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湖南省长沙市同升湖实验学校2016届高三上学期第二次月考数学试题(理科)


2015-2016 学年湖南省长沙市同升湖实验学校高三(上)第二次月 考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每题给出的四个选择项中,只有 一个是符题目要求的. 1.函数 y= 的定义域是( ) D.[﹣1,2)∩(2,+∞)

A. (﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) 2.已知 i 是虚数单位,则复数

A.﹣ ﹣ i B.﹣ + i
x

C. (﹣1,2)∪(2,+∞) =( ) D. + i

C. ﹣ i

3.判断方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 4.命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是( ) 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B.若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C.若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1
2

5. 已知△ ABC 和点 M 满足 A.2 6.已知 A. B. B.3 C.4 D.5 ,则 C. D.

. 若存在实数 m 使得

成立, 则 m= (



=(



7.若函数 y=2cos(2x+φ)是偶函数,且在(0, A.﹣ B.0 C. D.π

)上是增函数,则实数 φ 可能是(



8.由曲线 y= A. B.4

、直线 y=﹣x+2 及 x 轴所围成的图形的面积为( C. D.6



9.若 O 是△ ABC 所在平面上一点,且满足 为( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 10.若非零实数 x,y,z 满足 2 =3 =6 ,则
x y z

,则△ ABC 的形状

∈(



A. (5,6) B. (4,5) C. (3,4) D. (2,3)

11.已知函数 f(x)=

(a>0)在[1,+∞)上的最大值为

,则 a 的值为(



A.

﹣1

B.

C.

D.

+1

12.在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 取值范围为( A. (0, ) , ) C. (0, ] D.[ , )



,则 B 的

] B.[

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.A,B 是两个集合,A={y|y=x ﹣2015},B={2015,y},其中 y∈A,则 y 的取值集合 是 .
2

14.若函数 f(x)=
2

sin(ωx﹣

) ) (ω>0)的最小正周期为

,则 f(

)=



15.点 P 是曲线 x ﹣y﹣2ln 是 . 16. 若函数 ( f x) =m﹣

=0 上任意一点,则点 P 到直线 4x+4y+1=0 的最短距离

的定义域为[a, b], 值域为[a, b], 则 m 的取值范围是



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (10 分) (2014?邳州市校级模拟)已知 =(sinα,1) , =(cosα,2) ,α∈(0, (1)若 ? = ,求 sinα﹣cosα 的值; ) .

(2)若 ∥ ,又 β 为锐角,且 tanβ= ,求 α+β 的值.

18. (12 分) (2015 秋?长沙校级月考) 在锐角△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已 知 sin(A﹣B)=cosC. (Ⅰ)若 a=3 ,b= ,求 c; (Ⅱ)求 的取值范围.

19. (12 分) (2015 秋?长沙校级月考)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值; (2)在线段 BC1 上确定一点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.

20. (12 分) (2015 秋?长沙校级月考)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) . (1)若函数 f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(﹣∞,2],上是减函数,且对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1) ﹣f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围. 21. (12 分) (2014?武汉模拟)如图,矩形 ABCD 中,|AB|=2 ,|BC|=2.E,F,G,H 分别 是矩形四条边的中点,分别以 HF,EG 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,已知 =λ , =λ ,其中 0<λ<1. +y =1 上;
2

2

(Ⅰ)求证:直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ:

(Ⅱ)若点 N 是直线 l:y=x+2 上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2 分别为椭圆 Γ 的左、右 焦点,直线 NF1 和 NF2 与椭圆 Γ 的交点分别为 P、Q 和 S、T.是否存在点 N,使得直线 OP、 OQ、OS、OT 的斜率 kOP、kOQ、kOS、kOT 满足 kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点 N 的 坐标;若不存在,请说明理由.

22. (12 分) (2013 秋?武昌区期末)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x 的最大值为 0,其中 a>0. (1)求 a 的值; 2 (2)若对任意 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≥kx 成立,求实数 k 的最大值; (3)证明: .

