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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课时作业 2.2.1圆的标准方程]


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课时提升作业(二十二)
圆的标准方程

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.圆 A. C. ,6 , +(y-3)2=6 的圆心和半径分别是( B. D. , ,6 ,半径 r=

) . )

【解析】选 B.易知圆心坐标为 2.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2 过原点,则( A.a2-b2=0 C.a2+b2+r2=0 B.a2+b2=r2

D.a=0,b=0

【解析】选 B.因为圆过原点,所以(0,0)满足方程, 即(0-a)2+(0-b)2=r2, 所以 a2+b2=r2. 3.(2014·泰安高一检测)若点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取 值范围是( A.(-1,1) C. ) B. D.

【解析】选 D.由(5a+1-1)2+(12a)2<1 得

25a2+144a2<1,a2< 所以- <a< .



4.(2014·广州高一检测)已知定点 A(0,-4),O 为坐标原点,以 OA 为直径的圆 C 的方程是( A.(x+2)2+y2=4 C.x2+(y+2)2=4 ) B.(x+2)2+y2=16 D.x2+(y+2)2=16

【解析】 选 C.由题意知, 圆心坐标为 (0, -2), 半径 r=2, 其方程为 x2+(y+2)2=4. 5.(2014·石家庄高一检测)圆(x+2)2+y2=5 关于原点(0,0)对称的圆的方程是 ( A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=25 D.x2+(y+2)2=25 【解析】选 A.圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),所以所求圆的方程为 (x-2)2+y2=5. 【举一反三】本题中圆的方程不变,则其关于 y 轴对称的圆的方程为 ____________. 【解析】圆心(-2,0)关于 y 轴对称的点为(2,0), 所以已知圆关于 y 轴对称的圆的方程为(x-2)2+y2=5. 答案:(x-2)2+y2=5 6.(2014·西安高一检测)已知点 A(5 点 A 与圆(x-1)2+y2=26 的位置关系是( +1, ) )与圆(x-1)2+y2=26,当 0<a<1 时, )

A.A 在圆上 B.A 在圆内 C.A 在圆外 D.A 与圆的位置关系不确定 【解析】选 B.圆心为 M(1,0), |AM|= 又因为 0<a<1,所以 0<26a<26, 所以 0<|AM|< 所以 A 在圆内. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7. (2014·广州高一检测)若点 P(-1, 【解析】因为 P 在圆上,所以(-1)2+( 所以 m2=4,m=〒2. 答案:〒2 8.(2014·南京高一检测)圆心为直线 x-y+2=0 与直线 2x+y-8=0 的交点,且过原 点的圆的标准方程是__________. 【解析】由 所以圆心为(2,4), 半径 r= = . 解得 )在圆 x2+y2=m2 上,则实数 m=________. )2=m2, =r, = = .

所以圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 答案:(x-2)2+(y-4)2=20

9.圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y= x 的距离为____________. 【解题指南】将直线化为一般式,利用点到直线的距离公式求解. 【解析】直线 y= x 可化为 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.求经过点 A(1,4),B(3,-2),且圆心到直线 AB 的距离为 【解题指南】(1)圆心在 AB 的垂直平分线上. (2)r= . 的圆的方程. x-3y=0,圆的圆心为(1,0),所以 d= = .

【解析】设圆心为(a,b),半径为 r. 由题意知 AB 中点为(2,1). ·kAB=-1,所以 a-3b+1=0①, 又(a-2)2+(b-1)2=10②, ①②联立方程组,解得 又 r= = , 或

所以圆的方程为(x+1)2+y2=20 或(x-5)2+(y-2)2=20. 【变式训练】圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0, -2),则圆 C 的标准方程为____________. 【解析】结合题意可知,圆心在直线 y=-3 上, 又圆心在直线 2x-y-7=0 上,故圆心坐标是(2,-3),从而 r2=(2-0)2+(-3+2)2=5, 圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=5.

答案:(x-2)2+(y+3)2=5 11.(2014· 中山高一检测)求圆心在直线 3x-y=0 上, 与 x 轴相切, 且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 的圆的方程.

