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2014届上海市浦东新区高三上学期期末质量抽测理科数学试题(含答案解析)


上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测
高三数学试卷(理卷)
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分.

n2 ? 1 ? 2 1. n?? 2n ? n ___________. lim
x ?0 2. 不等式 x ? 1 的解是__

_________.
3.已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________.

tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) =_______. 4.已知 tan ?、
5.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生.为统计三校学生某方面的 情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在甲校抽取的学生数 是___________.

f ( x) ?
6.已知函数 7.已知复数

1 2
x

?1 4x
的反函数为 f
?1

( x) ,则 f ?1 (12) ? ___________.
是 实数,则

z1 ? 2 ? i, z2 ? a ? 3i(a ? R), z1 ? z2

z1 ? z2

=___________.

1 ( x 2 ? )9 x 的展开式中,含 x 3 的项的系数是___________. 8.二项式
9.在锐角 VABC 中, AC ? 4, BC ? 3 ,三角形的面积等于 3 3 ,则 AB 的长为___________. 10. 已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12? ,则圆锥侧面积等于___________. 11. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为社区志愿者,若用随机变量 ? 表示选出 的志愿者中女生的人数,则随机变量 ? 的数学期望 E? =_____(结果用最简分数表示). 13. 用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数,设 A、B、C 为集合,称 ( A, B, C ) 有为有序三元 组.如果集合 A、B、C 满足

A I B = B I C = C I A =1

,且 A I B I C ? ? ,则称有序

三元组 ( A, B, C ) 为最小相交.由集合 的有序三元组的个数为
*

{1, 2,3, 4} 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交

*

* 14. 已知函数 y ? f ( x), x ? N , y ? N ,对任意 n ? N 都有 f [ f (n)] ? 3n ,且 f ( x) 是增函

第 1 页 共 8 页

数,则 f (3) ? 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a, b ? R, a ? b ,则下列不等式一定成立的是( )

(A) a > b 16. 方程 (A) 1

2

2

1 1 < (B) a b

2 (C) a > ab

a b (D) 2 > 2

log 5 x = sin x
(B) 3 (C) 4

的解的个数为( (D) 5



f ( x) ?
17.已知函数

x2 , x2 ?1 则

?1? ?1? ? 1 ? ? 1 ? f ?1? ? f ? 2 ? ? K ? f (2013) ? f ? 2014 ? ? f ? ? ? f ? ? ? L ? f ? ?? f ? ?? ?2? ? 3? ? 2013 ? ? 2014 ?
( )

1 (A) 2010 2

1 (B) 2011 2

1 (C) 2012 2

1 (D) 2013 2

A C
O B

18. 如图所示,点 A, B, C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于

uuu r uur uu u r OC ? mOA ? nOB 圆内一点,若 ,则(
(A) 0 ? m ? n ? 1 ; (C) m ? n ? ?1 ; (B) m ? n ? 1 ;



(D) ?1 ? m ? n ? 0 ;

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , SD ⊥ 平 面

ABCD , SD ? AD ? 2
(1)求证: AC ? SB ; (2)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明, 声音强度 D (分贝)
第 2 页 共 8 页

由公式 D ? a lg I ? b ( a、b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm ) 为声音能量.
2

(1) 当声音强度 量关系式;

D1 , D2 , D3

满足

D1 ? 2D2 ? 3D3

时, 求对应的声音能量

I1 , I 2 , I 3

满足的等

(2)当人们低声说话,声音能量为 10 话,声音能量为 10
?12

?13

W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说

W / cm2 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,

一般人在 100 分贝~120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时, 人会暂时性失聪. 21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)

A(
如图, 设

3 1 , ) 2 2 是单位圆上一点, 一个动点从点 A

y

出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一 周 . 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点 P . 设 O

A x

P ( x, y )















y ? f (t ) ? sin(?t ? ? ) (?

?
2

?? ?

?

) 2 .

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ;

??? ? ??? ? 0 ? t ? 6 AP ? AB (2)若 ,求 的取值范围.
22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

已知 a 为实数,函数

f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 ? a 1 ? x2 1 ? x2 .

