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高中数学必修2知识点和例题讲解


第1讲 第1章
¤知识要点: 结 构 特 征 棱 柱 (1)两底面相互平行, 其余各面都是平行四边 形; (2)侧棱平行且相等. (1)底面是多边形,各 侧面均是三角形; (2)各侧面有一个公共 顶点. 圆 柱

§ 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
图例

棱 锥

圆 锥

(1)两底面相互平行; (2)侧面的母 线平行于圆柱的轴; (3)是以矩形的一边所在直线为旋转 轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的 几何体. (1)底面是圆; (2)是以直角三角形 的一条直角边所在的直线为旋转轴, 其 余两边旋转形成的曲面所围成的几何 体. (1)两底面相互平行; (2)是用一个平行于圆锥底面的平面 去截圆锥,底面和截面之间的部分.

棱 台

( 1 )两底面相互平行; (2)是用一个平行于棱 圆 锥底面的平面去截棱锥, 台 底面和截面之间的部分.



(1)球心到球面上各点的距离相等; (2)是以半圆的直径所在直线为 旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体. ) B.九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 D.三棱柱的侧面为三角形 答案:D 答案:12

1.下列说法错误的是( A.多面体至少有四个面

C.长方体、正方体都是棱柱

2.一个棱柱有 10 个顶点,所有的侧棱长的和为 60 cm,则每条侧棱长为___________ cm. 答案:棱锥、棱柱、棱台、圆锥

3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是___________.

第2讲 § 1.1.2 简单组合体的结构特征 ¤例题精讲: 【例 1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r , R ,求球的半径. 选 D.
2 2

解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长为 R+r,梯形的高即球的直径为 (r ? R) ? ( R ? r ) ? 2 rR , 所以,球的半径为

rR .

第3讲
¤例题精讲: 【例 1】画出下列各几何体的三视图:

§ 1.2.2 空间几何体的三视图

解: 【例 2】画出下列三视图所表示的几何体.

解:

【例 3】如图,图(1)是常见的六角螺帽,图(2)是一个机器零件(单位:cm) ,所给的方 向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图. 解

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;

1

第4讲

§ 1.2.3 空间几何体的直观图

¤知识要点: “直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置的画 法. 基本步骤如下: (1) 建系:在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,得到直角坐标系 xoy ,直观图中画成斜坐标系 x ' o ' y ' ,两 轴夹角为 45? .(2)平行不变:已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x’或 y’轴的线段.(3)长度规则: 已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半.

第5讲

§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

¤学习目标:了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式) ;能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问 题. ¤知识要点: 表面积相关公式 表面积相关公式 棱柱 棱锥 棱台 ¤例题精讲: 【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.解: l ? 【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示,求这个正三棱柱的表面积. 解: S ? S侧 ? 2S底 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? ¤知识要点:1. 体积公式: 体积公式 棱柱 棱锥 棱台 体积公式 圆柱 圆锥 圆台

S全 ? S侧 ? 2S底, 其中S侧 ? l侧棱长 ?c直截面周长

圆柱 圆锥 圆台

S全 ? 2? r 2 ? 2? rh S全 ? ? r 2 ? ? rl

(r:底面半径,h:高)

S全 ? S侧 ? S底

(r:底面半径,l:母线长)

S全 ? S侧 ? S上底 ? S下底

S全 ? ? (r '2 ? r 2 ? r ' l ? rl )
(r:下底半径,r ’:上底半径,l:母线长)

29 7

1 ? 4 ? 2 3 ? 24 ? 8 3(mm2 ) . 2 第6讲 § 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积

V ? S底 ?h高

1 V ? S底 ?h高 3 1 V ? (S '? S ' S ? S )h 3

V ? ? r 2h 1 V ? ? r 2h 3

1 V ? ? (r '2 ? r ' r ? r 2 )h 3

2. 柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上底面逐渐扩展 到与下底面全等时,它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系:

1 1 S '? 0 S '? S ? V台 ? (S '? S ' S ? S )h ??? ? V柱 ? S ?h . V锥 ? S ?h ??? 3 3 ¤例题精讲: 【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2、3、6,则长方体的体积是 .解: 2 设长方体的长宽高分别为 a, b, c ,则 ab ? 2, ac ? 3, bc ? 6 ,三式相乘得 (abc) ? 36 .所以,长方体的体积为 6. 【例 2】一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容
器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域. 解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 xcm . 在 Rt ?EOF 中 , EF ? 5cm, OF ?
E

1 xcm , 2

所 以 EO ?

25 ?

1 2 x , 于是 4
D A O B C F

1 1 V ? x 2 25 ? x 2 .依题意函数的定义域为 {x | 0 ? x ? 10} . 3 4
【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 3 ,母线长为 6,现将该容器盛满 然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的

水,

5 时,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 6 5 2 2 解: 容器中水的体积为 V ? ? r l ? ? ? ( 3) ? 6 ? 18? .流出水的体积为 V ' ? (1 ? )V ? 3? , 如图, 6
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
2

.

2V ' 2 ? 3? 2 3 ? ? 2 .设圆柱的母线与水平面所成的角为α ,则 tan ? ? ? 3 ,解得 ? ? 60? . 2 2 ?r 2 ? ? ( 3) 第7讲 § 1.3.2 球的体积和表面积 4 2 ¤知识要点:1. 表面积: S球面 ? 4? R (R:球的半径). 2. 体积: V球面 ? ? R3 . 3 ¤例题精讲: 【例 2】表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积. 2 解:设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ? 2a ,又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,∴ l'?
AC ? AC ?2 ? CC ?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ? 14 ? 576 .
【例 3】设 A、B、C、D 是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的 体积是( ). A. 8 6? B. 64 6? C. 24 2? D. 72 2? ∴ 四边形 ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径 r ?

【解】 由已知可得, A、 B、 C、D 在球的一个小圆上.∵ AB=BC=CD=DA=3, 由R ?r ?h 得R ?(
2 2 2
2

3 2 . 2

3 2 2 R 4 4 ) ? ( )2 ,解得 R ? 6 .∴ 球的体积 V ? ? R3 ? ? ( 6)3 ? 8 6? . 所以选 A. 2 2 3 3 第8讲 § 2.1.1 平面

¤知识要点: 1. 点 A 在直线上,记作 A ? a ;点 A 在平面 ? 内,记作 A ?? ;直线 a 在平面 ? 内,记作 a ? ? . 2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言” 、 “符号语言” 、 “图形语言”列表如下: 公理 1 公理 2 公理 3 图形 语言 如果一条直线上的两点在 过不在一条直线上的三点,有 如果两个不重合的平面有一个公 一个平面内, 那么这条直线 且只有一个平面. 共点, 那么它们有且只有一条过该 在此平面内. 点的公共直线. A ? l, B ? l ? A, B, C不共线 ? ?? ? ? ? l 符号 P ?? , P ? ? ? ? ??l ?? 语言 A ?? , B ?? ? A, B, C确定平面? ?P ? l 3.公理 2 的三条推论: 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. ¤例题精讲: 【例 1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面? 【例 2】空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,已知 EF 和 GH 交于 P 点,求证:EF、 GH、AC 三线共点. 解:∵P ? EF,EF ? 面 ABC,∴P ? 面 ABC. 同理 P ? 面 ADC.∵ P 在面 ABC 与面 ADC 的交线上,又 ∵面 ABC∩面 ADC=AC, ∴P ? AC,即 EF、HG、AC 三线共点. 【例 3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线 AB, BC, CA 两两相交,交点分别为 A, B, C ,求证:直线 AB, BC, CA 共面. 证明:因为 A,B,C 三点不在一条直线上,所以过 A,B,C 三点可以确定平面α . 因为 A∈α ,B∈α ,所以 AB α . 同理 BC α ,AC α .所以 AB,BC,CA 三直线共面. 【例 4】在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 文字 语言

C

?

