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飞行管理问题


090501618

应数六班

刘冠

一.摘要
本文从实际问题出发, 将飞机碰撞模型抽象为平面几何问题。 并利用 最值条件,得出碰撞的充要条件,并用计算机求出其最优调节幅度。

二 .模型假设
1.不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 km. 2.飞机飞行方向角调整的幅度不

应超过 30 °. 3.所有飞机飞行均为每小时 800 km. 4.进入该区域的飞机在到达该区域边缘时,与区域内的距离在 60 km 以上. 5.最多需要考虑 6 架飞机. 6.不必考虑飞机离开此区域后的状况. 7.飞机调整方向角后,不受偏转弧度的影响. 8.每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向飞出区域外 . 9.新进入的飞机在进入区域的瞬间,不考虑计算机记录的时间间隔飞机所飞行 的距离(即该时间间隔忽略不计). 10.每架飞机都视为质点 .

三.符号说明
Ai dij
αi

表示第 i 架飞机 两架飞机的初始距离 Ai 调后的角度 Ai 未调前的角度 Ai 调节的幅度
两架飞机连线与 X 轴的交角
1/2

θi Δθi θij dij=[ (Xi-Xj)2+(Yi-Yj)2] αi= θi+Δθi-θij

四 .模型的建立与求解
如图所示为任意两架飞机调后的方位图

分析: 设 Ai B= d i , AjB= d j . B 点为两飞机飞行路线的交点,在 d j 上取一点 C ,使 得 d i =Aj C 。 Aj 过 C 点后, Ai 过 B 点。图中虚线 H i H j 表示两飞机过了 B 、C 点之 后的中心连线。β=π +α i-αj 由平面几何可证得:当 BH i = BH j = a 时,H i H j 有最小值 又∵|H j C|=| H i B|(飞机速度相同) ,过 B 作 BG⊥H iH j 交 H i H j 于 G 点 则两飞机不碰撞的充要条件为 |H i G|>4 由几何关系得 |H i G| = | H i B| |cos( )| ,当|H i H j|取最小值时有

|H i B| = | H j B| = |

| = a

由几何关系得

a = d ij |

|

得两飞机不碰撞条件为 d ij |

|·|

| >4

| => =>|

|>

如图:现在来证明为什么当 |H i H j |取最小值时,H i 一定出现在过 B 点后而不出 现在过 B 点前。 设|Ai B|= d i , |AjB|= d j . dj ≥ di 则设在时间 t 后,两飞机都飞行了 x . [ d i , d j ,α,β调整后都是确定的] 则有| H i H j |2 = H( x ) = ( d i -x ) 2 +( d j-x ) 2 -2 ( d i -x ) ( d j-x ) cosα H’( x ) = -2 ( d i-x ) -2( d j-x ) + 2( d j-x ) cosα + 2( d i -x ) cosα 令 H’( x ) = 0 , 得 x = 即 x= H( x ) 取最小值。 如上图位置。 ∵d j ≥ d i 故 x≥d i , 即 H i 在过 B 点后或与 B 点重合,仅当 d i = d j , H i 与 B 重合。

将上述情况推广到 6 个飞机的情况,得到约束条件为 | |> = -θij ,



求 min

把|

|>

改为 matlab 所要的格式

function f=myacos(A) %求出 Ai、A j 连线与 x 轴的夹角 for i=1:6 for j=i+1:6 b=A(i)-A(j); f(i,j)=acos(real(b)/abs(b)); f(j,i)=f(i,j); end end

function f=myfun1(g,p);

%求出“

”中的 “



k=1; for i=1:6 for j=i+1:6 f(k)=g(i)+g(j)-2*p(i,j);

k=k+1; end end

function f=myfun2(d);

%求出“ for i=1:6 for j=i+1:6 f(i,j)= 4/d(i,j); f(j,i)=f(i,j); end end

”中的“8/d(i,j)”

function f=fabs(x); %求出 dij for i=1:6 for j=i+1:6 f(i,j)=abs(x(i)-x(j)); f(j,i)=f(i,j); end end