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由;

? 2 5 2 5? , ?? ? 5 5 ? ? (3)是否存在小于 0 的实数 a ,使得对于区间 上的任意三个实数 r、s、t ,
都存在以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形,请说明理由.

23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分)

{a } {b } {c } S T U 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N )的数列 n 、 n 、 n 前 n 项的和分别为 n 、 n 、 n .
*

第 3 页 共 8 页

已知集合

{a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } {2, 4, 6, ?, 4k ? 2, 4k} = .
U n ? 2n ? 2 n
,求数列

(1)已知 (2)若

{cn }

的通项公式;

Sn ? Tn ? 2n ? 2n (1 ? n ? k, n ? N *) ,试研究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合条件

的数列对( (3) 若

{an } {bn }


) ,并说明理由; ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对(

an ? bn ? 2n ( 1 ?n?, k n? N )*

{an }



{bn }

)有偶数对.

上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷答案(理卷) 2014.1 一、填空题.

1 1. 2
7. 4 2

2. 0 ? x ? 1 (或 (0,1) ) 8. -126 9.

3. 3n ? 2

4. 1

5. 30

6.

log 2 3

13

10. 15?

4 11. (理) 7
二、选择题 15. D 16. B 三、解答题

12. 1< a <4 17. D 18. B

13. 96

14.6

19.解:(1)连接 BD,∵ SD ⊥平面 ABCD

AC ? 平面 ABCD
∴AC⊥SD ………………4 分 又四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴AC ⊥平面 SBD ∴AC⊥SB. ………………6 分 (2)设 SA 的中点为 E ,连接 DE 、 CE , ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE⊥SA, CE⊥SA. ∴ ?CED 是二面角 C ? SA ? D 的平面角. …………9 分 计算得:DE= 2 ,CE= 6 ,CD=2,则 CD⊥DE.
第 4 页 共 8 页

cos ?CED ?

3 3 ?CED ? arccos 3 , 3

arccos
所以所求二面角的大小为 20.解: (1)

3 3 .………12 分

? D1 ? 2 D2 ? 3D3
…………………………2 分

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I 1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3
? I1 ? I 2 ? I 3
2 3

………………………………………………4 分 …………………………………………………6 分

(2)由题意得

?? 13a ? b ? 30 ? ?? 12 a ? b ? 40 ?a ? 10 ? ?b ? 160

………………………………………8 分

………………………………………10 分

? 100 ? 10 lg I ? 160 ? 120
10 ?6 ? I ? 10 ?4
?6 ?4

………………………………………………………13 分

答:当声音能量 I ? (10 ,10 ) 时,人会暂时性失聪. ………………………………14 分

21、解: (1)当 t ? 2 时,

?AOB ? 2 ?

2? ? ? 12 3 ,

?XOB ?
所以

?
2

所以,点 B 的坐标是(0,1) ……………………………………………………2 分 又 t 秒时,

?XOP ?

?
6

?

?
6

t
………………………………………………………4 分

?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) 6? ?6 . …………………………………………………………6 分
??? ? ? ? 3 1? 3 1? A? , AB ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ? B (0,1) ? ? ? ?, (2)由 , ,得

第 5 页 共 8 页

? ?? ? ?? ?? ?? P ? cos ? t ? ? ,sin ? t ? ? ? 6? 6 ??, ?6 ?6 又 ?
??? ? ? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos t ? ? ,sin t ? ? ? ? ?? ? ? 6 6 2 6 6 ? ? ? ? 2? ? ? ,…………………………8 分

??? ? ??? ? 3 3 ? ? 1 1 ?? ?? ?? ? AP ? AB ? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 6? ?6 ?6

?

1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? 2 6 3? 2 6 ? ………………………………10 分 ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? ? t ? ? ? ? , ? ? sin ? t ? ? ? ? ? ,1? 6 ? 6 6 ?, 6 ? ? 2 ? …………12 分 ?6 ?0?t ? 6, 6
? 3? 0, ? ??? ? ??? ? ? 2? ? AP ? AB 所以, 的取值范围是

………………………………14 分

22、解:易知 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x) 为偶函数.

(1) a ? 1 时,

f ? x? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

………………2 分

x ? 0时

f ? x? ?
f ? x? ?
f ? x?