B

A

(1) AA1 与 CC1 是否在同一平面内?(2)点 B, C1 , D 是否在同一平面内? (3)画出平面 AC1 与平面 BC1 D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线. 解: (1 ) 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, ∵ AA1 // CC1 , ∴由公理 2 的推论可知,AA1 与 CC1 可确定平面 AC1 ,∴ AA1 与 CC1 在同一平面内. (2)∵点 B, C1 , D 不共线,由公理 3 可知,点 B, C1 , D 可确定平面 BC1 D ,∴ 点 B, C1 , D 在同一平面内. (3)∵ AC ? BD ? O , D1C ? DC1 ? E , ∴点 O ? 平面 AC1 , O ? 平面 BCD1 ,又 C1 ? 平面 AC1 , C1 ? 平面 BC1 D ,

∴ 平面 AC1 ? 平面 BC1 D ? OC1 ,同理平面 ACD1 ? 平面 BDC1 ? OE . 第9讲 § 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
¤知识要点: 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
3

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? 1.空间两条直线的位置关系: ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.

2. 已知两条异面直线 a, b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a, b 所成 的角(或夹角). a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上;异面直线所 成的角的范围为 (0,90?] ,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作 a ? b . 求两条异面直线所 成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算. ¤例题精讲: 【例 1】已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都是 30°的直线有且仅有( ). A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 解:过 P 作 a ? ∥a, b? ∥b,若 P∈a,则取 a 为 a ? ,若 P∈b,则取 b 为 b? .这时 a ? , b? 相交 于 P 点,它们的两组对顶角分别为 50°和 130°. 记 a ? , b? 所确定的平面为β ,那么在平面 β 内,不存在与 a ? , b? 都成 30°的直线. 过点 P 与 a ? , b? 都成 30°角的直线必在平面β 外,这直线在平面β 的射影 是 a ? , b? 所成对顶角的平分线.其中射影是 50°对顶角平分线的直线有两条 l 和 l ? ,射影是 130°对顶角平分线的直 线不存在.故答案选 B. E 【例 2】如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点,P、Q 分别 C1 D1 为 AC 与 BD、A1C1 与 EF 的交点. (1)求证:D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线. 证明: (1)∵ 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 // DD1 ,∴ BD // B1 D1 . 又 ∵ B1 D1C1

Q A1 D A P B B1

F C

1 中,E、F 为中点, ∴ EF // B1 D1 . ∴ EF // BD , 即 D、B、F、E 四点共面.(2) 2 ∵ ∴ Q ? 平面AC1 , Q ? 平面BE , P ? 平面AC1 , P ? 平面BE ,
王新敞
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平面AC1 ? 平面BE ? PQ .又 AC1 ? 平面BE ? R , ∴ R ? 平面AC1 , R ? 平面BE , ∴ R ? PQ . 即 P、Q、R 三点 共线 【例 3】已知直线 a//b//c,直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,求证:a、b、c、d 四线共面. 证明:因为 a//b,由公理 2 的推论,存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? . c 又因为直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,由公理 1, d ? ? . c' C 假设 c ? ? ,则 c ? ? ? C , 在平面 ? 内过点 C 作 c? // b , B b A a 因为 b//c,则 c // c? ,此与 c ? c? ? C 矛盾. 故直线 c ? ? . ? d 综上述,a、b、c、d 四线共面. 【例 4】如图中,正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1 的中点.(1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解: (1)如图,连结 DC1 , ∵DC1∥AB1,∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角.∵ ∠CC1D=45°, ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45°.(2)如图,连结 DA1、A1C1, ∵ EF∥A1D,AB1∥DC1,∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. ∵Δ A1DC1 是等边三角形, ∴ ∠A1DC1=60?,即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60?. 第 10 讲 § 2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 ¤知识要点:1. 直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内(有无数个公共点) ; (2)直线与平面相交(有且只有一个 公共点) ; (3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作: l ? ? ; l ? ? ? P ; l // ? . 2. 两平面的位置关系: 平行 (没有公共点) ; 相交 (有一条公共直线) .分别记作 ? // ? ; ? ?? ?l .
¤例题精讲: 【例 1】已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求异面直线 AB 和 CD 所 成的角的大小. 解:分别取 AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接 PM、PN,由三角形的中位线性质知 PN∥AB, PM∥CD,于是∠MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成的角(如图所示).连结 MN、DN,设 AB=2, ∴PM=PN=1.而 AN=DN= 3 ,由 MN⊥AD,AM=1,得 MN= 2 ,
A

∴MN =MP +NP ,∴∠MPN=90°.∴异面直线 AB、CD 成 90°角.
【例 2】在空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 CB、CD 的中点,若 AC + BD = a ,AC ? BD =b,求 EG ? FH . 解:四边形 EFGH 是平行四边形,
2 2
B D F C G E H

2

2

2

1 1 EG 2 ? FH 2 =2 ( EF 2 ? FG 2 ) = ( AC 2 ? BD2 ) ? (a2 ? 2b) . 2 2
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
4

【例 3】已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、 CD 上的点,且

A E B F H D

CF CG 2 (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、 ? ? .求证: CB CD 3
E、 H 分别是 AB 和 CD 的中点,∴ EH //

GH、AC 交于一点. 证明: (1)在△ABD 和△CBD 中, ∵ 又 ∵

G C

1 BD. 2

2 CF CG 2 ? ? , ∴ FG // BD. ∴ EH∥FG. 所以,E、F、G、H 四点共面. 3 CB CD 3 第 11 讲 § 2.2.1 直线与平面平行的判定

¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. 2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示 为: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 图形如右图所示. ¤例题精讲: 【例 1】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证: AF∥平面 PEC 证明:设 PC 的中点为 G,连接 EG、FG.∵ F 为 PD 中点, ∴ GF∥CD 且 GF=

