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山东省2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 数列 理


山东省 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 数 列
一、选择、填空题 1、 (菏泽市 2015 届高三二模)在各项为正数的等比数列{an}中,若 a6=a5+2a4,则公比 q= 2 .

2、 (泰安市 2015 届高三上期末)正项等比数列 ?an ? 的公比为 2,若 a2 a10 ? 16 ,则 a9 的值是 A.8 C.32 B.16

D.64

3、(济宁市 2015 届高三上期末)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ? 2Sn?1 (n ? 2) ,则数 列{ an }的通项公式 an =__ 4、 (青岛市 2015 届高三上期末) 若数列?an ? 的通项公式为 an ?

1

? n ? 1?

2

? n ? N ?,记f ? n ? ? ?1 ? a ??1 ? a ? ...?1 ? a ? ,试通过计算
* 1 2 n

f ?1? , f ? 2? , f ?3? 的值,推测出 f ? n ? ? _________.
5、(滕州市第三中学 2015 届高三)在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等 比数列,则 an ? 6、(淄博市 2015 届高三上期末)在等差数列{ an }中, a15 =33, a25 =66,则 a35 =____

二、解答题 1、 (2015 年山东高考)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 2Sn ? 3n ? 3. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 anbn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

2、(2014 年山东高考)已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等比数 列。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)令 bn = (?1)
n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

3、(2013 年山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1.

1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn ?

an ? 1 ? ? (λ 为常数).令 cn=b2n(n∈N*).求数列{cn}的前 2n

n 项和 Rn.
4、 (德州市 2015 届高三二模)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2n ? n ,等差数列 ?bn ? 的各项为正 实数,其前 n 项和为 Tn , 且T3 ? 15, 又a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ?1 成等比数列. (I)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (II)若 cn ? an ? bn,当n ? 2 时求数列 ?cn ? 的前 n 项和 An . 5、 (菏泽市 2015 届高三二模)设 Sn 是数列{an}(n∈N )的前 n 项和,已知 a1=4,an+1=Sn+3 ,设 bn=Sn n ﹣3 . (Ⅰ)证明:数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)令 cn=2log2bn﹣ +2,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
* n

6、 (青岛市 2015 届高三二模)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正整数的等比数列,且 a1=b1=1, * a13b2=50,a8+b2=a3+a4+5,n∈N . (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)若数列{dn}满足 前 n 项和 Sn. (n∈N ) ,且 d1=16,试求{dn}的通项公式及其
*

7、 (潍坊市 2015 届高三二模) 已知等比数列数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 公比 q ? 0 ,S2 ? 2a2 ? 2 ,

S3 ? a4 ? 2 .
(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式;

2

? log2 an ? n 2 (n ? 2) , n为奇数 ? (Ⅱ)令 cn ? ? , T n 为数列{ cn }的前 n 项和,求 T2 n . ?n , n为偶数 ? ? an
8、(淄博市 2015 届高三三模) 下表是一个有正数组成的数表,数表中各列依次成等差数列,各行 依次成等比数列, 且公比都相等.已知 a1,1 ? 1 ,a2,3 ? 8 ,a3,2 ? 6 . (Ⅰ)求数列 a2,n 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ?

a1,1
a2,1
a3,1

a1,2

a1,3 a2,3
a3,3

a1,4

? ?

? ?

a2,2
a3,2

a2,4
a3,4

a2,n (a2, n ? 1)(a2,n?1 ? 1)

求数列 ?bn ? 的前 n 和 ? (?1)n an,1 ,

?
?

a4,1
?

a4,2
?

a4,3
?

a4,4
?

Sn .
?
9、(莱州市 2015 届高三上期末)已知数列 ?an ? 中, a1 ? a, a2 ? t (常数 t ? 0 ), Sn 是其前 n 项 和,且 Sn ?

n ? an ? a1 ? . 2

(I)试确定数列 ?an ? 是否为等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由; (II)令 bn ?

Sn? 2 Sn?1 ? , 证明: 2n ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 2n ? 3 ? n ? N * ? . Sn?1 Sn? 2
b ?n

10、 (临沂市 2015 届高三上期末) 已知数列 ?an ? 和?bn ? 满足 a1a2 ??? an ? 2 n 且 a1 ? 1, b2 ? b1 ? 2 . (I)求 an与bn ; (II)设 cn ?

, 若 ?an ? 为等比数列,

1 1 ? ? n ? N ? ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . an bn

11 、 (青岛市 2015 届高三上期末)已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,数列 ?bn ? 是等比数列,

b1 ?

1 1 2 , a5 ? 1 恰为 S4与 的等比中项,圆C : ? x ? 2n ? ? y ? Sn 2 b2

?

?

2

? 2n2 ,直线 l : x ? y ? n ,对任

3

意 n ? N ,直线 l 都与圆 C 相切. (I)求数列?an ?, ?bn? 的通项公式; (II)若 n ? 1 时, c1 ? 1 ?

?

