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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1椭圆及其标准方程(一)


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2.1.1(一)

2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
【学习要求】 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、
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椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 【学法指导】 通过自己亲自动手尝试画

图, 发现椭圆的形成过程进而归纳出 椭圆的定义,培养观察、辨析、归纳问题的能力. 通过经历椭圆方程的化简, 增强战胜困难的意志并体会数学的 简洁美、对称美,通过讨论椭圆方程推导的等价性,养成扎实 严谨的科学态度.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1(一)

距离的和等于 1.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1,F2 的_______________ 常数(大于|F1F2|) _____________________________ 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆
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焦点 (ellipse).这两个定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离
叫做椭圆的________. 焦距

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1(一)

2.椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上
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焦点在 y 轴上

标准方 程 焦点 a、b、c 的关系

x y 2+ 2=1 (a>b>0) a b

2

2

y2 x2 + =1 (a>b>0) a2 b2

(-c,0)(c,0)
c =a -b
2 2 2

(0,-c)(0,c)
c2=a2-b2

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2.1.1(一)

引言
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在生活中,我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横

截面的外轮廓线、 天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆; 灯光斜照在圆形桌面上,地面上形成的影子也是椭圆形的.在 学习中,椭圆其实比圆更加让我们熟知,无论是数学中的 0, 还是字母中的 O,我们都能看到椭圆的踪影.那么椭圆是怎样 定义的呢?

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探究点一 椭圆的定义

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问题 1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,能 画出椭圆吗?

答案 固定两个图钉,绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的
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关键. 结论: 平面内与两个定点 F1、 2 的距离之和是常数(大于|F1F2|) F 的点的轨迹.两个定点 F1、F2 称为焦点,两焦点之间的距离 称为焦距,记为 2c.若设 M 为椭圆上的任意一点,则|MF1|+ |MF2|=2a.

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问题 2 命题甲: 动点 P 到两定点 A、 的距离之和|PA|+|PB| B =2a (a>0 且 a 为常数);命题乙:点 P 的轨迹是椭圆,且 A、B 是椭圆的焦点,则命题甲是命题乙的
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( B )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 若 P 点的轨迹是椭圆, 则一定有|PA|+|PB|=2a (a>0, 且 a 为常数), 所以命题甲是命题乙的必要条件.

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若|PA|+|PB|=2a (a>0,且 a 为常数),不能推出 P 点的轨迹 是椭圆. 这是因为:仅当 2a>|AB|时,P 点的轨迹是椭圆;
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而当 2a=|AB|时,P 点的轨迹是线段 AB; 当 2a<|AB|时,P 点无轨迹. 所以命题甲不是命题乙的充分条件.

综上可知,命题甲是命题乙的必要不充分条件.

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探究点二 椭圆的标准方程

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问题 1 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭 圆的方程较简单?并写出求解过程.
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答案 (1)如图所示,以经过椭圆两焦点 F1, F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系 xOy.
(2)设点:设点 M(x,y)是椭圆上任意一点,且椭圆的焦点 坐标为 F1(-c,0)、F2(c,0).
(3)列式:依据椭圆的定义式|MF1|+|MF2 |=2a 列方程,并 将其坐标化为 ?x+c?2+y2+ ?x-c?2+y2=2a.①

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(4)化简: 通过移项、 两次平方后得到: 2-c2)x2+a2y2=a2(a2 (a -c2),为使方程简单、对称、和谐,引入字母 b,令 b2=a2 x2 y2 -c2,可得椭圆标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0).② a b
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(5)从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程 ②, 以方程②的解(x, y)为坐标的点到椭圆的两个焦点 F1(-c, 0),F2(c,0)的距离之和为 2a,即以方程②的解为坐标的点都 在椭圆上.由曲线与方程的关系可知,方程②是椭圆的方程, 我们把它叫做椭圆的标准方程.

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问题 2

建系时如果焦点在 y 轴上会得到何种形式的椭圆方

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程?怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上? y2 x2 答案 焦点在 y 轴上,椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b
在椭圆的两种标准方程中,总有 a>b>0.椭圆的两种标准方程 中,如果 x2 项的分母大,焦点就在 x 轴上,如果 y2 项的分母 大,则焦点就在 y 轴上.