1 CD. 2

∵ AB∥CD, AB=CD, E 为 AB 中点, ∴ GF∥AE, GF=AE, 四边形 AEGF 为平行四边形. ∴ EG∥AF, 又∵ AF ? 平面 PEC, EG ? 平面 PEC, ∴ AF∥平面 PEC. 【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点. 求证:EF∥平面 BB1D1D. 证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC, OE= ∵ DC∥D1C1, DC=D1C1 , F 为 D1C1 的中点,

1 DC. 2

∴ OE∥D1F, OE=D1F, 四边形 D1FEO 为平行四边形. ∴ EF∥D1O. 又∵ EF ? 平面 BB1D1D, D1O ? 平面 BB1D1D, ∴ EF∥平面 BB1D1D. 【例 3】如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱 AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点, 求证: AM ∥平面 EFG . 证明:如右图,连结 DM ,交 GF 于 O 点,连结 OE , B 在 ?BCD 中, G 、 F 分别是 BD 、 CD 中点, ∴ GF // BC , ∵ G 为 BD 中点, ∴ O 为 MD 中点, 在 ?AMD 中,∵ E 、 O 为 AD 、 MD 中点, ∴ EO // AM , 又∵ AM ? 平面 EFG , EO ? 平面 EFG , ∴ AM ∥平面 EFG . 点评: 要证明直线和平面平行, 只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了 . 注 意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用. 【例 4】如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点
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A E G M D O C F

(1)求证:MN//平面 PAD; (2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 ,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.

// DC . 解: (1)取 PD 的中点 H,连接 AH,由 N 是 PC 的中点, ∴ NH ? 2 // AM, 即 AMNH 为平行四边形. ∴ MN // AH . 的中点, ∴ NH ?
由 MN ? 平面PAD, AH ? 平面PAD , ∴ MN // 平面PAD .

1

由 M 是 AB

// BC, // PA, 所以 ?ONM (2) 连接 AC 并取其中点为 O, 连接 OM、 ON, ∴ OM ? ON ? 2 2
就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,且 MO⊥NO.
0
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1

1

由 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 得
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OM=2,ON= 2 3 所以 ?ONM ? 30 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30°的角 点评:已知中点,牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行 . 求两条异面直线所成角,方法的 关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角,通过解三角形而得 .

第 12 讲

§ 2.2.2 平面与平面平行的判定

¤知识要点:面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;

5

a ? ? , b ? ? , a ? b ? P? ? ? ? // ? . a // ? , b // ? ? ¤例题精讲: 【例 1】如右图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 MNP∥平面 A1BD. 证明:连结 B1D1,∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点,∴ PN∥B1D1.又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN 不在平面 A1BD 上, ∴PN∥平面 A1BD.同理, MN∥平面 A1BD. 又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD. D1 C1 【例 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. B1 A1 // DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 证明: (1)由 B1B ? F 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C,∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C.而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. E G C (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. D 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF. A ∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. B P 【例 3】已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q 分 别 在 PA 、 BD 、 PD 上 , 且 PM : MA=BN : ND=PQ : QD. Q 求证:平面 MNQ∥平面 PBC. M 证明:? PM:MA=BN:ND=PQ:QD. ∴ MQ//AD,NQ//BP, 而 BP ? 平面 PBC,NQ ? 平面 PBC, ∴ NQ//平面 PBC. C D 又?ABCD 为平行四边形,BC//AD, ∴ MQ//BC, N 而 BC ? 平面 PBC,MQ ? 平面 PBC, ∴ MQ//平面 PBC. 由 MQ ? NQ=Q, 根据平面与平面平行的判定定理,∴ 平面 MNQ∥平面 PBC. B A 点评:由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平 行,证得两条相交直线平行于一个平面后,转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 第 13 讲 § 2.2.3 直线与平面平行的性质 ¤知识要点:线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 a β a // ? ? ? 个平面相交,那么这条直线和交线平行. 即: a ? ? ? ? a // b . b ? ? ? ? b? ? ? ¤例题精讲: 【例 1】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E1E∥B1B 证明:∵ AA1 // BB1 , AA1 ? 平面BEE1B1 , BB1 ? 平面BEE1B1 , D1 C1 ∴ AA1 // 平面BEE1 B1 . E1 又 AA1 ? 平面ADD1 A1,平面ADD1 A1 ? 平面BEE1 B1 ? EE1 , A1 B1 ∴ AA1 // EE1 . D AA1 // BB1 ? C 则 E ? ? BB1 // EE1 . AA1 // EE1 ? A B 【例 2】如图, AB // ? , AC // BD , C ?? , D ?? ,求证: AC ? BD . 证明:连结 CD , ∵ AC // BD , A B ∴直线 AC 和 BD 可以确定一个平面,记为 ? , β
号表示为:
王新敞
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∵ C, D ?? , C , D ? ? ,∴ ? ? ? ? CD , ∵ AB // ? , AB ? ? , ? ? ? ? CD ∴ AB // CD , 又∵ AC // BD , ∴ 四边形 ACDB 为平行四边形, ∴ AC ? BD .

?

C

D

第 14 讲

§ 2.2.4 平面与平面平行的性质
A ? C

¤知识要点:1. 面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交 线 平 行 . 用 符 号 语 言 表 示 为 : ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b .2. 其 它 性 质 : ①

? // ? , l ? ? ? l // ? ; ② ? // ? , l ? ? ? l ? ? ;③夹在平行平面间的平行线段相等.
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
6

M E

N D

?

B

¤例题精讲: 【例 1】如图,设平面α ∥平面β ,AB、CD 是两异面直线,M、N 分别是 AB、CD 的中点,且 A、C∈α , B、D∈β . 求证:MN∥α . 证明:连接 BC,取 BC 的中点 E,分别连接 ME、NE, 则 ME∥AC,∴ ME∥平面α ,又 NE∥BD, ∴ NE∥β , 又 ME∩NE=E,∴平面 MEN∥平面α ,∵ MN ? 平面 MEN,∴MN∥α . 【例 2】如图,A,B,C,D 四点都在平面?,?外,它们在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行 四边形的四个顶点,在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上,求证:ABCD 是平行四边形. 证明:∵ A,B,C,D 四点在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上, ∴A,B,C,D 四点共面. 又 A,B,C,D 四点在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行四边形的四个顶点, ∴平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1. ∴AB,CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1,平面 CDD1C1 的交线.

∴AB∥CD.同理 AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 第 15 讲 § 2.3.1 直线与平面垂直的判定 ¤知识要点:1. 定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作 l ? ? . l -平 面 ? 的垂线, ? -直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.(线线垂直 ? 线面垂直) 2. 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为:若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则 l ⊥ ?
3. 斜线和平面所成的角,简称“线面角” ,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角, 几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作 为所求)→求(解直角三角形) ”. 通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角 的关键. ¤例题精讲: 【例 1】四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点,且 EF ?

BD ? 平面 ACD .