1 1 1 1 , n ? 2 时,cn ? ? ?... ? , 1 1 1 1 ?1 ?2 b1 bn ?1 bn ? bn 1
n ?1 2

?cn ? 的前 n 项和为Tn ,求

证:对任意 n ? 2 ,都有Tn ?

12 、( 泰 安 市 2015 届 高 三 上 期 末 ) 若 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 :

S n ? S n ?1 ? S n ? 2 ? 6n 2 ? 2 ? n ? N ? ? .
(I)若数列 ?an ? 是等差数列,求 ?an ? 的通项公式. (II)若 a1 ? a2 ? 1 ,求 S50 .

13 、 ( 济 宁 市 2015 届 高 三 ) 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , a1 ?

3 ,其前 n 项和为 2

S n ? n ? N ? ?,且S 2 , S 4 , S3 成等差数列.
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn =S n ?

1 ? n ? N * ?,求bn 的最大值与最小值. Sn
b ?n

14、(临沂市 2015 届高三)已知数列 ?an ? 和?bn ? 满足 a1a2 ??? an ? 2 n

,若 ?an ? 为等比数列,且

a1 ? 1, b2 ? b1 ? 2 .
(I)求 an与bn ; (II)设 cn ?

1 1 ? ? n ? N ? ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . an bn

15、 (青岛市 2015 届高三) 已知数列 {an } 是等差数列,Sn 为 {an } 的前 n 项和, 且 a10 ? 19 ,S10 ? 100 ;

4

数列 {bn } 对任意 n ? N? ,总有 b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? bn ? an ? 2 成立. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? ( ?1) n

4n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (2 n ? 1) 2

参考答案 一、选择、填空题 2 1、 【解析】 : 解:由 a6=a5+2a4 得,a4q =a4q+2a4, 2 即 q ﹣q﹣2=0,解得 q=2 或 q=﹣1, 又各项为正数,则 q=2, 故答案为:2. 2、C 3、 4、

n?2 2n ? 2

3 5、 2?

n ?1

?n

6、99

二、解答题 1、解: (Ⅰ)由 2Sn ? 3n ? 3 可得 a1 ? S1 ?

1 (3 ? 3) ? 3 , 2

an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2

而 a1 ? 3 ? 31?1 ,则 an ? ?

? 3, n ? 1, n ?1 ?3 , n ? 1.

?1 , n ? 1, ? 3, n ? 1, log 3 an ? ?3 ?? (Ⅱ)由 anbn ? log3 an 及 an ? ? n ?1 可得 bn ? an ?3 , n ? 1. ? n ? 1 , n ? 1. ? ? 3n ?1
1 1 2 3 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 . 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3

5

2 1 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? n 2 n ?1 2 1 3 n ?1 ? ?3 3 ? n ? ? ? ? n n 9 1? 1 3 9 2 2?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n 13 2n ? 1 Tn ? ? 12 4 ? 3n ?1
2、 解:(I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1)
n ?1

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1
3、解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得

?4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ?a1 ? ? 2n ? 1?d ? 2a1 ? 2? n ? 1?d ? 1.
解得 a1=1,d=2. * 因此 an=2n-1,n∈N . (2)由题意知,Tn= ? ?

n , 2n ?1

所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1= ?

n n ?1 n ? 2 ? n ? 2 ? n ?1 . n ?1 2 2 2

6

2n ? 2 ?1? * = (n ? 1) ? ? ,n∈N . 2 n ?1 2 ? 4? ?1?0 ?1?1 ?1?2 ?1?3 ? 1 ? n-1 所以 Rn=0× ? ? +1× ? ? +2× ? ? +3× ? ? +…+(n-1)× ? ? , ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 1 ?1?1 ?1?2 ?1?3 ? 1 ? n-1 ?1?n 则 Rn=0× ? ? +1× ? ? +2× ? ? +…+(n-2)× ? ? +(n-1)× ? ? , 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?
故 cn=b2n= 两式相减得

n ?1

3 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn= ? ? 1+ ? ? 2+ ? ? 3+…+ ? ? n-1-(n-1)× ? ? n 4 ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?

1 ?1? ?? ? n 4 ?4? ?1? ? (n ? 1) ? ? ? = 1 ?4? 1? 4

n

1 1 ? 3n ? 1 ? = ? ? ? , 3 3 ?4? 1? 3n ? 1 ? 整理得 Rn= ? 4 ? n ?1 ? , 9? 4 ?
所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= ? 4 ? 4、

n

1? 9?

3n ? 1 ? ?. 4n ?1 ?