【解析】设所求圆的圆心为(a,b),半径为 r,依题意得:b=3a 且|b|=r, 圆心到直线 x-y=0 的距离 d= ,

由“r,d,半弦长”构成直角三角形,得 r2-d2=7, 解得:a=〒1, 当 a=1 时,圆心为(1,3),半径为 r=3,所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9; 当 a=-1 时,圆心为(-1,-3),半径为 r=3, 所求圆的方程为(x+1)2+(y+3)2=9; 综上所述,所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9 或(x+1)2+(y+3)2=9.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·济南高一检测)△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1,0),B(3,0),C(3, 4),则该三角形外接圆方程是( A.(x-2)2+(y-2)2=20 B.(x-2)2+(y-2)2=10 C.(x-2)2+(y-2)2=5 D.(x-2)2+(y-2)2= 【解析】选 C.易知△ABC 是直角三角形,∠B=90°,所以圆心是斜边 AC 的中点 (2,2),半径是斜边长的一半,即 r= ,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5. ) )

2.已知圆 C 经过 A(5, 2), B(-1, 4)两点, 圆心在 x 轴上, 则圆 C 的方程是(

A.(x-2)2+y2=13 C.(x+1)2+y2=40

B.(x+2)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=20

【解题指南】根据题意设圆心坐标为 C(a,0),由|AC|=|BC|建立关于 a 的方程, 解之可得 a,从而得到圆心坐标和半径,可得圆 C 的标准方程. 【解析】选 D.因为圆心在 x 轴上, 所以设圆心坐标为 C(a,0), 又因为圆 C 经过 A(5,2),B(-1,4)两点, 所以 r=|AC|=|BC|,可得 可得半径 r= = =2 , = ,解得 a=1,

所以圆 C 的方程是(x-1)2+y2=20. 3.(2014·潍坊高一检测)已知实数 x,y 满足 x2+y2=9(y≥0),则 m= 围是( ) B.- ≤m≤ D.-3≤m≤ 的几何意义是:半圆上的点(x,y)与(-1,-3)连线的斜率, 的取值范

A.m≤- 或 m≥ C. m≤-3 或 m≥ 【解题指南】m=

作出图形,求出直线的斜率即可得解. 【解析】 选 A.由题意可知 m= 的几何意义是: 半圆上的

点(x,y)与(-1,-3)连线的斜率,作出图形,所以 m 的 范围是:m≥ = 或 m≤ =- .

故所求 m 的取值范围是 m≤- 或 m≥ . 4.设 P(x, y)是圆 C(x-2)2+y2=1 上任意一点, 则(x-5)2+(y+4)2 的最大值为( A.6 B.25 C.26 D.36 )

【解析】选 D.(x-5)2+(y+4)2 的几何意义是点 P(x,y)到点 Q(5,-4)的距离的平 方,由于点 P 在圆(x-2)2+y2=1 上,这个最大值是(|QC|+1)2=36. 【误区警示】解答本题误区有二:一是不能理解(x-5)2+(y+4)2 的几何意义;二 是不能把所求距离转化为圆心到定点的距离加半径. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014· 大连高一检测)圆(x-3)2+(y+1)2=1 关于直线 x+2y-3=0 对称的圆的方程 是__________. 【解析】设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1. 由题意得

解得 所以所求圆的方程为 答案: + =1 + =1.

6.(2014·湖北高考)已知圆 O:x2+y2=1 和点 A (-2,0),若定点 B(b,0)(b≠-2) 和常数λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ |MA|,则 (1)b=________. (2)λ =________. 【解析】设 M(x,y),因为 所以(x-b)2+y2=λ2[(x+2)2+y2], 整理得(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2+4λ2=0, 因为圆 O 上的点 M 都有 =λ 成立, =λ ,

所以由 答案:(1)(2)

可求得

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014· 汉中高一检测)平面直角坐标系中有 A(0, 1), B(2, 1), C(3, 4), D(-1, 2)四点,这四点能否在同一个圆上?为什么? 【解题指南】由四点中的三点求出圆的方程,再证明第四个点在圆上. 【解析】 能.设过 A(0, 1), B(2, 1), C(3, 4)的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 将 A,B,C 三点的坐标分别代入有 解得 所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 将 D(-1,2)代入圆的方程等号的左边, (-1-1)2+(2-3)2=4+1=5=r2, 即 D 点坐标适合此圆的方程. 故 A,B,C,D 四点能在同一个圆上. 8. 已知点 A(-2 ,-2) , B(-2 , 6) , C(4 , -2) ,点 P 在圆 x2+y2=4 上运动,求 |PA|2+|PB|2+|PC|2 的最值. 【解析】设 P(x,y),又 x2+y2=4. 则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)4y+68=80-4y. 因为-2≤y≤2,

所以 72≤|PA|2+|PB|2+|PC|2≤88. 即|PA|2+|PB|2+|PC|2 的最大值为 88,最小值为 72.

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