2015-2016 学年湖南省长沙市同升湖实验学校高三(上) 第二次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每题给出的四个选择项中,只有 一个是符题目要求的. 1.函数 y= 的定义域是( )

A. (﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) C. (﹣1,2)∪(2,+∞) D.[﹣1,2)∩(2,+∞) 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由对数式的真数大于 0,分式的分母不等于 0 联立不等式组得答案. 【解答】解:由 ,解得 x>﹣1 且 x≠2.

∴函数 y=

的定义域是(﹣1,2)∪(2,+∞) .

故选:C. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题.

2.已知 i 是虚数单位,则复数 A.﹣ ﹣ i B.﹣ + i

=(

) D. + i

C. ﹣ i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:复数 故选:A. = = =﹣ ﹣ .

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题. 3.判断方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】探究型. 【分析】设函数 f(x)=e ﹣x﹣2,根据根的存在性定理进行判断即可. x 【解答】解:设 f(x)=e ﹣x﹣2,则 f(0)=1﹣2=﹣1<0, 2 f(1)=e﹣1﹣2=e﹣3<0,f(2)=e ﹣4>0, 所以根据根的存在性定理,在区间(1,2)上函数 f(x)存在一个零点, 即方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间是(1,2) . 故选 C. 【点评】本题主要考查根的存在性定理的应用,利用根的存在性定理主要判断区间端点处的 符号相反即可. 4.命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是( ) 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B.若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C.若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 【考点】四种命题. 【分析】根据逆否命题的定义,直接写出答案即可,要注意“且”形式的命题的否定. 2 【解答】解:原命题的条件是““若 x <1”,结论为“﹣1<x<1”, 2 则其逆否命题是:若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1. 故选 D. 【点评】 解题时, 要注意原命题的结论“﹣1<x<1”, 是复合命题“且”的形式, 否定时, 要用“或” 形式的符合命题.
2 x x x

5. 已知△ ABC 和点 M 满足 A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】向量的加法及其几何意义. 【分析】解题时应注意到 【解答】解:由 则 所以有 = ,故 m=3,

. 若存在实数 m 使得

成立, 则 m= (



,则 M 为△ ABC 的重心. 知,点 M 为△ ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点, = ,

故选:B. 【点评】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理.

6.已知

,则

=(



A.

B.

C.

D.

【考点】导数的运算. 【专题】计算题. 【分析】 对( f x) 进行求导, 再将 x= 【解答】解:∵ , 代入 f( ′ x) , 进行求解, 从而求出 ;

∴f′(x)=﹣

×cosx+



∴f′(

)= ﹣

×cos

+

=﹣



∵f(π)= ∴

=﹣

, =﹣ ﹣ =﹣ ,

故选 D; 【点评】此题主要考查导数的运算,解决此题的关键是能否对 f(x)进行求导,是一道基础 题;

7.若函数 y=2cos(2x+φ)是偶函数,且在(0, A.﹣ B.0 C. D.π

)上是增函数,则实数 φ 可能是(



【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;余弦函数的奇偶性;余弦函数的单调 性. 【专题】计算题. 【分析】依次把选项中的值代入函数表达式,判断函数的奇偶性,或者单调性,即可判断选 项的正误,得到结论即可. 【解答】解:依次代入检验知,φ=﹣ φ=0,在(0, φ= ,函数是奇函数,A 不正确;

)上函数是减函数 B 不正确;

时,函数的奇函数,C 不正确; )上是增函数.正

当 φ=π 时,函数 y=2cos(2x+π)=﹣2cos2x,此时函数是偶函数且在(0,

确. 故选 D 【点评】本题是基础题,考查三角函数的基本性质,单调性,奇偶性,回代检验是解选择题 常用方法.

8.由曲线 y= A. B.4

、直线 y=﹣x+2 及 x 轴所围成的图形的面积为( C. D.6



【考点】定积分在求面积中的应用. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线 y= 、直线 y= ﹣x+2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 【解答】解:联立方程 因此曲线线 y= S= + 得到两曲线的交点(1,1) ,

、直线 y=﹣x+2 及 x 轴所围成的图形的面积为: = + = .

