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广东省罗定中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题


罗定中学 2016 届高三期中检测卷
理科数学
出题:刘家立

2015.11
审题:陈贵昌

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设 A ? {x

| y ? 1 ? x }, B ? { y | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (﹣1,﹢∞) 2.已知复数 z1 ? B. ( ﹣∞,1 ] C. ( ﹣1,1 ] ) D. ? )

1 3 ? i 和复数 z2 ? cos 60? ? i sin 60? ,则 z1 ? z2 为( 2 2
B. ?1 C.

A.1

1 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2


3.已知数列 1, a1 , a2 , 4 成等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 , 4 成等比数列,则 a2b2 的值( A. ?3 B. 3 C. ?6 D. 6

4.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C : 的值( A. 2 ) B.

x2 y 2 则n ? ? 1 的一个焦点 F 到其中一条渐近线的距离 2, m n

2

C. 4

D. 无法确定

5.如果一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形, 俯视图为 正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( ) A.2 B.

3

C.

3 2

D. 3

6.已知 a, b 是两条不同直线, ? 是一个平面,则下列说法正确 的是( ) A.若 a // b .b ? ? ,则 a // ? C.若 a ? ? ,b ? ? ,则 a // b B.若 a // ? ,b ? ? ,则 a // b D.若 a ? b ,b⊥ ? ,则 a // ?

7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中有一个数字被污损,则甲的 平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ( ) A.

7 10

B.

4 5

C.

2 5

D.

9 10

8、右图给出的是计算

1 1 1 1 的 ? ? ? ??? ? 2 4 6 20

值的一个程序框图,其中判断框内应填入 的条件是( )

i ? 10 D. i ? 20 ? 9.若函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2 x 3
A. C. B. 的图象,则只需将 f ( x) 的图象( A.向右平移 C.向左平移 ) B.向右平移 D.向左平移

i ? 10 i ? 20

?
6

个长度单位

? ?
3 3

个长度单位 个长度单位

?

6

个长度单位

10. 已知函数 f ( x) ? x ? t sin x(0 ? t ? 1) ,若 f (log 2 m) ? ? f (?1) ,则实数 m 的取值范围是 ( ) B. (0,1)
2

A. (0, 2)

C. (2, ??)

D. (1, ??)

11.已知直线 l : 2tx ? (1 ? t ) y ? 4t ? 4 ? 0 , 若对于任意 t ? R ,直线 l 与一定圆相切, 则该定圆 的面积为( A. ) B. 2? C. 3? D. 4?
?2016

?

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 2016 f ( ? x) ? f ?( x) 恒成立,且 f (1) ? e 下列结论正确的是( A. f (2016) ? 0 ) B. f (2016) ? e ?2016
2

,则

C. f (2) ? 0

D. f (2) ? e

?4032

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在(

x 2 5 1 - ) 的展开式中 的系数为 2 x x

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y ? 3 的最大值是 ?y ? 0 ?
15.设抛物线 y ? 8 x 上有两点 A, B ,其焦点为 F ,满足 AF ? 2 FB ,则 | AB |? ___________.
2

????

??? ?

16.数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n cos

n? , n ? N ? ,其前 n 项和为 S n ,则 S 2016 ? _________. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且满足: C

sin B ? sin C 2 ? cos B ? cos C . ? sin A cos A (Ⅰ) 证明: b ? c ? 2a ;
(Ⅱ) 如图, 点 O 是 ?ABC 外一点, 设 ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) , O

B

A

OA ? 2OB ? 2 ,当 b ? c 时,求平面四边形 OACB 面积的最大值.

18. (本小题满分 12 分)
* 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? n (n ? N ) .

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ;

(2)令 bn ? an an ? 2

(n ? N * ) , Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求证:

Tn ?

3 2.