2 AC , ?BDC ? 90? ,求证: 2

2 2 1 1 2 2 2 2 又 AC ? BD, ∴ FG ? AC , ∴ 在 ?EFG 中 , E G ? F G ? , ∴ EG ? FG, ∴ BD ? AC, 又 AC ? EF 2 2 ?BDC ? 90? ,即 BD ? CD , AC ? CD ? C ,∴ BD ? 平面 ACD . 【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,求直线 AE 与平面
ABC1D1 所成的角的正弦值. 解:取 CD 的中点 F,连接 EF 交平面 ABC1 D1 于 O,连 AO.由已知正方体,易知 EO ? 平 面 ABC1 D1 , 所 以 ?EAO 为 所 求 . 在 Rt ?EOA 中 , E O?

// 1 AC , FG? // 1 BD . 证明:取 CD 的中点 G ,连结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,∴ EG ?

1 1 EF ? 2 2

1

A ? D

2 , 2

1 5 EO 10 , sin ?EAO ? . AE ? ( )2 ? 12 ? ? 2 2 AE 5

10 . 5 【例 3】三棱锥 P ? ABC 中, PA ? BC, PB ? AC , PO ? 平面 ABC,垂足为 O,求证:
所以直线 AE 与平面 ABC1 D1 所成的角的正弦值为 O 为底面△ABC 的垂心. 证明:连接 OA、OB、OC,∵ PO ? 平面 ABC, ∴ PO ? BC, PO ? AC . 又 ∵ PA ? BC, PB ? AC , ∴ BC ? 平面PAO, AC ? 平面PBO ,得 AO ? BC, BO ? AC , ∴ O 为底面△ABC 的垂心. 点评: 此例可以变式为 “已知 PA ? BC, 求证 PC ? AB ” , 其思路是接着利用射影是垂心的结论得到 OC ? AB PB ? AC , 后进行证明. 三条侧棱两两垂直时,也可按同样的思路证出.

第 16 讲

§ 2.3.2 平面与平面垂直的判定

¤知识要点: 1. 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle). 这条直线叫做二面角的棱,这两个半 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
7

平面叫做二面角的面. 记作二面角 ?-AB-? . (简记 P-AB-Q ) 2. 二面角的平面角:在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 ? , ? 内分别作垂直于棱 l 的射 线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面角. 范围: 0? ? ? ? 180? . 3. 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作 ? ? ? . 4. 判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直 ? 面面垂直) ¤例题精讲: 【例 1】已知正方形 ABCD 的边长为 1,分别取边 BC、CD 的 中点 E、F,连结 AE、EF、AF,以 AE、EF、FA 为折痕,折叠使点 B、C、 D 重合于一点 P. (1)求证:AP⊥EF; (2)求证:平面 APE⊥平面 APF. 证明: (1)如右图,∵∠APE=∠APF=90°,PE∩PF=P, ∴ PA⊥平面 PEF. ∵EF ? 平面 PEF,∴PA⊥EF. (2)∵∠APE=∠EPF=90°,AP∩PF=P,∴PE⊥平面 APF. 又 PE ? 平面 PAE,∴平面 APE⊥平面 APF. A 【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中, AB ? BC, CD ? DA, E, F , G 分别是

CD, DA, AC 的中点,求证:平面 BEF ? 平面 BGD . F 证明: AB ? BC, G 为 AC 中点,所以 AC ? BG . G 同理可证 AC ? DG, ∴ AC ? 面 BGD. D 又易知 EF//AC,则 EF ? 面 BGD. B E 又因为 EF ? 面 BEF,所以平面 BEF ? 平面 BGD . C 第 17 讲 § 2.3.3 线面、面面垂直的性质 ¤知识要点:1. 线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直 ? 线线平行)2. 面面垂直性质定 理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为:若 ? ? ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? l ,则 a ? ? .(面面垂直 ? 线面垂直) ¤例题精讲: 【例 1】 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置于桌面, 另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 ? 垂直, a 是 ? 内一条直线, 若斜边 AB 与 a 垂直,则 BC 是否与 a 垂直? A 解: AC ? ? ? ? ? ? a ? AC ? a ?? ? a ? AB ? ? a ? 平面ABC ? ? ? a ? BC AC ? AB ? A? BC ? 平面ABC ? ? B a C α 注:若 BC 与 a 垂直,同理可得 AB 与 a 也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化 思想方法: “线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 【例 2】如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对 平面. 解: (1)证明:∵C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点,AB 是圆 O 的直径, ∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, ∴BC⊥PA,从而 BC⊥平面 PAC. ∵ BC ? 平面 PBC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2)平面 PAC⊥平面 ABCD;平面 PAC⊥平面 PBC;平面 PAD⊥平面 PBD;平面 PAB ⊥ 平 面 ABCD;平面 PAD⊥平面 ABCD. 第 18 讲 第 3 章 § 3.1.1 倾斜角与斜率 ¤知识要点:1. 当直线 l 与 x 轴相交时,我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 0 ? ? ? ? . 2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 k ? tan ? . 如果知道直线上两点 P( x1 , y1 ), P( x2 , y2 ) , y ? y1 则有斜率公式 k ? 2 . 特别地是,当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 x 轴垂直,斜率 k 不存在;当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时, x2 ? x1 直线与 y 轴垂直,斜率 k=0. 注意: 直线的倾斜角α =90°时, 斜率不存在, 即直线与 y 轴平行或者重合. 当α =90°时, 斜率 k=0; 当 0?? ?? 9 0 ? 时, 斜率 k ? 0 ,随着α 的增大,斜率 k 也增大;当 90? ? ? ? 180? 时,斜率 k ? 0 ,随着α 的增大,斜率 k 也增大. 这样, 可以求解倾斜角α 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题. ¤例题精讲:
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
8

【例 2】已知过两点 A(m2 ? 2, m2 ? 3) , B(3 ? m2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45°,求实数 m 的值.

m 2 ? 3 ? 2m ? tan 450 ? 1 , ∴ m2 ? 3m ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?1 或 ?2 . 但当 m ? ?1 时,A、B 重合,舍 2 m ? 2 ? (3 ? m ? m) 去. ∴ m ? ?2 . 【例 3】已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 7 ? (?9a) 7 ? 9a 7?2 5 5 7 ? 9a 解: k AB ? , kBC ? . ∵ A、 B、 C 三点在一条直线上, ∴ k AB ? kBC ,即 , ? ? ? 3 ? (?2) 5 3? a 3? a 3? a 5 2 解得 a ? 2 或 a ? . 9 第 19 讲 § 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ¤知识要点:1. 对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k 2 ,有:
解: ∵
2

(1) l1 // l2 ? k1 ? k2 ; (2) l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于 x 轴;…. ¤例题精讲: 【例 1】四边形 ABCD 的顶点为 A(2, 2 ? 2 2) 、 B(?2, 2) 、 C (0, 2 ? 2 2) 、 D(4, 2) ,试判断四边形 ABCD 的形状.