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问题 3
答案

椭圆方程中的 a、b 以及参数 c 有什么意义,它们满
椭圆方程中, 表示椭圆上的点 M a

足什么关系?
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到两焦点间距离的和的一半,可借助图 形帮助记忆,a、b、c(都是正数)恰构成 一个直角三角形的三条边,a 是斜边,c 是焦距的一半,叫半焦距.a、b、c 始终满足关系式 a2= b2+c2.

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例 1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且 ?5 3? 经过点? ,- ?,求它的标准方程; 2? ?2 (2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方程,并写 出焦点坐标.

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解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 所以设它的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b
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由椭圆的定义知 ?5 ? 2 ? 3? 2 2a= ? +2?+?- ? ?2 ? ? 2? ?5 ? 2 ? 3? 2 + ? -2?+?- ?=2 10, ?2 ? ? 2? 所以 a= 10.又因为 c=2, 所以 b2=a2-c2=10-4=6. x2 y2 因此,所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6

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x2 y2 方法二 设标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b 9 ? 25 ? 2+ 2=1 依题意得?4a 4b , ?a2-b2=4 ?
?a2=10 ? 解得? 2 ?b =6 ?

.

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6

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x2 (2)方法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时, 设所求椭圆的方程为 2+ a y2 =1 (a>b>0). b2
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∵椭圆经过两点(2,0),(0,1), ?4 0 ?a=2, ?a2+b2=1, ? ∴? 则? ?b=1. ? ? 02+ 12=1, ?a b x2 2 ∴所求椭圆的标准方程为 +y =1; 4 当椭圆的焦点在 y 轴上时, y2 x2 设所求椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b

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∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1), ?0 4 ?a=1, ?a2+b2=1, ? ∴? 则? ?b=2, ? ? 12+ 02=1, ?a b 与 a>b 矛盾,故舍去.

2.1.1(一)

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x2 2 综上可知,所求椭圆的标准方程为 4 +y =1. 焦点坐标为( 3,0),(- 3,0).

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方法二 设椭圆方程为

2.1.1(一)

mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点, 1 ? ?4m=1, ?m= , ? 4 ∴? ∴? ?n=1, ? ?n=1. ? x2 2 综上可知,所求椭圆的标准方程为 4 +y =1.

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焦点坐标为( 3,0),(- 3,0).

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小结

2.1.1(一)

(1)求椭圆的方程,可以利用定义求出参数 a,b,c 其

中的两个量;也可以用待定系数法构造三者之间的关系.但 是要注意先确定焦点所在的位置,其主要步骤可归纳为“先
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定位,后定量”. (2)当焦点位置不确定时, 可设椭圆方程为 mx2+ny2=1 (m>0, n>0,m≠n).因为它包括焦点在 x 轴上(m<n)或焦点在 y 轴 上(m>n)两类情况, 所以可以避免分类讨论, 从而达到了简化 运算的目的.

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跟踪训练 1
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(1)已知中心在原点,以坐标轴为对称轴,椭圆 x2 y2 过点 Q(2,1)且与椭圆 + =1 有公共的焦点,求椭圆的标 9 4 准方程; (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过 P1( 6,1),P2(- 3,- 2)两点,求椭圆的标准方程.

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(1)由已知的椭圆方程知:所求的椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 设方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b x2 y2 由 + =1?c2=5,即 a2-b2=5.① 9 4 4 1 又 Q(2,1)在椭圆上,则 2+ 2=1② a b 由①②解得 a2= 5+5,b2= 5, x2 y2 即所求的椭圆标准方程是 + =1. 5+5 5

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(2)由已知, 设椭圆的方程是 Ax2+By2=1 (A>0, B>0, A≠B), 1 ? A= ?6A+B=1 ? ? 9 ? 故 ?? , ?3A+2B=1 1 ? ?B= 3 ? x2 y2 即所求的椭圆标准方程是 + =1. 9 3

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例2

2.1.1(一)

x2 y2 已知方程 - =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, k-4 k-10

则实数 k 的取值范围为__________. x2 y2 解析 化成椭圆标准形式得 + =1,根据其表示焦 k-4 10-k
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?k-4>0, ? 点在 x 轴上的椭圆,则?10-k>0, ?k-4>10-k, ?

解得 7<k<10.

答案 7<k<10

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小结
2

2.1.1(一)

(1)利用椭圆方程解题时,一般首先要化成标准形式.
2

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?m>0, ? x y (2) + =1 表示椭圆的条件是?n>0, m n ?m≠n; ? ?m>0, ? 的椭圆的条件是?n>0, ?m>n; ? ?m>0, ? 是?n>0, ?n>m. ?