故选:C. 【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考 查学生的转化与化归能力和运算能力,考查学生对定积分与导数的联系的认识,求定积分关 键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题. 9.若 O 是△ ABC 所在平面上一点,且满足 ,则△ ABC 的形状

为( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【考点】向量的模;向量在几何中的应用. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】根据两个向量的模相等,把向量应用向量的减法运算进行整理,把两个向量的和应 用平行四边形法则运算,得到平行四边形的两条对角线相等,是矩形,得到直角三角形. 【解答】解:∵ ∴| |=| + |, ,

以线段 AB 和 AC 为邻边画出平行四边形, 则 ∵| |=| 等于起点为 A 的平行四边形的对角线, |=| + |,

∴平行四边形的两条对角线相等, ∴平行四边形是矩形, ∴∠BAC 是直角, ∴△ABC 是直角三角形, 故选 B.

【点评】向量是数形结合的典型例子,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运 算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题,好多问题都是以向量为载体的.
x y z

10.若非零实数 x,y,z 满足 2 =3 =6 ,则

∈(



A. (5,6) B. (4,5) C. (3,4) D. (2,3) 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】设 2 =3 =6 =k≠1,利用换底公式可得:x= = 【解答】解:设 2 =3 =6 =k≠1, 则 x= ,y= ,z= .
x y z x y z

,y=

,z=

.于是

, 再利用基本不等式的性质、 对数函数的单调性即可得出.



=

=

=2+

>2+2=4,

另一方面:

=

=

lg6<

=3+2=5.



∈(4,5) .

故选:B. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、对数换底公式、基本不等式的性质,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.

11.已知函数 f(x)=

(a>0)在[1,+∞)上的最大值为

,则 a 的值为(



A.

﹣1

B.

C.

D.

+1

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】分类讨论;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】对函数 f(x)= (a>0)进行求导,讨论 a 研究函数在[1,+∞)上的单调性,

而求出最大值,即可得到 a 的值. 【解答】解:f(x)的导数为 f′(x)= ,

当 a>1 时,x> 时,f′(x)<0,f(x)单调减, 当 1<x< 时,f′(x)>0,f(x)单调增,

当 x=

时,f(x)取得最大值

=



解得 a= <1,不合题意; 当 a=1 时,f(x)在[1,+∞)递减,f(1)最大,且为 ,不成立; 当 0<a<1 时,f(x)在[1,+∞)递减,f(1)最大, 即 f(1)= = ,解得 a= ﹣1,

故选 A. 【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题,注意运用分类讨论的思想方法, 属于研究最值问题的中档题.

12.在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 取值范围为( A. (0, ) , ) C. (0, ] D.[ , )



,则 B 的

] B.[

【考点】余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】把已知的不等式化边为角、化弦为切,得到 tan B≥tanAtanC,由不等式中的等号成立 求出 B 的范围,结合选项求得答案. 【解答】解:在锐角△ ABC 中,由 , ∴tan B≥tanAtanC, 2 由 tan B=tanAtanC,可知 tanA、tanB、tanC 成等比数列, 设公比为 q, 则 ,
2 2



,得

∴tanB=﹣tan(A+C)=﹣ ∴ ∴tanB≥ ,B (q>0) , . ≥

=



结合选项可知,满足

的 B 的取值范围为[



) .

故选:D. 【点评】本题考查三角形的解法,考查了等比数列性质的应用,利用“≥”中的“=”成立是解答该 题的突破口,属选择题中难度较大的问题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. A, B 是两个集合, A={y|y=x ﹣2015}, B={2015, y}, 其中 y∈A, 则 y 的取值集合是 {y|y≥ ﹣2015,且 y≠2015} . 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】集合. 【分析】先求出集合 A={y|y≥﹣2015},集合 B 含两个元素 2015,y,根据集合元素的互异性 即可得出 y 的取值集合. 【解答】解:A={y|y≥﹣2015},B={2015,y}; ∴根据集合元素的互异性,y≥﹣2015,且 y≠2015; ∴y 的取值集合为{y|y≥﹣2015,且 y≠2015}. 故答案为:{y|y≥﹣2015,且 y≠2015}. 【点评】考查描述法、列举法表示集合,二次函数的值域,以及集合元素的互异性.
2

14.若函数 f(x)=

sin(ωx﹣

) ) (ω>0)的最小正周期为

,则 f(

)= 0 .