7

5、 【解析】 : 证明: (Ⅰ)∵an+1=Sn+3 , n ∴Sn+1﹣Sn=Sn+3 n 即 Sn+1=2Sn+3 , n+1 n n+1 n ∴Sn+1﹣3 =2Sn+3 ﹣3 =2(Sn﹣3 ) ∴bn+1=2bn…(4 分) 又 b1=S1﹣3=a1﹣3=1, ∴{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, n﹣1 故数列{bn}的通项公式为 bn=2 …(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得:cn=2log2bn﹣ +2=2n﹣ …(8 分)

n

设 M=1+ +

+

+…+

+

…①

则 M= + ①﹣②得: M=1+ + ∴M=4﹣

+

+

+…+

+

…②

+

+ ﹣

+…+ =4﹣

﹣ ,

=2﹣





∴Tn=n(n+1)+

﹣4…(12 分)

6、解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0, 且 ,



解得:

,或



由于{bn}是各项都为正整数的等比数列,所以 从而 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1, (Ⅱ)∵ ∴log2bn+1=n∴ .

…(2 分) …(4 分) ,

两式相除:



由 d1=16, 比数列;

,得:d2=8∴d1,d3,d5,…是以 d1=16 为首项,以 为公比的等

8

d2,d4,d6,…是以 d2=8 为首项,以 为公比的等比数列

…(6 分)

∴当 n 为偶数时, Sn=(d1+d3+…+dn﹣1)+(d2+d4+…+dn) =

…(7 分)

…(9 分) ∴当 n 为奇数时, …(10 分)

Sn=(d1+d3+…+dn)+(d2+d4+…+dn﹣1)n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 Sn=





…(12 分)

7、

9

8、解:(Ⅰ)设第一列依次组成的等差数列的公差为 d , 设第一行依次组成的等比数列的公比为 q(q ? 0) ,
2 2 ? ?a2,3 ? a2,1q ? (1 ? d )q ? 8 ? ?a3,2 ? a3,1q ? (1 ? 2d )q ? 6

则?

………………………………4 分

解得: d ? ?

7 或d ? 1 ,因为等差数列是正数数列,所以 d ? 1 , q ? 2 8

…………5 分

a2,n ? a2,1qn?1 ? 2n
为 an,1 ? a1,1 ? (n ?1)d ? n 所以 bn ?

………………………………6 分(Ⅱ)因 ………………………………7 分

a2,n (a2, n ? 1)(a2,n?1 ? 1)

? (?1)n an,1

?

2n 1 1 ? (?1)n n ? n ? n?1 ? (?1)n n n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

……………………9 分

10

1 1 1 1 1 1 1 Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n ? n ?1 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? (?1) n n 3 3 7 7 15 2 ?1 2 ?1 1 ? 1 ? n ?1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? (?1) n n ………………………………10 分 2 1 n 当 n 为偶数时 S n ? 1 ? n ?1 ? ………………………………11 分 2 2 1 n ?1 当 n 为奇数时 S n ? 1 ? n ?1 ? ………………………………12 分 2 2
9、

10、

11

11、

12

n ?1 设等比数列 {bn } 的公比为 q ,所以 bn ? b1q ?

1 n ?1 q 2

a5 ? 1恰为 S4 与

1 1 的等比中项 a5 ? 9, S4 ? 16 , b2 ? q ,所以 2 b2

1 1 ,解得 q ? ………………………7 分 1 2 q 2 1 n n ?1 所以 bn ? b1q ? ( ) ……………………8 分 2

(9 ? 1)2 ? 64 ? 16 ?

(Ⅱ) n ? 2 时, Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? (1 ? ) ? (

1 2

1 1 1 1 1 1 ? 2)?( 2 ? 2 ? 2 ? 3)? 2 ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2
1

1 1 ? ... ? n ) 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? ... ? n ? n ? n ? ... ? n ………………………10 分 而 n ? 2 时, cn ? n ?1 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 ... ? (
n ?1

1

?

n ?1

?

2n ? (2n ?1 ? 1) ? 1 2n ?1 1 ? n ? 2n 2 2
1 1 1 ? ? ... ? 2 2 2

所以 Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 1 ?

? 1?

n ……………………………12 分 2

说明:本问也可用数学归纳法做.

13

12、

13、

14

14、

15

15、解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,

10 ? 9 ? d ? 100 2 解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 ………………………………………………………3 分
则 a10 ? a1 ? 9d ? 19, S10 ? 10a1 ? 所以 b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? bn ? 2n ? 1 …… ① 当 n ?1 时, b1 ? 3

当n ? 2时, b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? 2n ?1 ……②
①②两式相除得 bn ?

2n ? 1 (n ? 2) 2n ? 1

因为当 n ? 1 时, b1 ? 3 适合上式,所以 bn ? (Ⅱ)由已知 cn ? (?1) 得 cn ? (?1)
n n

4n ? bn , (2n ? 1) 2

2n ? 1 (n ? N ? ) ………………………………6 分 2n ? 1

4n 1 1 ? (?1)n ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 则 Tn ? c1 ? c2 ? c 3 ?? ? cn
16

1 1 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) ………………………7 分 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1
当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? ?1 ? ?? ………………………………………………………………9 分 2n ? 1 2n ? 1
当 n 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? (? ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? ?1 ? ?? ……………………………………………………………11 分 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? , n为偶数 ? ? 2n ? 1 综上: Tn ? ? … ………………………………………………………12 分 ?? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ?

17


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