2 ? (2 ? 2 2) 2 2 ? (2 ? 2 2) 2 ,CD 边所在直线的斜率 kCD ? , ? ? ?2 ? 2 2 4?2 2 (2 ? 2 2) ? 2 (2 ? 2 2) ? 2 BC 边所在直线的斜率 kBC ? ? ? 2 ,DA 边所在直线的斜率 kDA ? ?? 2, 0?2 2?4 2 ∵ k AB ? kCD , kBC ? kDA , ∴ AB//CD,BC//DA,即四边形 ABCD 为平行四边形.又 ∵ k AB ?kBC ? ? (? 2) ? ?1 , 2
解:AB 边所在直线的斜率 k AB ? ∴ AB⊥BC,即四边形 ABCD 为矩形. 【例 2】已知 ?ABC 的顶点 B(2,1), C (?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标. 解:设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) .

1 ?y ?3 ? (? ) ? ?1 ? ?k AC ? kBH ? ?1 ? y ? 5 x ? 33 ? x ? ?19 ?x ? 6 5 ∵ AC ? BH , AB ? CH ,∴ ? , 即 ? ,化简为 ? ,解之得: ? . ∴ ? y ? ?62 ? y ? 3x ? 5 ?k AB ? kCH ? ?1 ? y ? 1 ? (? 1 ) ? ?1 ? 3 ?x ? 2 A 的坐标为 (?19, ?62) . 3 5 【例 3】 (1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) , l2 经过点 R(-2, ) 、S(0, ) ,试判断 l1 与 l2 是否平行? 2 2 (2) l1 的倾斜角为 45°, l2 经过点 P(-2,-1) 、Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直?
点评:当 l1 与 l2 的斜率存在时, k1 ? k2 ? l1 // l2 , k1 ? k2 ? ?1 ? l1 ? l2 . 斜率不存在时,进行具体的分析. 由此先计算 出斜率,根据斜率的相等或互为负倒数,从而判别平行或垂直.

第 20 讲

§ 3.2.1 直线的点斜式方程

¤知识要点: 1. 点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) . 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y ? kx ? b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角为 90°, 斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 . 4. 注意:

y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x0 , y0 ) ,后者才是整条直线. x ? x0
(2)经过点 B(3, ?1) ,倾斜角是 30? .

¤例题精讲: 【例 1】写出下列点斜式直线方程: (1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4; 的取值范围.

【例 2】已知直线 y ? kx ? 3k ? 1 .(1)求直线恒经过的定点; (2)当 ?3 ? x ? 3 时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k

?k ?(?3) ? 3k ? 1 ? 0 解: (1)由 y ? k (x ? 3) ? 1 ,易知 x ? ?3 时, y ? 1 ,所以直线恒经过的定点 (?3,1) .(2)由题意得 ? , 3 ? 3k ? 1 ? 0 ?k ?
有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
9

解得 k ? ?

1 . 6

【例 3】光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点 B(-2,6) ,求射入 y 轴后的反 射线的方程. 解:∵A(-3,4)关于 x 轴的对称点 A1(-3,-4)在经 x 轴反射的光线上,同样 A1(-3,-4)关于 y 轴的对称点 A2(3,-4)在经过射入 y 轴的反射线上,∴k A2 B =

6?4 =-2. 故所求直线方程为 y-6=-2(x+2) , 即 2x+y-2=0. ?2 ? 3

点评:由物理中光学知识知,入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题,也常常需要研究对称点的问题. 注意知 识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例 4】已知直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程. 解:由已知得 l 与两坐标轴不垂直. ∵直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,∴ 可设直线 l 的方程为 y ? (?4) ? k[ x ? (?5)] ,即 y ? 4 ? k ( x ? 5) .则直线 l 在 x 轴上的截距 为

4 1 4 ? 5 ,在 y 轴上的截距为 5k ? 4 .根据题意得 ? | ? 5 |? | 5k ? 4 |? 5 ,即 (5k ? 4)2 ? 10 | k | . k 2 k 2 8 2 当 k ? 0 时,原方程可化为 (5k ? 4) ? 10k ,解得 k1 ? , k2 ? ; 5 5 当 k ? 0 时,原方程可化为 (5k ? 4)2 ? ?10k ,此方程无实数解. 2 8 故直线 l 的方程为 y ? 4 ? ( x ? 5) ,或 y ? 4 ? ( x ? 5) .即 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8x ? 5 y ? 20 ? 0 . 5 5

点评:已知直线过一点时,常设其点斜式方程,但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示,从而使用点斜式或斜 截式方程时,要考虑斜率不存在的情况,以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距,可正、可负,也可以为零,不能与距离 混为一谈,注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

第 21 讲
¤知识要点:

§ 3.2.2 直线的两点式方程

y ? y1 x ? x1 , ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y 2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为 ? ? 1 . a b 3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. x1 ? x2 y1 ? y2 4. 线段 PP , ). 1 2 中点坐标公式 ( 2 2
1. 两点式:直线 l 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,其方程为 ¤例题精讲: 【例 1】已知△ ABC 顶点为 A(2,8), B(?4,0), C(6,0) ,求过点 B 且将△ ABC 面积平分的直线方程. 解:求出 AC 中点 D 的坐标 D(4, 4) ,则直线 BD 即为所求, 由直线方程的两点式得

y?0 x?4 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . ? 4?0 4?4

【例 2】菱形的两条对角线长分别等于 8 和 6,并且分别位于 x 轴和 y 轴上,求菱形各边 所在的直线的方程 解:设菱形的四个顶点为 A、B、C、D,如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分 可知,顶点 A、B、C、D 在坐标轴上,且 A、C 关于原点对称,B、D 也关于原点对称. 所以 A(-4,0),C(4,0) ,B(0,3) ,D(0,-3). 由截距式,得

x y x y ? =1,即 3x-4y+12=0;直线 BC 的方程: ? =1, 即 3x+4y-12=0; ?4 3 4 3 x y x y 直线 AD 方程: =1, 即 3 x+4y+12=0;直线 CD 方程: ? =1 即 3 x-4y-12=0. ? ?4 ?3 4 ?3 第 22 讲 § 3.2.3 直线的一般式方程
直线 AB 的方程: ¤知识要点: 1. 一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为斜截式方程

y??

A C A C x ? ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距为 ? 的直线. B B B B 2 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线,可设所求方程为 Ax ? By ? C ' ? 0 ;与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线,
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
10

可设所求方程为 Bx ? Ay ? C ' ? 0 . 过点 P( x0 , y0 ) 的直线可写为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 . 经过点 M 0 ,且平行于直线 l 的直线方程是 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ; 经过点 M 0 ,且垂直于直线 l 的直线方程是 B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 . 3. 已知直线 l1 , l2 的方程分别是: l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1 不同时为 0) , l2 : A 2 x? 2B y ? 2 C ? 0 ( A2 , B2 不同时 为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别: (1) l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; (2) l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, A1C2 ? A2 B1 ? 0 ; (3) l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A2 B 1 ? 0 ; (4) l1 与 l 2 相交 ? A 1 B2 ? A 2B 1 ?0. 如果 A2 B2C2 ? 0 时,则 l1 // l2 ?

