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圆锥曲线和立体几何综合测试


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知平面 ? 与平面 ? 相交,直线 m ? ? ,则 C A. ? 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B. ? 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C. ? 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.

? 内必存在直线与 m 平行,却不一定存在直线与 m 垂直 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是 A. D

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
A

3.抛物线 y ? x2 上到直线 2 x ? y ? 4 的最短距离是

(A)

3 5 5

(B)

4 5 (C) 5

13 5 9 5 (D) 20 20

x2 y 2 4. 若椭圆 2 ? 2 ? 1 ,AA' 为长轴,BB' 为短轴, 为靠近 A 点的焦点, B ' F ? AB , F 若 a b
则此椭圆的离心率为 (A) A

5 ?1 2

(B)

3 ?1 2

(C)

1 2

(D)

2 2

5.双曲线 9 x2 ? 4 y 2 ? ?36 的渐近线方程是 (A) y ? ?

B

2 x 3

(B) y ? ?
2

3 x 2

(C) y ? ?

9 x 4

(D) y ? ?

4 x 9

6. P 为抛物线 ? y ? 2? ? 4?x ? 1?上任意一点, P 为圆心且与 y 轴相切的圆必过定点 M, 若 以 则点 M 的坐标是( A a ) . B ?4,?2? C

?2,?2?

?1,?2?

D

?2,2?

7.方程 3(x ? 1) 2 ? 3( y ? 1) 2 ?| x ? y ? 2 | 表示的曲线是 A、 椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、不能确定 D

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 9.如果椭圆 36 9 A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

8.过点(2,4)作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,这样的直线有 B
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

10.过原点作直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (B ) 4 3
B. ? ??, ? 3 ? ? ? 3 , ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

A. ? ? 3 , 3 ? ? ? 2 2 ? ?
? ?

C. ? ? 3 , 3 ? ? ?
? 2 2 ?

? ? ? ? D. ? ??, ? 3 ? ? ? 3 , ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

11.已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,BB1=1, BD1 与平面 AC 所成的角为θ ,则 cosθ 的值是 ( ) A.

D1 A1 D B1

C1

182 14

B.

14 14

C.

13 13 D. 13 14

C

A B 12. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 P,Q 两点, P,Q 在抛物线准线上的射影为 P1 ,Q1 , 若 则 ?P FQ1 等于 1 A. 45 ? ( B. 60 ? C. 90 ? D. 30 ? )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若 x,y∈R,且 3x2+2y2=6,则 x2+y2 最大值是__2______,最小值是___3_____。 14.已知 A(4,0) ,B(2,2)是椭圆
x 2 y2 ? ? 1 内的点,M 是椭圆上的动点,则|MA|+|MB| 25 9

的最大值是____ 10 ? 2 10 ________。

15. 在三棱锥 P—ABC 中,∠APB=∠APC=∠BPC=60°,则侧棱 PA 与侧面 PBC 所成 的角的大小是
arccos

16. 一个立方体的六个面上分别标有 A、B、C、D、E、F,下图是此立方体的的 两种不同放置,则与 D 面相对的面上的字母是 B .
A D C C E B

3 3

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 16.已知 PA⊥ 矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥ CD; (2)若∠ PDA=45° ,求证 MN⊥ PCD. 面 证明:
P N D C

A B M

(1)取PD中点E , 又N为PC中点, 连NE , 则NE // CD, NE ? 又 ? AM // CD, AM ? ? MN // AE ?

1 CD. 2

1 CD,? AM // NE ,?四边形AMNE为平行四边形 ? 2

PA ? 平面ABCD? CD ? PA ? CD ? 平面ADP? , ?? ?? ? ? CD ? AE.(注 : 或直接用三垂线定理 CD ? 面ABCD ? CD ? AD? AE ? 平面ADP?

(2)当?PDA ? 45? 时, Rt?PAD为等腰直角三角形 则AE ? PD, 又MN // AE,? MN ? PD, PD ? CD ? D ? MN ? 平面PCD.

