(x2-x1)>1. ∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1, ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1] =f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),

∴f(x2)>f(x1).
故 f(x)在 R 上为增函数. (3)解:∵f(ax-2)+f(x-x2)<3, 即 f(ax-2)+f(x-x2)-1<2, ∴f(ax-2+x-x2)<2. ∵f(1)=2, ∴f(ax-2+x-x2)<f(1). 又 f(x)在 R 上为增函数, ∴ax-2+x-x2<1. ∴x2-(a+1)x+3>0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立. 令 g(x)=x2-(a+1)x+3, 当
+1 2

≤1,即 a≤1 时,由 g(1)>0,得 a<3,

∴a≤1;

+1 2

>1,即 a>1 时,由 Δ<0,即(a+1)2-3×4<0,得-2 3-1<a<2 3-1,

∴1<a<2 3-1.
综上,实数 a 的取值范围为(-∞,2 3-1). 22. 导学号 29900063(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4),对任意 x 满足 f(3-x)=f(x),且有最小值4.
7

(1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)-(2t-3)x 在区间[0,1]上的最小值,其中 t∈R; (3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的取值范围. 解:(1)由题意知二次函数图象的对称轴为 x=2,最小值为4, 可设 f(x)=a - 2
3 2 3 7

+ 4(a≠0).
3 2

7

因为 f(x)的图象过点(0,4),则 a 0- 2 所以 f(x)= - 2
3 2

+ 4=4,解得 a=1,

7

+ 4=x2-3x+4.

7

(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4 =(x-t)2+4-t2, 其图象的对称轴为 x=t. 当 t≤0 时,函数 h(x)在区间[0,1]上是增函数,所以 h(x)的最小值为 h(0)=4; 当 0<t<1 时,函数 h(x)的最小值为 h(t)=4-t2; 当 t≥1 时,函数 h(x)在区间[0,1]上是减函数,所以 h(x)的最小值为 h(1)=5-2t. 4, ≤ 0, 所以 h(x)min= 4- 2 ,0 < < 1, 5-2, ≥ 1. (3)由已知得 f(x)>2x+m 在区间[-1,3]上恒成立,

∴m<x2-5x+4 在区间[-1,3]上恒成立, ∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).
令 g(x)=x2-5x+4,

∵g(x)=x2-5x+4 在区间[-1,3]上的最小值为-4, ∴m<-4.
故实数 m 的取值范围为 m<-4.
9 9

9


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