1 ? x2 1 ? x2 ? 1 ? x2 1 ? x 2 最小值为 2. …………………………4 分
1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
x ? ? ?1, 0?
时,

(2) a ? 1 时,

x ? ? 0,1?

时,

递增;

f ? x?

递减;…………………………6 分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ? ? 0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
1


0 ? x1 ? x2 ? 1

,所以

1? x ? 1? x ? 0
4 1 4 2

,得

1? x

4 1

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1? x
4 1

?

1
4 1 ? x2

?0

所以

x ? ? 0,1?

时,

f ? x?

递增;………………………………………………10 分

2 5 2 5? 1 1 ? x2 ? x ? ? ? , ,? t ? [ ,1] ? y ? t ? a ( 1 ? t ? 1) ? ? t? 5 ? 3 ? 5 1 ? x2 , t 3 (3) ,
第 6 页 共 8 页

1 [ ,1] 2 y ? ymax 从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 3 上,恒有 min .……12 分

当 a ? 0 时,

y?t?

a t ? ? 1 ,1? ? ? t , ? 3 ? 为递增函数.……………………………………14 分

?1 ? 1 2 ? ? 3a ? ? ?1 ? a ? ? 0 a? 3 ? 15 与 a ? 0 矛盾. 由 ? ,得
? 2 5 2 5? , ?? ? 5 5 ? ? 0 a 所以不存在小于 的实数 ,使得对于区间 上的任意三个实数 r、s、t ,都
存在以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形. ……………………………16 分

23、解: (1) n ? 1 时, c1 ? U1 ? 4
n n ?1 n ?1 n ? 2 时, cn ? U n ? U n ?1 ? 2n ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 , c1 ? 4 不适合该式

?4, n ? 1 cn ? ? n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k 故,
(2)

…………………………………………………………4 分

a1 ? b1 ? S1 ? T1 ? 4



n ? 2 时, an ? bn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Tn ? Tn?1 ) ? ( Sn ? Tn ) ? ( Sn?1 ? Tn?1 )
? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1
……………………6 分

a ? b ? 4 a2 ? b2 ? 4 a3 ? b3 ? 6 a4 ? b4 ? 10 当 k ? 4 时, 1 1 , , ,
{a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 } {2, 4, 6, 8,10,12,14,16} =
数列

{an }



{bn }

可以为(不唯一) : …………………8 分

6,12,16,14;2,8,10,4

② 16,10,8,14;12,6,2,4
k ?1

a ? bk ? 2 ? 2 当 k ? 6 时, k

? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (1 ? 1) k ?1

1 2 k ?2 k ?1 ? 2 ? Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ? ? Ck ?1 ? Ck ?1 1 2 2 ? 2 ? 2(Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ) ? k ? k ? 4 ? (k ? 1)(k ? 4) ? 4k ? 4k

此时

ak

不存在. 故数列对(

{an }



{bn }

)不存在.

………………………………10 分

另证:

ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 4k ? 2k ? 8k ? 4
第 7 页 共 8 页

2 ? Ck ? Ck ? Ck ? ? ? Ck 当 k ? 6 时,
k 0 1 2

k ?1

1 ? Ckk ? 2(Ck0 ? Ck ? Ck2 ) ? k 2 ? k ? 2 ? 8k ? 4

(3)令

d n ? 4k ? 2 ? bn



en ? 4k ? 2 ? an

( 1 ? n ? k , n ? N ) …………………12 分
*

dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n


{a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } {2, 4, 6, ?, 4k} = ,得

{4k ? 2 ? a1 , 4k ? 2 ? a2 , ?, 4k ? 2 ? ak , 4k ? 2 ? b1, 4k ? 2 ? b2 , ?, 4k ? 2 ? bk }
= {2, 4, 6, ?, 4k} 所以,数列对( 假设数列

{an } {bn }


)与(

{d n }



{en }

)成对出现。 ……………………16 分

{an }



{d n }

相同,则由

d 2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2

a ? 2k ? 3 及 a2 ? b2 ? 4 ,得 2 ,

b2 ? 2k ? 1

,均为奇数,矛盾!

故,符合条件的数列对(

{an }



{bn }

)有偶数对。

……………………18 分

第 8 页 共 8 页


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