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据周期的定义求出 ω 的值,再代入求出函数值. 【解答】解:f(x)= ∴T= ∴ω=4, ∴f(x)= ∴f( )= sin(4x﹣ sin(4× ) ) , ﹣ )=0, = , sin(ωx﹣ ) ) (ω>0)的最小正周期为 ,

故答案为:0. 【点评】本题考查了三角函数的周期和函数值的求法,属于基础题.
2

15.点 P 是曲线 x ﹣y﹣2ln

=0 上任意一点,则点 P 到直线 4x+4y+1=0 的最短距离是

(1+ln2) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;两条平行直线间的距离. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】 由题意知, 当曲线上过点 P 的切线和直线 4x+4y+1=0 平行时, 点 P 到直线 4x+4y+1=0 的距离最小.求出曲线对应的函数的导数,令导数值等于﹣1,可得切点的坐标,此切点到直 线 4x+4y+1=0 的距离即为所求. 2 【解答】解:点 P 是曲线 y=x ﹣2ln 上任意一点, 当过点 P 的切线和直线 4x+4y+1=0 平行时, 点 P 到直线 4x+4y+1=0 的距离最小. 直线 4x+4y+1=0 的斜率等于﹣1, 令 y=x ﹣2ln
2

的导数 y′=2x﹣ =﹣1,

解得,x=﹣1(舍去) ,或 x= , 故曲线 y=x ﹣2ln
2

上和直线 4x+4y+1=0 平行的切线

经过的切点坐标( , +ln2) ,

则切点到直线 4x+4y+1=0 的距离等于 故点 P 到直线 4x+4y+1=0 的最短距离为 故答案为: (1+ln2) . (1+ln2) .

=

(1+ln2) .

【点评】本题考查导数的几何意义:曲线在该点处的切线的斜率,考查点到直线的距离,以 及切线到直线的距离最短,属于中档题. 的定义域为[a,b],值域为[a,b],则 m 的取值范围是 (﹣ ,

16.若函数 f(x)=m﹣

﹣2] . 【考点】函数的定义域及其求法;函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数单调性的性质转化为一元二次函数进行求解即可. 【解答】解:函数的定义域为[﹣3,+∞) , 则函数 f(x)在[a,b]上为减函数, 则 ,





即 m=b+ ①,且 m=a+ ,② 即 b+ =a+ , 则 ﹣ =a﹣b=(a+3)﹣(b+3)=( ﹣ ) ( + 则 + =1 ①+②得 2m=a+b+ + =a+b+1, 2 2 2 设 p= ,q= ,则 p+q=1,a=p ﹣3,b=q ﹣3=(1﹣p) ﹣3, 代入得 m= =p ﹣p﹣2=(p﹣ ) ﹣ ,
2 2

) ,

∵p+q=1,且 p,q 为非负数,则 0≤p≤1, ∴由二次函数的值域可得,当 p= 时,q= ,与 a<b 矛盾, m 取不到最小值﹣ , 当 p=0 或 1 时,m 取得最大值﹣2,

故 m 的取值范围是(﹣ ,﹣2], 故答案为: (﹣ ,﹣2] 【点评】本题主要考查函数定义域和值域的应用,根据条件转化为一元二次函数是解决本题 的关键.综合性较强,难度较大. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (10 分) (2014?邳州市校级模拟)已知 =(sinα,1) , =(cosα,2) ,α∈(0, (1)若 ? = ,求 sinα﹣cosα 的值; ) .

(2)若 ∥ ,又 β 为锐角,且 tanβ= ,求 α+β 的值. 【考点】两角和与差的正切函数;平行向量与共线向量;平面向量数量积的运算;两角和与 差的正弦函数;二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值;平面向量及应用. 【分析】 (1) 由条件利用两个向量的数量积公式、 两个向量垂直的性质, 求出 sinα﹣csα 的值. (2) 由条件利用两个向量平行的性质求出 tanα= , 可得 tan (α+β) = 结合 α+β 的范围,求得 α+β 的值. 【解答】解: (1)由题意可得
2 2

的值,

=sinαcosα+2=
2

,即



又 sin α+cos α=1,∴(sinα﹣cosα) =1﹣2sinαcosα=1﹣ = . 而 ,∴sinα<cosα,∴sinα﹣csα=﹣ .

