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“双曲线及其标准方程”的教学设计 全国二等奖


名称: “双曲线及其标准方程”的教学设计 作者:刘荣锋 地址:江西省赣州市会昌县会昌中学 邮编:342600 邮箱:jhhb2007@163.com

“双曲线及其标准方程”的教学设计 江西省赣州市会昌县会昌中学 刘荣锋 一、教材内容解析 “双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”、“抛物线及其标准方程”是圆锥曲线的三种曲线方程, 三部分在圆锥曲线中的地位相同。它能在不同层次上体现数学中知识的交汇和解题方法的丰富多彩,也因 此备受高考关注。双曲线及其标准方程的概念与椭圆及其标准方程相类似。教材处理也相仿,在知识体系 中两者表现为平行关系,但双曲线却是所有圆锥曲线中学习难度最大的一种。所以在教学中一方面要注意 与已学习过的椭圆进行类比,在类比迁移中找到知识和方法上的相通处;另一方面也要注重其相异点,以 建构起新的数学认知。学好本节课内容是学好圆锥曲线关键之一,对后面能进一步理解掌握由曲线求方程 和由方程讨论曲线性质,从而借助形和数的对应关系,把形的问题转化为数来研究。再把数的研究转化为 形来讨论,能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想,为后面用代数方法研究抛物线提供了必要的工 具和基础。因此本节内容起到一个承上启下的作用。 二、教学目标 (1) 、知识目标: 1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过 程。 2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系。 (2) 、能力目标: 通过“实验观察” 、 “思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、 概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观。 1、在类比及实验中获得双曲线的知识,培养学生合理猜测的能力。 2、在双曲线标准方程的推导中,进一步提高学生的代数运算能力和理性化的数学思维。 3、能根据已知条件,选择恰当形式的双曲线方程解题。 4、加深对类比、求简、分类讨论思想的理解与运用。 (3) 、情感目标: 1、通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学。 2、在教学中渗透“量变产生质变”的辩证唯物主义世界观。 三、教学问题诊断 认知基础: 由于“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”从教材地位、作用以及内容极其相似,在建立双曲 线及其标准方程概念之前,先复习回顾椭圆的定义、标准方程,再提出问题引入概念。 难点或疑点: 定义的剖析与理解( “差的绝对值” 、 “2a 与 2c”的关系) 双曲线的定义,从数学角度上讲语义复杂,学生学习也困难。因此如何分解、组合这个概念的规则, 如何引导学生以适当的次序将新规则的学习与构成它的概念组合起来,如何对这个概念进行精细的加工是 一个挑战。 突破的关键: 通过问题解决以自然进入新的问题情境,将双曲线的表象信息(曲线)加工为言语信息(定义) 。教

师在学生使用信息技术的基础上,通过学生的演示用言语不断引导,用技术支持了教师言语指导线索的可 认同性,辅助教师使学生获得概念的各部细节,支持了教师的主导作用。学生在教师的指导下选择、控制 和推理,行走在教学目标的轨道上 四、教学支持条件 由于轨迹问题通过板画无法达到意想的效果,在教学中,以多媒体教学课件为依托,采用实验探索:通 过实验、演示,观察得出的轨迹是双曲线,用坐标法探求方程。 多媒体课件的介入可以增强课堂的趣味性,能够在动态演示中化解教学难点,有效的解决教学重点

五、教学过程设计 (一)设置情景,引发探究 探究一(概念引入)(数学选修 1-1 习题 2.1 第七题 P47 页) 问题:圆 O 的半径为定长 r,A 是圆内一个定点,P 是圆上任意一点,线段 AP 垂直平分线和半径 OP 相交 于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是什么?为什么?拖动点 A,观察动点 M 的轨迹。 学生活动:拖动点 A,观察点 A 分别在圆内与圆外时轨迹形状的变化,从图形中找出几何特征。

