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专题6:概率与统计(理)高三复习经典教案含答案


专题六:概率与统计
【一、基础知识归类: 】
1、概率(范围) :0≤P(A) ≤1(必然事件:P(A)=1,不可能事件:P(A)=0) 2、互斥事件有一个发生的概率: A、B 互斥: P(A+ B)=P(A) +P(B); A、 B 对立:P(A)+P(B)=1 3、抽样方法(等概率

n 抽样) : (1)简单随机抽样、系统抽样(等距抽

样) 、分层抽样(等比例抽样) . N n 频率 (频数和样本容量的比) ;小长方形面积=组距× =频率, (面积 N 组距

4、频率分布直方图:组的 频率f ? 和为 1) ;

频率分布折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图;

? ? a ? bx ,过定点 P( x, y) . 5、回归直线 y
6、独立性检验(分类变量关系) :随机变量 K 2 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱. 7、排列、组合和二项式定理
m (1)排列数公式: An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= ( n ? m )! (m≤n, m、n∈ N*), n 当 m=n 时为全排列: An =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

n!

Am n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) (m≤n), C 0 ? C n ? 1 ; m (2)组合数公式: C n ? n ? n n m! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1
(3)组合数性质: Cn
m n ?m m m?1 m ? Cn ; Cn ? Cn ? Cn ?1 ;

0 n 1 n?1 1 k n ?k k n n (4)二项式定理: (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N ? ) r n ?r r ① 通项: Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1,2,...,n);

② 注意二项式系数与系数的区别;

(5)二项式系数的性质: ① 与首末两端等距离的二项式系数相等; ② 若 n 为偶数,中间一项(第 项)二项式系数最大; ③Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2 ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2
0 1 2 n n 0 2 1 3 n?1

n n ?1 n ?1 +1 项)二项式系数最大;n 为奇数,中间两项(第 和 +1 2 2 2

;

(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法. 8、随机变量的分布列:① 随机变量分布列的性质:P i≥0,i=1,2,…; ② 离散型随机变量: X P x1 P1 x2 P2 … … P 1 +P 2 +…=1; xn Pn … …

期望:EX = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn + … ; 方差:DX = ( x1 ? EX ) p1 ? ( x2 ? EX ) p2 ? ? ? ? ? ( xn ? EX ) pn ? ? ? ? ;
2 2 2

注: E(aX ? b) ? aEX ? b; D(aX ? b) ? a DX ;
2

③ 二项分布(独立重复试验) :若 X~B(n, p), 则 EX=np, DX=np(1- p);

k k 注: P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p) n?k .

9、条件概率:称 P( B | A) ?

P( AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率. P( A)

注:① 0 ? P(B|A) ? 1;② P(B∪ C|A)=P(B|A)+P(C|A) . 10、独立事件同时发生的概率: P(AB)=P( A)P( B) . 11、正态总体 N ( ?, ? ) 的概率密度函数: f ( x) ?
2
( x?? )2 2? 2

1 2? ?

e

?

, x ? R,

(1)式中 ? , ? 是参数,分别表示总体的平均数(期望值)与标准差; (2)正态曲线的性质: ① 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ② 曲线是单峰的,关于直线 x= ? 对称; ③ 曲线在 x= ? 处达到峰值

1

? 2?



④ 曲线与 x 轴之间的面积为 1; ⑤当 ? 一定时,曲线随 ? 值的变化沿 x 轴平移; ⑥当 ? 一定时,曲线形状由 ? 确定: ? 越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越集中; ? 越小, 曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散. 注:P (? ? ? ? x ? ? ? ? ) =0.6826;P ( ? ? 2? ? x ? ? ? 2? ) =0.9544; P (? ? 3? ? x ? ? ? 3? ) =0.9974.

【二、专题练习: 】
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,总分 60 分) 1. (北京市崇文区 2008 年高三统一练习)某班学生参加植树节活动,苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗, 从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内,同种树苗不能相邻,且第一个树坑和第 5 个树坑只能种 甲种树苗的种法共有( A.15 种 ) B.12 种 C.9 种 D.6 种

2. (四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有( A、56 个 B、57 个 ) C、58 个 D、60 个 )

3. 某班有一个 7 人小组, 现任选其中 3 人相互调整座位, 其余 4 人座位不变, 则不同的调整方案的种数为 ( (A)35 (B)70 (C)210 (D)105

4.从 6 人中选出 4 人参加数、理、化、英语比赛,每人只能参加其中一项, 其中甲、乙两人都不能参加英语 比赛,则不同的参赛方案种数共有( (A)96 种 (B)180 种 ) (D)288 种