19. (本小题满分 12 分) 为了整顿道路交通秩序,我市考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的 态度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据: 处罚金额 x(单位:元) 会闯红灯的人数 y 0 80 5 50 10 40 15 20 20 10

(Ⅰ)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯的概 率的差的绝对值是多少? (Ⅱ)若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上异于 A、 B 的一个动点,DC 垂直于圆 O 所在的平面,

DC ∥ EB , DC ? EB ? 1 , AB ? 4 .
(1)求证: DE ? 平面 ACD ; (2)若 AC ? BC ,求平面 AED 与平面 ABE 所成的 锐二面角的余弦值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? xe ? ln x ? e, (a ? R )
ax

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)设 g ( x) ? ln x ? 数 a 的取值范围。

1 ? e ,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内存在两个零点,求实 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号. 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D , 过点 D 的切线与弦 ?C 的延长线交于点 ? , ?D 交 ?C 于点 F . (I)求证: ?C//D? ;

?C ? ? ? C ,求 ???C . ? ?? ? 若 D , ? , C , F 四点共圆,且 ?
23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C :

? x ? ?3 ? 3t x2 y 2 ? ( t 为参数) . ? ? 1 ,直线 l : ? 4 3 y ? 2 3 ? t ? ?

(I)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; 坐标. 24(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (II)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

(II)设 ? ?1, 0 ? ,若椭圆 C 上的点 ? 满足到点 ? 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的

1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

罗定中学 2016 届高三期中检测卷
一、选择题:1~5:BADCC 参考答案 6~10:CBAAC 11~12 DD

二、填空题:13.__-20___; 14.___-3____; 15.__9_____; 16. 三、解答题:

4 2016 (2 ? 1) _____. 5

17.解: (1)证明:由已知得: cos A sin B ? cos A sin C ? 2sin A ? cos B sin A ? cos C sin A ----2 分

? sin C ? sin B ? 2sin A b ? c ? 2a
----6 分

(4 分) ,

(2)由余弦定理得 c 2 ? 5 ? 4 cos ? 则S ?

----7 分 ,

5 3 ? 5 3 1 3 2 ? 2sin(? ? ) ? ? 1? 2 ? sin ? ? c = sin ? ? 3 cos ? ? 4 3 4 2 4

----10 分

? 0 ? ? ? ? ,当 ? ?

?
3

?

?
2

即? ?

5 3 5? 时, S max ? ? 2. 4 6

----12 分

18. 解: (1)? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? n , a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ?1 ? n ? 1

1 (n ? 2) ,又 a1 ? 1 , n 1 ? an ? (n ? N * ) .……6 分 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ) (2) Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ?1 n n ? 2 1 3 1 1 3 3 ? ( ?? ? ) ? ? ……12 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2
两式相减得 an ? 19. 解:(Ⅰ)由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差是
40 10 3 .---- 4 分 ? ? 200 200 20

(Ⅱ)①设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽选 方法共有 C52 ? 10 种, 满足金额之和不低于 20 元的有 6 种, 故所求概率为 P( A) ? 6分 ②根据条件,X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为
6 3 ? . ---10 5

X P(X) ----10 分
EX ? 5 ?

5
1 10

10
1 10

15
1 5

20
1 5

25
1 5

30
1 10

35
1 10

1 1 1 1 1 1 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? ? 20 ---- 12 分 10 10 5 5 5 10 10

20.解: (1)∵DC⊥面 ABC,∴DC⊥BC, 又∵AB 是 ? O 的直径,∴AC⊥BC AC∩DC=C, AC , DC ? 面 ACD,∴BC⊥平面 ACD 又∵DC//EB,DC=EB,∴四边形 BCDE 是平行四边形, ∴DE//BC ∴DE⊥平面 ACD. ……4 分 (2)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系,