探究结果:点 A 在圆内时为椭圆,满足|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r(常数), 点 A 在圆外时为双曲线, 满足|QA|-|QO|=|QP|-|QO|=|OP|=r(常数) 教学中可能出现的情况: (1)轨迹为双曲线时,其几何关系式可能有同学能发现,如果发现,让学生说明理由;如果没有发现, 教师有必要给出进一步的引导。 (2)可能会有同学提出,当点 A 在圆上时的轨迹是什么?如果有,引导学生动手做实验得结论;如果 没有,教师则因提出让学生思考。 学生初步尝试概括双曲线定义(部分内容,容易忽视“绝对值” “2a 与 2c”的关系。 ) [设计意图:数学教学需要一定问题情景的支撑,恰当的问题情景能激起学生的情感体验,有利于学生 学习兴趣的激发,也有利于学生良好数学观的形成。因此,在教学中,应力求通过恰当问题情景的创设, 让学生产生积极的学习心态,在具体的情景中实现知识的学习。我们以游戏开始,可以激发学生的兴趣, 进而激起他们的研究热情。在这一过程中我们不仅给出了研究目标而且体现了数学建模的过程,即把生活 中的问题转化成纯数学问题,这时学生自然地产生了探究当动点到圆外的轨迹到底是什么的强烈愿望。让 学生在“观察” 、 “思考” 、 “探究”等活动中,自己发现问题、提出问题] 探究二(数学实验)(反思、完善定义) 在双曲线定义中,请同学们思考下面问题: Q1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数 2a 也需要某种限制?为什么? Q2:若 2a=2c,则 M 点的轨迹又会是什么呢?又 2a>2c 呢?(实验二)

?2c ? 2a时, 点M轨迹为双曲线 ? ?2c ? 2a时, 点M轨迹为两射线 探究结果: ? ?2c ? 2a时, 轨迹不存在 ? ?2a ? 0时, 轨迹为线段垂直平分线
所以,轨迹为双曲线,必需限制 2a<2c,且 2a≠0。学生第一次修改定义.(2a<2c,非零常数) 设计意图: 通过类比椭圆定义中的限制条件, 迁移至双曲线中是否成立?让学生大胆猜想, 做实验验证。 借助于计算机,把难以想象的轨迹,变成直观的、运动的轨迹图形,不仅使学生对双曲线有感性认识,而 且加深了对事物内在本质的理解。 探究三(数学实验) Q3:拖动点 M 在左(右)支上运动,MF1―MF2 数值有什么变化?你发现了什么?(实验三) 学生活动:拖动点 P 分别在左、右支上,观察 PF1 –PF2 的数值变化?

探究结果:点 P 分别在左、右支上时,到两定点差的绝对值相等。 学生第二次修改,全面概括定义内容,强调定义中的中心句与关键词(让学生自己找出) ,并与椭圆 的定义进行比较。 ①规范学生的语言描述,提出双曲线定义的书面文字。 ②强调定义的中心句和关键词(让学生自己找出) 。并与椭圆的定义进行比较。 发散思考:平面内一动点到两定点之和为一常数(大于|F1 F2|)的轨迹是椭圆,平面内一动点到两定点之 差的绝对值为一常数(小于|F1 F2|)的轨迹是双曲线,那么,平面内一动点到两定点之积为一常数的轨迹 是什么呢?之商呢? 欣赏:然后教师播放一些典型的双曲线型标志性建筑,让学生欣赏审美,陶冶情操,激发兴趣。 [设计意图:由上述问题情景引出了双曲线定义,顺理成章。教学中处处注重师生之间的互动,注重 学生观察、比较、分析、概括能力的培养,注重反思环节的落实。通过学生亲身实践、主动思维,让学生 在实践中得到体验,在反思中产生感悟,使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。通过让 学生动口参与教学活动,培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力:借助于计算机演示,把难以 想象的点的运动变成直观的运动轨迹,不仅使学生对双曲线的定义有感性的认识,而且加深了对事物内在 本质的理解;同时通过欣赏生活中一些双曲线型建筑,不但加强了学生对双曲线的感性认识,而且使学生 受数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学]

