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高中数学 第一章 等差数列第一课时教案 北师大版必修5


§2.1
教学目标

等差数列(一)

1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些

简单的问题。 3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 教学重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式; 会用公式解决一些简单的问题。 教学难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 教学过程: 创设情境 导入新课

上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等 等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题, 都需要用到有关数列的知识来解决。 今天 我们就先学习一类特殊的数列。 先看下面的问题: 为了使孩子上大学有足够的费用,一对夫妇从小孩上初一的时候开始存钱,第一次存了 5000 元,并计划每年比前一年多存 2000 元。若小孩正常考上大学,请问该家长后 5 年每年 应存多少钱? 引导学生行先写出这个数列的前几项:7000,9000,11000,13000,15000 观察这个数列项的变化规律,提出生活中这样样问题很多,要解决类似的问题,我们有 必要研究具有这样牲的数列——等差数列 师生互动 新课探究 像这样的数列你能举出几个例子吗? 0,5,10,15,20,…… ① 48,53,58,63 ② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 3,3,3,3,3,…… ④

看这些数列有什么共同特点呢?(由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;

对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 0 ; 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点) 。 归纳总结 形成概念 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特 征,尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列, 它们的公差依次是 5,5,-2.5,0。 注意:从第二项起 ,后一项减去前一项的差等于同一个常数 。 ..... ..... 1.名称:等差数列,首项 (a1 ) , 公差 ( d ) 2.若 d ? 0 则该数列为常数列

3.寻求等差数列的通项公式:

a 2 ? a1 ? d a3 ? a 2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d a 4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d ????
由此归纳为

an ? a1 ? (n ? 1)d

当 n ? 1 时 a1 ? a1 (成立)

选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: (迭加法) : {an } 是等差数列,所以

an ? an?1 ? d ,
…… 所以

an?1 ? an?2 ? d ,
两边分别相加得

an?2 ? an?3 ? d ,

a2 ? a1 ? d ,

an ? a1 ? (n ? 1)d ,

an ? a1 ? (n ? 1)d

(迭代法) : {an } 是等差数列,则有:

an ? an?1 ? d ? an?2 ? d ? d ? an?2 ? 2d ? an?3 ? d ? 2d ? an?3 ? 3d … ? a1 ? (n ? 1)d
所以 注意:

a n ? a1 ? (n ? 1)d

(1)在 an ? a1 ? (n ? 1)d 中 n ,an ,a1 ,d 四数中已知三个可以求出另一个(方程思想) 。 (2)由上述关系还可得: an ? am ? (n ? m)d (3)若 ?an ? 是等差数列,且 k , l , m, n ? N ? , k ? l ? m ? n ,则 ak ? al ? am ? an 特例: (1) an?k ? an?k ? 2an 三、例题: 例 1:判断下面数列是否为等差数列. (1) an ? 2n ? 1 (2) an ? (?1) n (2) a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? .....

例 2:已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1, d ?

2 ,求通项公式 an .

例 3: (1)求等差数列 9,5,1,……的第 10 项 (2)已知在等差数列 ?an ? , an ? 4n ? 3 ,求首项 a1 和公差 d 例 4:已知在等差数列 ?an ? 中, a5 ? ?20, a20 ? ?35,求通项公式 an . 注意在 an ? a1 ? (n ? 1)d 中 n , an , a1 , d 四数中已知三个可以求出另一个。 五、小结: 1、等差数列的定义 an?1 ? an ? d 2、掌握推导等差数列通项公式的方法 3、等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 六、课堂练习 1、求等差数列宁主义,7,11,……的第 4 项与第 11 项 2、100 是不是等差数列 2,9,16,……的项,如果是,是第几项,如果不是,说明原因 作业:P19 习题 1—2A 组第 2、7 题

an ? am ? (n ? m)d


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