???? ???? AD ? ?2 2, 0,1 , DE ? 0, 2 2, 0 ,…… 6 分 ?? ? 设 平 面 ADE 的 一 个 法 向 量 n1 ? ? x, y , z ? , 则 ?? ? ???? ? ?? ? n ? 1 ? AD ? ?2 2 x ? z ? 0 ,令 x ? 1 得 n1 ? 1, 0, 2 2 …8 分 ? ???? ? ?? ? ?n1 ? DE ? 2 2 y ? 0 ?? ? 设 平 面 ABE 的 一 个 法 向 量 n2 ? ? x, y, z ? , ?? ? ??? ? ?n1 ? AB ? ?2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? , ? ??? ? ? ?? n ? BE ? z ? 0 ? ? 1 ?? ? 令 x ? 1 得 n2 ? ?1,1, 0 ? ,……10 分 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 1 2 , ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ? ?? ? ? 6 n1 ? n2 3 ? 2

则 A 2 2, 0, 0 , D ? 0, 0,1? , B 0, 2 2, 0 , E 0.2 2,1

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

∴所求余弦值为

2 .……12 分 6

21.解: (Ⅰ) y ? f ( x) 的定义域为 (0, ??)

? a ? 1 ,? f ( x) ? xe x ? ln x ? e , f (1) ? 0 (1 分)
? f ?( x) ? ( x ? 1)e x ? 1 , ? f ?(1) ? 2e ? 1 (3 分) x

所以函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (2e ? 1)( x ? 1) (5 分)

(Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? xe ? ln x ? e ? (ln x ?
ax

1 1 x 2 e ax ? 1 在定义域内 ? e) ? xe ax ? ? x x x

存在两个零点,即 x 2 e ax ? 1 ? 0 在 (0, ??) 有两个零点。(6 分) 令 ? ( x) ? x e ? 1, ? ?( x) ? ax e ? 2 xe
2 ax 2 ax ax ax

? xe ax (ax ? 2)

ⅰ.当 a ? 0 时, ? ?( x) ? xe ( ax ? 2) ? 0

? y ? ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增
由零点存在定理, y ? ? ( x) 在 (0, ??) 至多一个零点,与题设发生矛盾。(8 分) ⅱ.当 a ? 0 时, xe (ax ? 2) ? 0 则 x ? ?
ax

2 a

x

2 (0, ? ) a
+ 单调递增

?

2 a
0

2 (? , ??) a

? ?( x)

?
单调递减
2 ax

? ( x)

极大值

因为 ? (0) ? ?1 ,当 x ? ?? , ? ( x) ? ?1 ,所以要使 ? ( x) ? x e ? 1 在 (0, ??) 内有两个零 点,则 ? (? ) ? 0 即可(10 分) 综上:实数 a 的取值范围为 (? 或者用”参变分离”也可以. 22、解: (Ⅰ)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE. …4 分 (Ⅱ)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED 由(Ⅰ)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x, 因为⌒ AC=⌒ BC,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, π 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= , 7 2π 所以∠BAC=2x= . …10 分 7
?x=2cos θ, 23、解: (Ⅰ)C:? (θ 为为参数) ,l:x- 3y+9=0. ?y= 3sin θ

2 a

,得 a 2 ?

4 2 ,又因为 a ? 0 ,所以 ? ? a ? 0 2 e e

2 , 0) .(12 分) e

E C D F

A

B

…4 分

(Ⅱ)设 P(2cos θ, 3sin θ),则|AP|= (2cos θ-1)2+( 3sin θ)2=2-cos θ,

|2cos θ-3sin θ+9| 2cos θ-3sin θ+9 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 3 4 由|AP|=d 得 3sin θ-4cos θ=5,又 sin 2 θ +cos 2 θ=1,得 sin θ= , cos θ=- . 5 5 8 3 3 故P - , . 5 5

(

)

…10 分

24. 解: (1)当 a=2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4 ,
不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ; 2 2

? ?

1? ?

?7 ?

? ?

……………5 分

(2) f ? x ? ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ? x ? ? 1 解集是 ? 0, 2? ,

?a ? 1 ? 0 1 1 ,解得 a=1,所以 ? ?? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? m 2n ?a ? 1 ? 2
所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ?

?1 1 ? ? ? ? 4. ? m 2n ?

……………10 分


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