function [g,cep]=mycon(x); %约束条件 g=[0.0470-abs(cos(x(1)+x(2)+6.9556)); 0.2667-abs(cos(x(1)+x(3)+4.9480)); 0.0444-abs(cos(x(1)+x(4)+3.9856)); 0.1789-abs(cos(x(1)+x(5)+9.0734)); 0.0195-abs(cos(x(1)+x(6)+3.6469)); 0.0419-abs(cos(x(2)+x(3)+3.3291)); 0.0576-abs(cos(x(2)+x(4)+1.6670)); 0.0506-abs(cos(x(2)+x(5)+5.5259)); 0.0333-abs(cos(x(2)+x(6)+3.4558)); 0.0381-abs(cos(x(3)+x(4)+3.5771)); 0.1940-abs(cos(x(3)+x(5)+9.1181)); 0.0185-abs(cos(x(3)+x(6)+3.1524)); 0.0396-abs(cos(x(4)+x(5)+5.6908)); 0.0261-abs(cos(x(4)+x(6)+3.0185));

0.0202-abs(cos(x(5)+x(6)+4.9537))]; cep=[]; function f=myaim(x); %目标函数 f=abs(x(1))+abs(x(2))+abs(x(3))+abs(x(4))+abs(x(5))+abs(x(6));

%主过程 A=[150+140i 85+85i 150+155i 145+50i 130+150i 0+0i]; %因为 matlab 没有直接描述平面坐标的,所以这里用复数表示,方便后面处理 p=myacos(A); G=[243 236 220.5 159 330 52]; G=G/360*2*pi; U=myfun1(G,p) d=fabs(A); l=myfun2(d) %这几行代码运行结果如下

%U 代表的是该“ ”

”不等式的“

%l 代表的是该“

”不等式的“



U= 6.9556 3.7806 3.2084 4.9480 3.4558 3.9856 3.5771 7.3281 7.3728 3.6469 3.1524 3.3291 3.9455

1.6670 3.0185

l= 0 0.0940 0.5333 0.0888 0.3578 0.0390

0.0940 0 0.0837 0.1152 0.5333 0.0837 0 0.0761 0.0888 0.1152 0.0761 0 0.3578 0.1012 0.3881 0.0791 0.0390 0.0666 0.0371 0.0522 些数据代入不等式,就得到约束条件函数如下 %约束条件 % %g=[0.0940-abs(cos((x(1)+x(2)+6.9556)/2)); % 0.5333-abs(cos((x(1)+x(3)+4.9480)/2)); % 0.0888-abs(cos((x(1)+x(4)+3.9856)/2)); % 0.3578-abs(cos((x(1)+x(5)+7.3281)/2)); % 0.0390-abs(cos((x(1)+x(6)+3.6469)/2)); % 0.0837-abs(cos((x(2)+x(3)+3.3291)/2)); % 0.1152-abs(cos((x(2)+x(4)+1.6670)/2)); % 0.1012-abs(cos((x(2)+x(5)+3.7806)/2)); % 0.0666-abs(cos((x(2)+x(6)+3.4558)/2)); % 0.0761-abs(cos((x(3)+x(4)+3.5771)/2)); % 0.3881-abs(cos((x(3)+x(5)+7.3728)/2)); % 0.0371-abs(cos((x(3)+x(6)+3.1524)/2)); % 0.0791-abs(cos((x(4)+x(5)+3.9455)/2)); % 0.0522-abs(cos((x(4)+x(6)+3.0185)/2)); % 0.0403-abs(cos((x(5)+x(6)+3.2084)/2))]; %cep=[];

0.1012 0.3881 0.0791 0 0.0403

0.0666 0.0371 0.0522 0.0403 0%把这

vlb=[-pi/6;-pi/6;-pi/6;-pi/6;-pi/6;-pi/6]; vub=[pi/6;pi/6;pi/6;pi/6;pi/6;pi/6]; x0=[0;0;0.0317;-0.0130;0;0.0317]; %初始值 x0=[0;0;0.0317;-0.0130;0;0.0317];% options=optimset('largescale','off','display','iter'); [x,fval,exitflag,output]=fmincon(@myaim,x0,[],[],[],[],vlb,vub,@mycon,options) %调用 fmincon()函数得到结果如下

x= 0.0000 0.0000 0.0485 0.0000 -0.0000 0.0149

fval = 0.0635 x/pi*180 ans = 0.0025 0.0001 2.7788 0.0004 -0.0009 0.8543 fval/pi*180 ans = 3.6371

六.模型的优点与缺点

优点:这个模型目标函数较为简单,且可以推广到 N 架飞机的情形, 而且也可以推广到轮船相遇的问题,所的解是最优解。

缺点:分析过程的严密性有待加强。


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