表示焦点在 x 轴上

表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件

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x2 y2 跟踪训练 2 若方程 - 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m m -2 那么实数 m 的取值范围是 A.m>0
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( B )

B.0<m<1 D.m>1 且 m≠ 2

C.-2<m<1

x2 y2 解析 ∵方程 - 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,将方 m m -2
?2-m2>m, ? y x 程改写为 2+ =1,∴有? ?m>0, 2-m m ?
2 2

解得 0<m<1.

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探究点三 例3 椭圆的定义及标准方程的应用 x2 y2 已知椭圆的方程为 + =1,椭圆上有 4 3

2.1.1(一)

一点 P 满足∠PF1F2=90° (如图). 求△PF1F2
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的面积.
解 由已知得 a=2,b= 3,

所以 c= a2-b2= 4-3=1.从而|F1F2 |=2c=2. 在△PF1F2 中,由勾股定理可得|PF2 |2=|PF1 |2+|F1F2|2, 即|PF2|2=|PF1 |2+4.

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又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4, 所以|PF2|=4-|PF1|.
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3 从而有(4-|PF1|) =|PF1| +4.解得|PF1|= . 2 1 1 3 3 所 以△PF1F2 的 面积 S= · 1|· 1F2|= × ×2= , 即 |PF |F 2 2 2 2 3 △PF1F2 的面积是 . 2
2 2

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2.1.1(一)

小结

(1)椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的三角

形称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充 分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知
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识.对于求焦点三角形的面积,结合椭圆定义,建立关于 |PF1|( 或 |PF2 |) 的 方 程 求 得 |PF1|( 或 |PF2|) 的 长 度 ; 有 时 把 |PF1|· 2 |看成一个整体,运用公式|PF1|2 +|PF2|2 =(|PF1 |+ |PF |PF2|)2 -2|PF1|· 2|及余弦定理求出|PF1|· 2|,而无需单独 |PF |PF 求出,这样可以减少运算量. (2)焦点三角形的周长等于 2a+2c.

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跟踪训练 3

2.1.1(一)

x2 y2 已知椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1、 49 24

F2 的连线夹角为直角,则|PF1|· 2|=________. |PF

解析 依题意得 a=7,b=2 6,c= 49-24=5,
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|F1F2 |=2c=10,由于 PF1⊥PF2, 所以由勾股定理得|PF1|2+|PF2 |2=|F1F2 |2, 即|PF1|2+|PF2 |2=100. 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2 |=2a=14, ∴(|PF1 |+|PF2 |)2-2|PF1 |· 2 |=100, |PF 即 196-2|PF1|· 2 |=100. |PF 解得|PF1|· 2 |=48. |PF

答案 48

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2.1.1(一)

x2 1.椭圆 +y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 25
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到另一个焦点的距离为 A.5 B.6 C.7 D.8

( D )

解析 由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 10-2 =8.

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x2 y2 2.若方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实 25-m m+9 数 m 的取值范围是 A.-9<m<25
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( B ) B.8<m<25 D.m>8

C.16<m<25

?25-m>0 ? 解析 依题意有?m+9>0 ?m+9>25-m ? 即实数 m 的取值范围是 8<m<25.

,解得 8<m<25,

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x2 y2 3.椭圆 + =1 的焦距为________. 16 32
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解析 由方程得 a2=32,b2=16, ∴c2=a2-b2=16,∴c=4,2c=8. 答案 8

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x2 y2 4.已知椭圆经过点( 3,0)且与椭圆 + =1 的焦点相同, 4 9 则这个椭圆的标准方程为____________. x2 y2 解析 椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上, c= 9-4= 5, 且 4 9

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故所求椭圆的焦点在 y 轴上,又它过( 3,0),所以 b= 3, x2 y2 故 a2=b2+c2=3+5=8,故椭圆的标准方程为 3 + 8 =1. x2 y2 答案 + =1 3 8

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1. 平面内到两定点 F1, 2 的距离之和为常数, F 即|MF1|+|MF2 | =2a,
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当 2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段 F1F2; 当 2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 2.求解椭圆的标准方程一般有两种方法:可以通过待定系数 法求解,也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置, 可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况 求解;也可设 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免 了分类讨论,达到了简化运算的目的.


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