(2)若 ∥ ,则 2sinα﹣cosα=0,∴tanα= .

又 β 为锐角,且 tanβ= ,∴β∈(0,

) ,∴tan(α+β)=

=

=1.

再结合 α+β∈(0,

) ,可得 α+β=



【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量平行、垂直的性质,根据三角函数 的值求角,属于中档题. 18. (12 分) (2015 秋?长沙校级月考) 在锐角△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已 知 sin(A﹣B)=cosC. (Ⅰ)若 a=3 ,b= ,求 c; (Ⅱ)求 的取值范围.

【考点】余弦定理;正弦定理.

【专题】三角函数的求值. 【分析】 (Ⅰ)已知等式右边利用诱导公式化简,根据三角形 ABC 为锐角三角形确定出 B 的 度数,再由 a 与 b 的值,利用余弦定理即可求出 c; (Ⅱ)由 B 的度数求出 A+C 的度数,用 A 表示出 C,代入所求式子,利用两角和与差的正弦 函数公式及正弦定理化简,根据正弦函数的值域即可确定出范围. 【解答】解: (Ⅰ)由 sin(A﹣B)=cosC,得 sin(A﹣B)=sin( ∵△ABC 是锐角三角形, ∴A﹣B= ﹣C,即 A﹣B+C= ,① ﹣C) ,

又 A+B+C=π,② 由②﹣①,得 B=
2 2 2

, ) =c +(3
2 2

由余弦定理 b =c +a ﹣2cacosB,得( 整理得:c ﹣6c+8=0, 解得:c=2,或 c=4,
2

) ﹣2c×3

2

cos



当 c=2 时,b +c ﹣a =( ) +2 ﹣(3 ) =﹣4<0, 2 2 2 ∴b +c <a ,此时 A 为钝角,与已知矛盾,故 c≠2, 则 c=4; (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 B= ∴A+C= ,即 C= , ﹣A, = = = sin (2A

2

2

2

2

2

2

∴利用正弦定理化简得:



) ,

∵△ABC 是锐角三角形, ∴ ∴﹣ ∴﹣ <A< , < , )< <1. 的取值范围为(﹣1,1) . ,

<2A﹣

<sin(2A﹣

∴﹣1< 则

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及正弦函数的值域,熟练掌握定理是解本题的关键. 19. (12 分) (2015 秋?长沙校级月考)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值; (2)在线段 BC1 上确定一点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.

【考点】直线与平面所成的角;空间向量的夹角与距离求解公式. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)以 A 为原点,AC 为 x 轴,AB 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系 A﹣ xyz,利用向量法能求出直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值. (2)设 D(x,y,z)是线段 BC1 上一点,且 线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B.并能求出 (λ∈[0,1]) ,利用向量法能求出在 的值.

【解答】解: (1)∵AA1C1C 为正方形,∴AA1⊥AC. ∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C, ∴AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由已知 AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC. 如图,以 A 为原点,AC 为 x 轴,AB 为 y 轴,AA1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 则 B(0,3,0) ,A1(0,0,4) ,B1(0,3,4) ,C1(4,0,4) , ∴ =(0,3,﹣4) , =(4,0,0) , =(4,﹣3,0) .

设平面 A1BC1 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,令 z=3,则 x=0,y=4,∴ =(0,4,3) .

设直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成的角为 θ, 则 sinθ=|cos< , >|= = = .

故直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 (2)设 D(x,y,z)是线段 BC1 上一点,且 ∴(x,y﹣3,z)=λ(4,﹣3,4) ,

.… 6 分 (λ∈[0,1]) ,

∴x=4λ,y=3﹣3λ,z=4λ,∴ 又 =(0,3,﹣4) ,由

=(4λ,3﹣3λ,4λ) . =0,得 3(3﹣3λ)﹣4×4λ=0,

即 9﹣25λ=0,解得 λ=

∈[0,1]. =λ= . …12 分.