A1 B1 C1 A B C A B ; l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ; l1 与 l2 相交 ? 1 ? 1 . ? ? A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2

¤例题精讲: 【例 1】已知直线 l1 : x ? my ? 2m ? 2 ? 0 , l2 : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,问 m 为何值时: (1) l1 ? l2 ; (2) l1 // l2 .

1 m ?2m ? 2 , 解得 m=1. ? ? m 1 ?1 ? m 【例 2】 (1)求经过点 A(3, 2) 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (2)求经过点 B(3,0) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂
解: (1) l1 ? l2 时, A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ,则 1? m ? m ?1 ? 0 ,解得 m=0.(2) l1 // l2 时, 直的直线方程. 解: (1)由题意得所求平行直线方程 4( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 0 ,化为一般式 4x ? y ? 14 ? 0 . (2) 由题意得所求垂直直线方程 ( x ? 3) ? 2( y ? 0) ? 0 ,化为一般式 x ? 2 y ? 3 ? 0 . 【例 3】已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求与直线 l 平行且过点(-1,3)的直线的方程. 分析:由两直线平行,所以斜率相等且为 ? 解:直线 l:3x+4y-12=0 的斜率为 ?

3 ,再由点斜式求出所求直线的方程. 4

3 3 ,∵ 所求直线与已知直线平行, ∴所求直线的斜率为 ? , 4 4 3 又由于所求直线过点(-1,3) ,所以,所求直线的方程为: y ? 3 ? ? ( x ? 1) ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0 . 4
点评: 根据两条直线平行或垂直的关系, 得到斜率之间的关系, 从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程 . 此 题也可根据直线方程的一种形式 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 而直接写出方程,即 3( x ? 1) ? 4( y ? 3) ? 0 ,再化简而得.

§ 3.3.1 两条直线的交点坐标 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ¤知识要点:1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ? . 若方程组有惟一解,则两 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则 两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 2. 方程 ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与

第 23 讲

A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点. ¤例题精讲: 【例 1】判断下列直线的位置关系. 如果相交,求出交点坐标.直线 l1: nx ? y ? n ? 1 , l2: ny ? x ? 2n .
?nx ? y ? n ? 1 解:解方程组 ? ,消 y 得 (n2 ? 1) x ? n2 ? n . ?ny ? x ? 2n 当 n ? 1 时,方程组无解,所以两直线无公共点, l1 // l2 .
当 n ? ?1 时,方程组无数解,所以两直线有无数个公共点,l1 与 l2 重合. 当 n ? 1 且 n ? ?1 ,方程组有惟一解,得到 x ?

n 2n ? 1 ,y? , l1 与 l2 相交. n ?1 n ?1
n 2n ? 1 , ). n ?1 n ?1

∴当 n ? 1 时, l1 // l2 ;当 n ? ?1 时,l1 与 l2 重合;当 n ? 1 且 n ? ?1 ,l1 与 l2 相交,交点是 ( 解:设所求直线的方程为 2x ? y ? 8 ? ? ( x ? 2 y ? 1) ? 0 ,整理为 (2 ? ? ) x ? (1 ? 2? ) y ? ? ? 8 ? 0 .

【例 2】求经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 4x ? 3 y ? 7 ? 0 的直线方程.

∵ 平行于直线 4x ? 3 y ? 7 ? 0 , ∴ (2 ? ? ) ? (?3) ? (1 ? 2? ) ? 4 ? 0 ,解得 ? ? 2 .则所求直线方程为 4x ? 3 y ? 6 ? 0 .

第 24 讲

§ 3.3.2 两点间的距离

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 . ¤知识要点:1. 平面内两点 P 1P 2 |? 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间的距离为: | P
特别地,当 P 1, P 2 所在直线与 x 轴平行时, | PP 1, P 2 所在直线与 y 轴平行时, | PP 1, P 2 1 2 |?| x1 ? x2 | ;当 P 1 2 |?| y1 ? y2 | ;当 P 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
11

2 在直线 y ? kx ? b 上时, | P 1P 2 |? 1 ? k | x1 ? x2 | .

2. 坐标法解决问题的基本步骤是: (1)建立坐标系,用坐标表示有关量; (2)进行有关代数运算; (3)把代数运算的 结果“翻译”成几何关系. ¤例题精讲: 【例 1】在直线 2 x ? y ? 0 上求一点 P ,使它到点 M (5,8) 的距离为5,并求直线 PM 的方程. 解 : ∵ 点 P 在 直 线 2x ? y ? 0 上 , ∴ 可 设 P( a, 2a, ) 根 据 两 点 的 距 离 公 式 得

PM 2 ? (a ? 5)2 ? (2a ? 8)2 ? 52 , 即5a2 ? 42a ? 64 ? 0 ,解得 a ? 2或a ?
方程为

32 32 64 ,∴ P(2, 4)或( , ) . ∴ 5 5 5

直线 PM 的

y ?8 x ?5 y ?8 x?5 ,即 4 x ? 3 y ? 4 ? 0或24 x ? 7 y ? 64 ? 0 . ? 或 ? 64 32 4?8 2?5 ?8 ?5 5 5

【例 2】直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值. 解:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点. 设 A '(a, b) , 则

? b ?1 ? 2 ? ?1 ? ?a ? 0 ?a ? 4 ,解得 ? , 所以线段 | A ' B |? (4 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 3 2 . ? b ? 1 ? ?2 ? 4 ? a ? b ? 1 ? 4 ? 0 ? ? 2 2
【例 3】已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线,证明|AB| 2 +|AC| 2 =2(|AO| 2 +|OC| 2 ). 解:以 O 为坐标原点,BC 为 x 轴,BC 的中垂线为 y 轴,建立如图所示坐标系 xOy. 设点 A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0), A(a,b) 由两点间距离公式得: |AB|= (a ? c)2 ? b 2 ,|AC|= (a ? c)2 ? b 2 , |AO|= a 2 ? b 2 ,
2 2

y

|OC|=c. |AO| 2 +|OC| 2 = a 2 ? b2 ? c 2 .

∴ |AB| +|AC| = 2(a 2 ? b2 ? c2 ) ,

B(-c,0)

O

C(c,0) x

∴ |AB| 2 +|AC| 2 =2(|AO| 2 +|OC| 2 ).