17.已知椭圆

x2 y2 4 3, ? 2 ? 1 ,其长轴长是短轴长的 2 倍,右准线方程为 x ? 2 3 a b

求该椭圆方程;

18.已知双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 ,求过定点 M(2,2)的弦的中点 P 的轨迹方程。 4

KRY : 4 x2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 0

20.双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,过双曲线右焦点且斜率为 交双曲线于 P, Q 两点,若 OP⊥OQ, |PQ|=4,求双曲线的方程。 KEY: x 2 ?
y2 ? 1. 3

15 的直线 5

19. 在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称,求 k 的取值范围. 析:设 B、C 两点关于直线 y=kx+3 对称,易得直线 BC:x=-ky+m,由 B、 C 两点关于直线 y=kx+3 对称可得 m 与 k 的关系式, 而直线 BC 与抛物线有两交点, ∴Δ >0,即可求得 k 的范围. 解:设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称,直线 BC 方程为 x=-ky+m,代入 y2= 4x,得 y2+4ky-4m=0, 设 B(x1,y1) 、C(x2,y2) ,BC 中点 M(x0,y0) , 则 y0=
y1 ? y 2 =-2k,x0=2k2+m. 2

∵点 M(x0,y0)在直线 l 上, ∴-2k=k(2k2+m)+3. ∴m=-
2k 3 ? 2k ? 3 . k

又∵BC 与抛物线交于不同两点,

∴Δ =16k2+16m>0.
k 3 ? 2k ? 3 <0, k ( k ? 1)( k 2 ? k ? 3) 即 <0,解得-1<k<0. k

把 m 代入化简得

22.

如图,已知 PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D, BC ? CD ? AD ? 1 . (1)令 PD ? x , ?BPC ? ? ,试把 tan ? 表示为 x 的函数,并求其最大值; ( 2 ) 在 直 线 PA 上 是 否 存 在 一 点 Q , 使 得
?B Q C ?B A C ? ?
P

解: (1)为寻求 tan ? 与 x 的关系,首先可以将 ? 转化为 ?PCD ? ?PBD . ∵ PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D,∴ PD ? BD , PD PD x ∴ tan ?PCD ? ? x, tan ?PBD ? ? , DC BD 2 ∴ tan ? ? tan??PCD ? ?PBD? ?
x 2 ? x . x x2 ? 2 1? x ? 2 x?

B C D

A

∵ AD 为 PD 在面 ABD 上的射影,∴ PD ? AD ? 1 ,即 x ? 1 , ∴ tan ? ?

x ? x ?2
2

1 2 x? x
4

?

1 2 2

?

2. 4

即 tan ? 的最大值为 2 ,等号当且仅当 x ?

2 时取得.

(2)由正切函数的单调性可知:点 Q 的存在性等价于:是否存在点 Q 使得

t an ?BQC ? tan?BAC ,

tan ?BAC ? tan ??ACD ? ?ABD ? ?
令 tan ? ?
2

1 , 3

x 1 ? ,解得: 1 ? x ? 2 ,与 x ? 1 交集非空, x ?2 3

∴ 满足条件的点 Q 存在. 21. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y 2 = – x 与直线 y = k ( x + 1 )相交于 A、 两点, 点 O 是 B 坐标原点. (1)求证: OA?OB; (2)当△OAB 的面积等于 10 时, 求 k 的值. 解: (1) 当 k = 0 时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意, ∴k ? 0 由 y = k (x+1)得 x =

y 1 –1 代入 y 2 = – x 整理得: y 2 + y – 1 = 0 , k k

设 A (x 1 , y 1), B (x 2 , y 2) 则 y 1 + y 2 = –

1 , y 1y 2 = –1. k

2 ∵A、B 在 y 2 = – x 上, ∴A (– y1 , y 1 ), B (– y 2 , y 2 ) , 2

∴ kOA·OB = k

y1
2 ( ? y1 )

?

y2 (? y 2 ) 2

=

1 =–1. y1 y 2

∴ OA?OB. (2) 设直线与 x 轴交于 E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| = 1 , S△OAB =

1 1 1 |OE|(| y 1| + | y 2| ) = | y 1 – y 2| = 2 2 2

1 ? 4 = 10 , k2

解得 k = ?

1 . 6


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