故在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B.此时

【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的证明,是中档题, 解题时要注意向量法的合理运用. 20. (12 分) (2015 秋?长沙校级月考)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) . (1)若函数 f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(﹣∞,2],上是减函数,且对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1) ﹣f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)确定函数的对称轴,从而可得函数的单调性,利用 f(x)的定义域和值域均是[1, a],建立方程,即可求实数 a 的值. (2)可以根据函数 f(x)=x ﹣2ax+5=(x﹣a) +5﹣a .开口向上,对称轴为 x=a,可以推 出 a 的范围,利用函数的图象求出[1,a+1]上的最值问题,对任意的 x∈[1,a+1],总有|f(x1) ﹣f(x2)|≤4,从而求出实数 a 的取值范围. 2 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) ,∴f(x)开口向上,对称轴为 x=a>1,… (2 分) ∴f(x)在[1,a]是单调减函数,…(6 分) 2 ∴f(x)的最大值为 f(1)=6﹣2a;f(x)的最小值为 f(a)=5﹣a …(10 分) 2 ∴6﹣2a=a,且 5﹣a =1 ∴a=2…(14 分) 2 2 2 (2)函数 f(x)=x ﹣2ax+5=(x﹣a) +5﹣a .开口向上,对称轴为 x=a, ∵f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,对称轴大于等于 2, ∴a≥2,a+1≥3, f(x)在(1,a)上为减函数,在(a,a+1)上为增函数, 2 f(x)在 x=a 处取得最小值,f(x)min=f(a)=5﹣a ,
2 2 2 2

f(x)在 x=1 处取得最大值,f(x)max=f(1)=6﹣2a, ∴5﹣a ≤f(x)≤6﹣2a, ∵对任意的 x∈[1,a+1],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4, 2 ∴6﹣2a﹣(5﹣a )≤4,解得:﹣1≤a≤3; 综上:﹣1≤a≤3. 【点评】本题考查二次函数的最值问题,考查函数的单调性,确定函数的单调性是关键,此 题是一道函数的恒成立问题,第二问难度比较大,充分考查了函数的对称轴和二次函数的图 象问题,是一道中档题. 21. (12 分) (2014?武汉模拟)如图,矩形 ABCD 中,|AB|=2 ,|BC|=2.E,F,G,H 分别 是矩形四条边的中点,分别以 HF,EG 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,已知 =λ , =λ ,其中 0<λ<1. +y =1 上;
2 2

(Ⅰ)求证:直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ:

(Ⅱ)若点 N 是直线 l:y=x+2 上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2 分别为椭圆 Γ 的左、右 焦点,直线 NF1 和 NF2 与椭圆 Γ 的交点分别为 P、Q 和 S、T.是否存在点 N,使得直线 OP、 OQ、OS、OT 的斜率 kOP、kOQ、kOS、kOT 满足 kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点 N 的 坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)由已知,得 F( ,0) ,C( ,1) ,R( λ,0) ,R′( ,1﹣λ) ,E(0, ﹣1) ,G(0,1) ,由此求出直线 ER 的方程和直线 GR′的方程,从而能够证明直线 ER 与 GR′ 的交点为 M 在椭圆 Γ 上. (Ⅱ)假设满足条件的点 N(x0,y0)存在,则直线 NF1:y=k1(x+1) ,直线 NF2:y=k2(x ﹣1) ,由 ,求出 kOP+kOQ=﹣ .同理, ,由此能

求出满足条件的点 N 存在,其坐标为(﹣ 【解答】 (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:由已知,得 F( 由 =λ , =λ

) .

,0) ,C(

,1) . ,1﹣λ) .

,得 R(

λ,0) ,R′(

又 E(0,﹣1) ,G(0,1) ,则

直线 ER 的方程为 y= 直线 GR′的方程为 y=﹣

x﹣1,① x+1. ②

由①②,得 M(

) .



=
2



∴直线 ER 与 GR′的交点为 M 在椭圆 Γ:

+y =1 上.