§ 3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离 | Ax0 ? By0 ? C | ¤知识要点:1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ? . A2 ? B 2 2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离公式 | C ? C2 | ,推导过程为:在直线 l2 上任取一点 P( x0 , y0 ) ,则 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0 ,即 Ax0 ? By0 ? ? C2 . 这时点 d? 1 A2 ? B 2 | Ax0 ? By0 ? C1 | | C1 ? C2 | . P( x0 , y0 ) 到直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ? ? A2 ? B 2 A2 ? B 2
¤例题精讲: 【例 1】求过直线 l1 : y ? ? x ?

第 25 讲

10 和 l2 : 3x ? y ? 0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程. 3 解:设所求直线 l 的方程为 3 y ? x ? 10 ? ? (3x ? y) ? 0 , 整理得 (3? ? 1) x ? (3 ? ? ) y ? 10 ? 0 . 10 ? 1 , 解得 ? ? ?3 . 由点到直线的距离公式可知, d ? (3? ? 1)2 ? (3 ? ? )2
代入所设,得到直线 l 的方程为 x ? 1或4 x ? 3 y ? 5 ? 0 .

1 3

【例 2】在函数 y ? 4 x2 的图象上求一点 P,使 P 到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,并求这个最短的距离. 解:直线方程化为 4 x ? y ? 5 ? 0 . 设 P(a, 4a 2 ) , 则点 P 到直线的距离为

d?

| 4a ? 4a 2 ? 5 | 4 ? (?1)
2 2

?

| ?4(a ? 1/ 2) 2 ? 4 | 17

?

4( a ? 1/ 2) 2 ? 4 17

.当 a ?

4 17 1 1 时,点 P( ,1) 到直线的距离最短,最短距离为 . 17 2 2
| m ? 3| (m ? 2)2 ? (1 ? m)2
12

【例 3】求证直线 L: (m ? 2) x ? (1 ? m) y ? (6 ? 4m) ? 0 与点 P(4, ?1) 的距离不等于 3. 解:由点线距离公式,得 d?

| (m ? 2)?4 ? (1 ? m)? (?1) ? (6 ? 4m) | (m ? 2) ? (1 ? m)
2 2

=

. 假 设 d ?3 , 得 到 ∴

(m ? 32) ? 9 m [ (?

2

2? )

? m ( 12 , ) 整 ] 理 得 17m2 ? 48m ? 36 ? 0 . ∵
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

? ? 482 ? 4 ?17 ? 36 ? ?140 ? 0 ,

17m2 ? 48m ? 36 ? 0 无实根.∴ d ? 3 ,即直线 L 与点 P(4, ?1) 的距离不等于 3.
点评:此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离,然后从“距离不等于 3”的反面出发,假设距离是 3 求 m,但求解的结果是 m 无解. 从而假设不成立,即距离不等于 3. 另解:把直线 L: (m ? 2) x ? (1 ? m) y ? (6 ? 4m) ? 0 按参数 m 整理, 得 ( x ? y ? 4)m ? 2x ? y ? 6 ? 0 .由

?

x? y?4?0 x?2 , 解得 . 所以直线 L 恒过定点 Q(2, ?2) .点 P 到直线 L 取最大距 y ? ?2 2x ? y ? 6 ? 0
5 <3, ∴直线 L 与点 P(4, ?1) 的距离不等于 3.

?

离时, PQ⊥L,即最大距离是 PQ= (2 ? 4)2 ? (?2 ? 1) 2 = 5 .∵

点评: 此解妙在运用直线系 ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 恒过一个定点的知识, 其定点就是 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点. 由运动与变化观点,当直线 PQ⊥L 时,点线距离为最大.

第 26 讲 第 4 章 § 4.1.1 圆的标准方程 2 2 2 ¤知识要点:1. 圆的标准方程:方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) 表示圆心为 A(a,b) ,半径长为 r 的圆.
2. 求圆的标准方程的常用方法: (1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程; (2)待定系数法:先根据条件列出关于 a、b、r 的方程组,然后解出 a、b、r,再代入标准方程. ¤例题精讲: 【例 1】过点 A(1, ?1) 、 B(?1,1) 且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( ). A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 2 2 C.(x-1) +(y-1) =4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A、C 满足条件, 再把 A 点坐标(1,-1)代入圆方程. A 不满足条件. 所以, 选 C.另解:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r, 因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上, ∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a-1)2+ (b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得 a=1,b=1.因此,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 选 C. 【例 2】求下列各圆的方程: (1)过点 A(?2,0) ,圆心在 (3, ?2) ; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) 解: ( 1 )设所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 . 则 (?2 ? 3)2 ? (0 ? 2)2 ? r 2 ,
2 2

解得 r 2 ? 29 .

∴ 圆的方程为

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 29 .(2)圆心在线段 AB 的垂直平分线 y ? ?3 上,代入直线 2 x ? y ? 7 ? 0 得 x ? 2 ,

圆心为 (2, ?3) ,半径 r ? (2 ? 0)2 ? (?3 ? 2) 2 ? 5 .∴ 圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 .
【例 3】推导以点 A(a, b) 为圆心, r 为半径的圆的方程.解:设圆上任意一点 M ( x, y ) ,则 | MA |? r .由两点间的距离公 式,得到 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r .化简即得圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

第 27 讲

§ 4.1.2 圆的一般方程
D E , ? ) ,半径长 2 2

¤知识要点:1. 圆的一般方程:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )表示圆心是 (? 为

1 D2 ? E 2 ? 4F 的圆. 2. 轨迹方程是指点动点 M 的坐标 ( x, y ) 满足的关系式. 2

¤例题精讲: 【例 1】求过三点 A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 则

?4 ? 4 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0 ? D ? ?8 ? ? ∴ 圆的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 12 ? 0 . ?25 ? 9 ? 5 D ? 3E ? F ? 0 , 解得 ? E ? ?2 . ?9 ? 1 ? 3D ? E ? F ? 0 ? F ? 12 ? ? 2 2 【例 2】设方程 x ? y ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m2 ) y ? 16m4 ? 7m2 ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的取值范围及圆心 的轨迹方程.
2 解:配方得 ? x ? (m ? 3) ? ? ? ? y ? (1 ? 4m ) ? ? ? 1 ? 6m ,该方程表示圆,则有 ?x ? m ? 3 1 ,消去 m,得 y ? 4( x ? 3)2 ? 1 , 1 ? 6m ? 0 ,得 m ? (? , ??) ,此时圆心的轨迹方程为 ? 2 6 ? y ? 1 ? 4m 2 2

由 m ? (? , ??) 得 x=m+3 ? (

1 6

17 17 , ??) . ∴所求的轨迹方程是 y ? 4( x ? 3)2 ? 1 , x ? ( , ??) 6 6
13

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;