(二) 合作交流,导出方程 1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形) ,让学生认真捉摸坐标系的位置特点(力求使 其方程形式最简单) 。 2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程。 (学生推导,然后教师归纳) 按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程。 双曲线标准方程:焦点在 x 轴上

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

3、探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么双曲线的标 准方程还有哪些形式? 焦点在 y 轴上

y 2 x2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 其中:c2=a2+b2 2 a b
y M

y F2 M x

F1

o

F2

x

o F1

(设计说明:在给出双曲线的第一种标准方程之后,可直接通过对换坐标而得第二种标准方程。 ) 4、观察、归纳,寻找异同: 双曲线的标准方程与图形间的对应关系及它们之间的内在联系。 双曲线与椭圆作一简单对比 定 义 y 新 旧 知 识 对 比 图 形 F1 o M F2 x M o {M||MF1|+|MF2|=2a(>2c)} y F2 F1 x y M F1 o x F2 F2 o F1 {M||MF1|-|MF2||=2a(<2c)} y M x

标 x2 y2 y2 x2 准 ? ? 1 ? ?1 a2 b2 a2 b2 方 (a>b>0) (a>b>0) 程 焦 (0,±c) (±c,0) 点 a、b、 a2=b2+c2 c关 系 注:1.焦点位置与标准方程

x2 y2 ? ?1 a2 b2
(a>0,b>0) (0,±c) c2=a2+b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2
(a>0,b>0) (±c,0)

椭 圆:分母大小焦点位置 双曲线:分母正负焦点位置 2.单支双曲线的表示:限制 x 或 y。

[设计意图:教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流,才能得以深入发展,数学 思想才能变得更加清晰;通过多边合作,又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中,只有在师 生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究双曲线标准方程时,通过师 生的对话交流、密切合作和信息的互动,让学生体验合作交流,类比探究的学习过程,并自觉地建构起双 曲线标准方程的知识系统] (三)练习反馈,巩固提高

1、能根据条件求出双曲线的标准方程 例 1 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-5,0) ,F2(5,0) ,双曲线上的点 P 到 F1 、F2 距离差的 绝对值等于 6,求双曲线标准方程。 变式(1):若两定点为 F1(0,-5),F2(0,5)则轨迹方程如何? 变式(2) :若两定点为|F1F2|=10 则轨迹方程如何? 感悟: ①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:待定系数法。关键是先定形后定量。 (若焦点不定,则要 注意分类讨论的思想。 ) ②本例与变式(1)是在已定的坐标系下直接利用双曲线的标准方程来解决轨迹方程。变式(2)是 在未定坐标系下建立轨迹方程,其目的在于培养学生全面考虑问题的能力。 [设计意图: 以课本例题为本, 既让学生巩固和加深对双曲线及其标准方程的理解, 又使学生在 “练” 的过程中通过反思、感悟,不断调整自己的认识结构和经验结构,完成人的经验自主建构的过程] 2、根据方程,讨论曲线形状。 2 2 例 2 讨论方程 x +ky =4+k(k∈R)表示的曲线。 (实验作先导,理论作后盾)

[设计意图:似曾相识的二次方程将学生已有的知识调动起来,尽管刚学习圆锥曲线的定义,对分类讨论 不熟练,但经过思考、尝试和交流,共同经历了完整认识二次方程与圆锥曲线关系的过程。特别是通过电 脑演示所展现的从量变到质变,给学生的是事物发展的规律,及辩证唯物主义的思想观点。]

(四) 小结与回顾 让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容: 1、双曲线的定义(其本质属性) ;2、双曲线的标准方程(注意二种形式的异同) ; 3、求双曲线标准方程要注意选择方程的形式,以简化计算。 4、主要思想方法有类比思想、数形结合思想及特殊与一般、量变与质变的辩证关系。

[设计意图:引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习,学会内化知 识的方法与经验,促进目标达成。]

参考文献 [1] 丁亿 点评:让数学课堂的动起来。中学数学教学参考 2004,5



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