(C)240 种

2

5.某服装加工厂某月生产 A 、 B 、 C 三种产品共 4000 件,为了保证产品质量,进行抽样检验,根据分层 抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件)

A

B
2300 230

C

由于不小心,表格中 A 、 C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品 的样本容量多 10 ,根据以上信息,可得 C 的产品数量是 A.80 B. 800 C.90 ( )

D.900

6. (高州市大井中学 2011 高三上期末考试)六名学生从左至右站成一排照相留念,其中学生甲和学生乙必 须相邻.在此前提下,学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是 ( )

1 30 1 C. 40
A. 产能耗 y (吨)的几组对应数据:

1 10 1 D. 20
B.

7. (2011· 汕头期末)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生

x
y
2.5

3

4

5 4

6 4.5 )

t

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值为( A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5

8 . 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N (?, ? 2 ) , 且 P( ? ? 2 ? ? X ??? ? 2 ?)

, 0.9 544

P(? ? ? ? X ? ? ? ? )? 0 . 6 8 ,若 2 6 ? ? 4 , ? ? 1 , 则 P(5 ? X ? 6) ? (
A.0.1358 B.0.1359 C.0.2716 D.0.2718



9. (2009 届高考数学二轮冲刺专题测试)若二项式 ? 3x 2 ? 中的常数项为 ( A. ?27C9 C. ?9C9
4 3

? ?

1? ? 的展开式中各项系数的和是 512,则展开式 x?

n

) B 27C9
3

D.9 C9

4

10. (2011 福州期末)如图所示,正方形的四个顶点分别为 O(0, 0), A(1, 0), B(1,1), C (0,1) ,曲线 y ? x 经
2

过点 B.现将一个质点随机投入正方形中,则质点落在图中阴影区域的概率是 A.





1 2

3

1 4 1 C. 3 2 D. 5
B. 11. (2010 届· 安徽省合肥高三四模(理) )从足够多的四种颜色的灯 泡中任选六个安置在如右图的 6 个顶点处,则相邻顶点处灯泡颜色 不同的概率为 A. ( B. )

12. (2011 锦州期末) 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用, 把 500 名使用血清的人与另外 500 名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H 0 :“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用 2 ? 2 列联表计算得 ? 2 ? 3.918 ,经查对临界值表知 P( ? 2 ? 3.841) ? 0.05 . 对此,四名同学做出了以下的判断:

228 46

240 46

C.

264 46

D.

288 46

p :有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

q :若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95% 的可能性得感冒

r :这种血清预防感冒的有效率为 95%

s :这种血清预防感冒的有效率为 5%
则下列结论中,正确结论的序号是( ① p ? ?q ; ③ (?p ? ?q) ? (r ? s) ; (A)①③ (B)②④ ) ② ?p ? q ; ④ ( p ? ?r ) ? (?q ? s) (C)①④ (D)都不对

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.(2009 杭州学军中学第七次月考)在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P ,则使点 P 到三个顶点的 距离至少有一个小于 1 的概率是 .
3 ,则 P (? ? 5) ? 4

14. (2011 巢湖一检)已知随机变量 ? ~ N (2,? 2 ) ,若 P(? ? ?1) ?



15. (2011 嘉禾一中)从颜色不同的 5 个球中任取 4 个放入 3 个不同的盒子中,要求每个盒子不空,则不 同的方法总数为____________. (用数字作答) 16 . ( 2009 届 福 建 省 福 鼎 一 中高 三 理 科 ) 若 (1 ? 2x)
2005

? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ... ? a2005 x2005 ( x ? R) , 则

(a0 ? a1) ? (a 0? a 2 ) ? (a 0 ? a )3? ... ? (a ? 0a
三、解答题(共 6 个小题,总分 74 分)

2005

)?

____. (用数字作答)

17. (2011汕头期末)四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2,把它们放在一个盒子里,从中任意摸 出两个小球,它们所标有的数字分别为 x 、 y ,记 ? ? x ? y ;

4

(Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)设“函数 f ( x) ? x 2 ? ?x ? 1 在区间 (2,3) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率.