第 28 讲

§ 4.2.1 直线与圆的位置关系

¤知识要点: 1. 直线与圆的位置关系及其判定: 方法一: 方程组思想, 由直线与圆的方程组成的方程组, 消去 x 或 (y) , 化为一元二次方程,由判别式符号进行判别; 方法二:利用圆心( a, b )到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? ,比较 d 与 r 的大小. A2 ? B 2 (1)相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; (2)相切 ? d ? r ? ? ? 0 ; (3)相离 ? d ? r ? ? ? 0 . 2. 直线与圆的相切研究,是高考考查的重要内容. 同时,我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质,也要掌握一些常 | Ax0 ? By0 ? C | 用公式,例如点线距离公式 d ? A2 ? B 2 ¤例题精讲: 【例 1】若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为 . 解:将圆 x2+y2-2x=0 的方程化为标准式: (x-1)2+y2=1, 其圆心为(1,0) ,半径为 1,由直线(1+a)x+y+1 |1 ? a ? 1| ? 1 , ∴ a=-1. =0 与该圆相切,则圆心到直线的距离 d ? (1 ? a)2 ? 1 【例 2】求直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 C : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长. (P144 练习 1 题)

| Aa ? Bb ? C |

?2 x ? y ? 2 ? 0 4 14 解:由题意,列出方程组 ? ,消 y 得 5x2 ? 14 x ? 4 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 2 2 5 5 ?( x ? 3) ? y ? 9 2 2 设直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 3) ? y ? 9 交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

14 4 2 145 | AB |? (1 ? k 2 ) | x2 ? x1 |? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = (1 ? 22 ) ( )2 ? 4 ? ? . 5 5 5
另解:圆心 C 的坐标是 (3, 0) ,半径长 r ? 3 . 圆心到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以,直线 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 截得的弦长是 2 r 2 ? d 2 ? 2 32 ? (

| 2?3? 0 ? 2 | 5

?

4 5 . 5

4 5 2 2 145 ) ? . 5 5

第 29 讲

§ 4.2.2 圆与圆的位置关系

¤知识要点:两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则: (1)两圆相交 ?| r1 ? r2 |?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (2)两圆外切 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (3)两圆内切 ?| O1O2 |?| r1 ? r2 | ; ¤例题精讲: 【例 1】已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 6 ? 0 ①,圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 ② (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程. 解: (1)∵圆 C1 的圆心为(3,0) ,半径为 r1 ? 15 ,圆 C2 的圆心为(0,2) ,半径为 r2 ? 10 , 又 | C1C2 |? 13 ,∴ | r1 ? r2 | < | C1C2 |? r1 ? r2 , ∴圆 C1 与 C2 相交. (2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为 3x ? 2 y ? 0 . 【例 2】求经过两圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ?? ( x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4) ? 0 ,即

3? 3 ,? ). 1? ? 1? ? 1 3? 3 ∵圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上, ∴? ? ? 4 ? 0 ,解得 ? ? ? . 7 1? ? 1? ? ∴ 所求圆的方程为 x 2 + y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0 第 30 讲 § 4.2.3 直线与圆的方程的应用
(1 ? ? ) x2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 6? x ? 6 y ? 28 ? 4? ? 0 , 则所求圆的圆心为 (?
¤知识要点:坐标法:建立适当的直角坐标系后,借助代数方法把要研究的几何问题,转化为坐标之间的运算,由此解 决几何问题 ¤例题精讲: 【例 1】有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位 距离,A 地的运费是 B 地运费的 3 倍.已知 A、B 两地相距 10 千米,顾客购物的标准是总费用较低,求 A、B 两地的售 货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地. 解:建立使 A(-5,0)、B(5,0)的直角坐标系,设单位距离的运费是 a 元. 若在 A 地购货费用较低,则:价格+A 地运费≤价格+B 地运费 即 3a ( x ? 5)2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2 . 苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
14

25 2 2 15 2 ) +y ≤( ) . 4 4 25 15 ∴ 两地购物区域的分界线是以点 C(- ,0)为圆心, 为半径的圆. 4 4
∵ a>0,∴ 8x2+8y2+100x+200y≤0.得 (x+ 所以,在圆 C 内的居民从 A 地购物便宜,圆 C 外的居民从 B 地购物便宜,圆 C 上的居民从 A、B 两地购物总费用 相等. 【例 2】 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切, 求 光线 l 所在的直线方程. ‘ ‘ 解:由已知可得圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 关于 x 轴对称的圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,其圆心 C(2,-2) , 易知 l 与圆 C’相切. 设 l: y-3=k(x+3), 即 kx-y+3k+3=0.∴

5k ? 5

3 4 整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得 k ? ? 或 k ? ? . ?1 , 4 3 1? k
2

所以,所求直线方程为 y-3= ?

3 4 (x+3)或 y-3= ? (x+3),即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0. 4 3

点评:关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件 , 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组 思想,通过“ ? ? 0 ”求切线方程也可, 但过程要复杂些.

第 31 讲

§ 4.3.1 空间直角坐标系

¤知识要点:1. 空间直角坐标系:从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox、Oy、Oz,这样 的坐标系叫做空间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,若中指指向 z 轴 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中的坐标:对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影,若射影在 相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x, y, z),其 中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 4. 在 xOy 平面上的点的竖坐标都是零,在 yOz 平面上的点的横坐标都是零,在 zOx 平面上的点的纵坐标都是零;在 Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在 Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在 Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是 零

¤例题精讲: 【例 1】在空间直角坐标系中,作出点 M(6,-2,

4). M(6,-2,4) 4 6

z

解:点 M 的位置可按如下步骤作出: 先在 x 轴上作出横坐标是 6 的点 M 1 ,再将 M 1 沿与 y 轴平行的方向向左移 动 2 个单位得到点 M 2 ,然后将 M 2 沿与 z 轴平行的方向向上移动 4 个单位 即得点 M. M 点的位置如图所示. 【例 2】在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=12,AD=8, AA1 =5,试建立适 当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标. 解:以 A 为原点,射线 AB、AD、 AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0)、 B(12,0,0)、 C(12,8,0)、 D(0,8,0)、A1 (0,0,5)、

O y 2 x

M2

M1

B1 (12,0,5)、 C1 (12,8,5)、 D1 (0,8,5). 【例 3】已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的空 间直角坐标系,写出各顶点的坐标. 分析:先由条件求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立适当的空间 直角坐标系.
解: 侧棱长为 10, ∴正四棱锥的高为 2 23 . ?正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4, 以正四棱锥的底面中心为原点,平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴, 建立如图示的空间直角坐标系,则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2,-2,0) 、 B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0, 2 23 ). 点评:在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定的点的坐标 .

第 32 讲

§ 4.3.2 空间两点间的距离公式

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 . ¤知识要点:1. 空间两点 P 1P 2 |? 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式: | P
2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤: ①在立体几何图形中建立空间直角坐标系; ②依题意确定各相应点的坐标 ; ③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题,常用对称的定义求解. 一般地, 点 P(x, y, z) 关于坐标平面 xOy、 yOz、zOx 的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、 有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
15

(-x, y, z)、(x, -y, z);关于 x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z);关于原点的对称点的坐 标为(-x,- y,- z).

苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴

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