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2014届高三数学一轮复习巩固与练习:直线与圆、圆与圆的位置关系


巩固 1.已知圆的方程是 x +y =1,则在 y 轴上截距为 2 的切线方程为( ) A.y=x+ 2 B.y=-x+ 2 C.y=x+ 2或 y=-x+ 2 D.x=1 或 y=x+ 2 解析:选 C.在 y 轴上截距为 2且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为 y | 2| =kx+ 2,则 2 =1,∴k=±1,故所求切线方程为 y=x+ 2或 y=-x+ 2.选 C. k +1 2 2 2.直线 l 与圆 x +y +2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,若弦 A B 的中点 C 为(- 2,3),则直线 l 的方程为( ) A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.x+y-3=0 解析:选 A.由圆的一般方程可得圆心 O(-1,2),由圆的性质易知 O(-1,2),C(-2,3) 的连线与弦 AB 垂直,故有 kABkOC=-1?kAB=1,故直线 AB 的方程为:y-3=x+2 整理得: x-y+5=0. 2 2 3.(原创题)直线 2x-y=0 与圆 C:(x-2) +(y+1) =9 相交于 A,B 两点,则△ABC(C 为圆心)的面积等于( ) A.2 5 B.2 3 C.4 3 D.4 5 解析:选 A. 圆 C 的圆心 C(2,-1),半径 r=3, |4+1| C 到直线 2x-y=0 的距离 d= = 5, 5 1 ∴|AB|=2 9-5=4,∴S△ABC= ?4? 5=2 5. 2 2 2 4.(2009 年高考全国卷Ⅱ)已知圆 O:x +y =5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直 线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________. 2 2 解析:因为点 A(1,2)在圆 x +y =5 上, 故过点 A 的圆的切线方程为 x+2y=5, 5 令 x=0 得 y= .令 y=0 得 x=5, 2 1 5 25 故 S△= ? ?5= . 2 2 4 25 答案: 4 → → 5. 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O: +y =1 相交于 A, 两点, AB|= 3, OA?OB x2 2 B 且| 则 =________. 解析:如图,作 OC⊥AB 于 C,|AB|= 3,在 Rt△OAC 中, 3 AC= ,OA=1,所以∠ AOC=60°,则∠AOB=120°,所以 2 1 → → OA?OB=1?1?cos 120°=- . 2 1 答案:- 2 2 2 6.已知圆 x +y +4x+10y+4=0. (1)证明点 B(1,-1)在圆上,并求出过点 B 的圆的切线方程. (2)证明点 C(1,0)在圆外,并求出过点 C 的圆的切线方程. 2 2 解:(1)因为 1 +(-1) +4?1+10?(-1)+4=0, 所以点 B(1,-1)在圆上.
[来源:学+科+网]

2

2

-1-(-5) 4 设圆心为 M,所以 kBM= = ,所以过点 B(1,-1)的圆的切线方程为 y+1= 1-(-2) 3 3 - (x-1).所以 3x+4y+1=0. 4 (2)因为|CM|= (1+2) +5 = 34>5=r(r 为已知圆的半径),所以点 C(1,0)在圆外. 设过点 C 与圆 M 相切的直线的方程为 y=k(x-1)(显然斜率存在),即 kx-y-k=0. 因 |-2k+5-k| 15 为圆与直线相切,所以半径 5= .所以 k=0 或 k=- . 2 8 1+k 所以切线方程为 y=0 或 15x+8y-15=0. 练习
2 2

1.若直线 + =1 与圆 x +y =1 有公共点,则( A.a +b ≤1 1 1 C. 2+ 2≤1
2 2

x y a b

2

2

)

a

b

B.a +b ≥1 1 1 D. 2+ 2 ≥1

2

2

a

b

解析:选 D.由题意知直线与圆相交或相切,故有
2 2

1 1

a

2



1

1 1 ≤1? 2+ 2≥1,故选 D.

a

b

b

2

2.过点(0,1)的直线与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( ) A.2 B.2 3 C.3 D.2 5 解析:选 B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知, 当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点 G(0,1)的连线与直线 AB 垂直时, |AB| 2 2 圆心到直线 AB 的距离取得最大值, d≤|OG|=1, 即 此时弦长最短, 即 ≥ R -d = 4-1 2 ?|AB|≥2 3,故选 B. 3.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则 圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 A.x +y -2x-3=0 B.x +y +4x=0 2 2 2 2 C.x +y +2x-3=0 D.x +y -4x= 0 解析:选 D.设圆心为(a,0),且 a>0,则(a,0)到直线 3x+4y+4=0 的距离为 2,即 |3?a+4?0+4| 14 2 =2?3a+4=±10? a=2 或 a=- (舍去),则圆的方程为:(x-2) +(y 2 2 3 3 +4 -0) =2 ,即 x +y -4x=0. → → 2 2 4.设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2) +y =3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y)满足OM?CM =0,则 =( A. 3 3
2 2 2 2

y x

) B. 3 3 或- 3 3

C. 3

D. 3或- 3

→ → 解析:选 D.∵OM?CM=0, ∴OM⊥CM,∴OM 是圆的切线. 设 OM 的方程为 y=kx, |2k| y 由 2 = 3,得 k=± 3,即 =± 3. x k +1