(Ⅱ)解:假设满足条件的点 N(x0,y0)存在, 则直线 NF1:y=k1(x+1) ,其中 ,

直线 NF2:y=k2(x﹣1) ,其中





,消去 y 并化简,得(

)x +4

2

+2k ﹣2=0,

12

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 ∵OP,OQ 的斜率存在,∴x1≠0,x2≠0,∴







∴kOP+kOQ=

=

=2k1+k1?

=

=﹣



同理,得 ∴kOP+kOQ+kOS+kOT =



=﹣2?

=﹣ ∵kOP+kOQ+kOS+kOT=0, ∴﹣



=0,即(k1+k2) (k1k2﹣1)=0,

由点 N 不在坐标轴上,知 k1+k2≠0, ∴k1k2=1,即 又 y0=x0+2,④ 解③④得 , , ) . ,③

∴满足条件的点 N 存在,其坐标为(﹣

【点评】本题考查两直线交点在椭圆上的证明,考查满足条件的点是否存在的判断与求法, 解题时要认真审题,注意直线斜率公式的灵活运用. 22. (12 分) (2013 秋?武昌区期末)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x 的最大值为 0,其中 a>0. (1)求 a 的值; (2)若对任意 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≥kx 成立,求实数 k 的最大值; (3)证明: .
2

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)利用导数判断函数的单调性,得出当 x=1﹣a 处取得最大值,求得 a 值; 2 (2)构造函数 g(x)=f(x)﹣kx ,把恒成立问题转化为求函数的最大值问题,利用导数求 出函数的最大值即可得证; (3)利用(2)的结论,取 k= ,得 f(x)≤ x ,即 f(
2

)=



(i≥2,i∈N*) ,



﹣ln(2n+1)=

f(

)=f(2)+

f(

)<2﹣

ln3+

=2﹣ln3+1﹣

<2,命题得证.

【解答】解: (1)f(x)定义域为(﹣a,+∞) , f′(x)= ﹣1= ,由 f′(x)=0,得 x=1﹣a>﹣a.…(1 分)

当 x 变化时,f′(x) ,f(x)变化情况如下 x (﹣a,1﹣a) 1﹣a (1﹣a,+∞) f′(x) + 0 ﹣ f(x) 增 极大值 减 因此,f(x)在 x=1﹣a 处取得最大值,故 f(1﹣a)=a﹣1=0,所以 a=1.…(3 分) (2)当 k≥0 时,取 x=1,有 f(1)=ln2﹣1<0,故 k≥0 不合题意; 2 2 当 k<0 时,令 g(x)=f(x)﹣kx ,即 g(x)=ln(x+1)﹣x﹣kx ,x∈(﹣1,+∞) 求导函数可得 g′(x)= ﹣1﹣2kx= >﹣1, ,

令 g′(x)=0,可得 x1=0,x2=﹣

当 k≤﹣ 时,x2≤0,g′(x)>0,在(0,+∞)上恒成立, g(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴g(x)≥g(0)=0, 2 ∴对任意的 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≥kx 成立; 故 k≤﹣ 时符合题意. 当﹣ <k<0 时,x2>0,g(x)在(0,﹣ g(x)在(﹣ )上 g′(x)<0,g(x)为减函数;

,+∞)上 g′(x)>0,g(x)增函数; ) ,使得 g(x0)≤g(0)=0,

因此存在 x0∈(0,﹣
2

即 f(x0)≤kx0 ,与题意矛盾; ∴综上:k≤﹣ 时,对任意的 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≥kx 成立, ∴实数 k 的最大值为:﹣ . (3)证明:当 n=1 时,不等式左边=2﹣ln3<2=右边,所以不等式成立 当 n≥2 时, =
2 2

﹣ln(2n+1)

在(2)中,取 k= ,得 f(x)≤ x , ∴f( )= < (i≥2,i∈N*)



﹣ln(2n+1)=

f(

)=f(2)+

f(

)<2﹣

ln3+

=2﹣ln3+1﹣

<2

综上,

<ln(2n+1)+2(n∈N*) .

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性最值等知识,考查分类讨论,转化划归思 想的运用能力,属难题.


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