5.已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 2 2 2 解析:选 B.圆的标准方程为(x-3) +(y-4) =5 ,由题意得|AC|=2?5=10,|BD|= 1 1 2 2 2 5 -1 =4 6,且 AC⊥BD,四边形 ABCD 的面积 S= |AC|?|BD|= ?10?4 6=20 6.故 2 2 选 B. 2 2 2 6.若圆(x -3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直 线 4x-3y=2 的距离等于 1,则半 径 r 的取值 范围是( ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 解析:选 A.∵圆心 P(3,-5)到直线 4x-3y=2 的距离等于 5,由|5-r|<1 得 4<r<6. 2 2 2 2 7.(2009 年高考天津卷)若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________. 1 2 2 2 2 解析:x +y +2ay=6,x +y =4 两式相减得 y= .

2

2

a

?y=1, ? 联立? a ?x2+y2=4, ?
∴2 4a -1
2

4a -1 2 消去 y 得 x = 2 (a>0).

2

a

a

=2 3,解得 a=1.

答案:1 2 2 8.过点 M(1,2)的直线 l 将圆 A:(x-2) +y =9 分成两段弧,其中当劣弧最短时,直 线 l 的方程为______________. 解析:当劣弧最短时,MA 与直线 l 垂直. 答案:x-2y+3=0 2 2 9.(2009 年高考湖北卷)过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分 别为 P、Q,则线段 PQ 的长为________. 2 2 2 2 解析:圆 x +y -6x-8y+20=0 可化为(x-3) +(y-4) 5 =5.圆心(3,4)到原点的距离为 5.故 cosα = , 5 3 2 ∴cos∠PO1Q=2cos α -1=- , 5 3 2 2 2 2 ∴|PQ| =( 5) +( 5) +2?( 5) ? =16.∴|PQ|=4. 5 答案:4 2 2 10.已 知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 2 2 2 2 解:将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y-4) =4,则此圆的圆 心为(0,4),半径为 2. |4+2a| 3 (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 2 =2.解得 a=- . 4 a +1
[来源:Z#xx#k.Com]

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

?CD= a +1 , ? 得?CD +DA =AC =2 , ?DA=1AB= 2. ? 2
|4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7,或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 11.已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,半径 小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B,∠AOB=90°,求直线 l 的方程. 3+2 解:(1)直线 PQ 的方程为 y-3= ?(x+1) -1-4 即 x+y-2=0, 3-2 4-1 C 在 PQ 的中垂线 y- =1?(x- ) 2 2 即 y=x-1 上, 2 2 2 2 设 C(n,n-1),则 r =|CQ| =(n+1) +(n-4) , 2 2 2 由题意,有 r =(2 3) +|n| , 2 2 ∴n +12=2n -6n+17, 2 ∴n=1 或 5,r =13 或 37(舍去), 2 2 ∴圆 C 为(x-1) +y =13. (2)设直线 l 的方程为 x+y+m=0, ?x+y+m=0 ? 由? , 2 2 ? ?(x-1) +y =13 得 2x +(2m-2)x+m -12=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), m2-12 则 x1+x2=1-m,x1x2= , 2 ∵∠AOB=90°,∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0, 2 ∴m +m-12=0, ∴m=3 或-4(均满足 Δ >0), ∴l 为 x+y+3=0 或 x+y-4=0. 12.如右图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点),使得 PM= 2PN,试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程.
[来源:学科网]

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解:以 O1O2 的中点 O 为原点, O1O2 所在直线为 x 轴, 建立如图所示的坐标系, 则 O1(-2,0),O2(2,0). 由已知|PM|= 2|PN|, 2 2 ∴|PM| =2|PN| . 又∵两圆的半径均为 1, 2 2 所以|PO1| -1=2(|PO2| -1). 设 P(x,y), 2 2 2 2 即(x+2) +y -1=2[(x-2) +y -1],

[来源:学科网 ZXXK]

即(x-6) +y =33. ∴所求动点 P 的轨迹方程为 2 2 2 2 (x-6) +y =33(或 x +y -12x+3=0).
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

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