18. (江门 2011 高三上期末调研测试)甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的 若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,具体成绩如下茎叶图所示,已知两同学这 8 次成绩的平均分都是 85 分. (1)求 x ;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定? (2)若将频率视为概率,对甲同学在今后 3 次数学竞赛成绩进行预测,记这 3 次成绩中高于 80 分的次 数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . 甲 乙

9 8

8
1

7
8 9

5

x

2

0 0

0
2

3 5

5

5

3

19. (揭阳市 2011 届高三上学期学业水平考试)为了解高中一年级学生身高情况,某校按 10%的比例对全 校 700 名高中一年级学生按性别进行抽样检查,测得身高频数分布表如下表 1、表 2. 表 1:男生身高频数分布表
身高(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)

频数

2

5

14

13
5

4

2

表 2:女生身高频数分布表
身高(cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180)

频数

1

7

12

6

3

1

(1)求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图;
频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
160 165 170 175 180 185 190

身高/cm

男生样本频率分布直方图

(2)估计该校学生身高(单位:cm)在[165,180) 的概率; (3)在男生样本中,从身高(单位:cm)在 [ 180,190) 的男生中任选 3 人,设 ? 表示所选 3 人中身高(单

位:cm)在 [180,185) 的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

20. (2011 东莞期末)为了调查老年人的身体状况,某老年活动中心对 80 位男性老年人和 100 位女性老年 人在一次慢跑后的心率水平作了记录,记录结果如下列两个表格所示, 表 1:80 位男性老年人的心率水平的频数分布表(单位:次/分钟) 心率水平

[80,90)

[90,100)

[100,110)

[110,120]

6

频数

10

40

20

10

表 2:100 位女性老年人的心率水平的频数分布表(单位:次/分钟) 心率水平 频数

[80,90)
10

[90,100)
20

[100,110)
50

[110,120]
20

(1)从 100 位女性老人中任抽取两位作进一步的检查,求抽到的两位老人心率水平都在 [100,110) 内的 概率; (2)根据表 2,完成下面的频率分布直方图,并由此估计这 100 女性老人心率水平的中位数;
频率 组距

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

80 90 100 110 120 心率 女性老年人心率水平频率分布直方图

(3)完成下面 2× 2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“这 180 位老人的心率 水平是否低于 100 与性别有关”. 表 3: 心率水平 性别 男性 女性 合计 附: K ?
2

心率小于 100

心率大于或等于 100

合计

a? c?
n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841

b? d? n ? 180

P(K 2 ? k0 )

0.010 6.635

0.001 10.828

k0

21.全球金融危机,波及中国股市,甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”,若四人商定在圈 定的 6 只股票中各自随机购买一只(假定购买时每支股票的基本情况完全相同) . (1)求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率; (2)求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率; (3) 由于中国政府采取了积极的应对措施, 股市渐趋“回暖”. 若某人今天按上一交易日的收盘价 20 元/股,

7

买入某只股票 1000 股,且预计今天收盘时,该只股票比上一交易日的收盘价上涨 10%(涨停)的概率为 0.6 持平的概率为 0.2, 否则将下跌 10% (跌停) , 求此人今天获利的数学期望 (不考虑佣金、 印花税等交易费用) .

22. (2011 苏北四市二调)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 , a, a (0 ? a ? 1) ,三人各射 击一次,击中目标的次数记为 ? . (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(? ? i) ( i =0,1,2,3)中, 若 P(? ? 1) 的值最大, 求实数 a 的取值范围.

1 2

参考答案
一、选择题 1.答案:D 2.解析:万位为 3 的共计 A44=24 个均满足;万位为 2,千位为 3,4,5 的除去 23145 外都满足, 共 3× A33 -1=17 个;万位为 4,千位为 1,2,3 的除去 43521 外都满足,共 3× A33-1=17 个;以上共计 24+17+ 17=58 个,答案:C

8

3. 【解析】选 B. 从 7 人中选出 3 人, 有 为 4.C × 2=70( 种).

种方法,3 人相互调整座位, 共有 2 种调整方案, 故总的调整方案种数

5. 【解析】选 B. 因为分层抽样是按比抽取,由 B 产品知比为 容量多 10 ,易得 C 产品的样本容量为 800. 6.C 7.由y ? 0.7 x ? 0.35得 8—12:B 二、填空题 B C C

1 ,再由 A 产品的样本容量比 C 产品 的样本 10

2.5 ? t ? 4 ? 4.5 3? 4?5? 6 11 ? t ? 0.7 ? ? 0.35 ? ? 3.5 ? t ? 3 ,选 A; 4 4 4
C

13.答案: 三、解答题

3? 6

14.答案:

1 4

15.答案 180

16.答案:2003

2 17. 解: (Ⅰ) 由题意可知随机变量 ? 的可能取值为 2, 3, 4, 从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为 C 4 ? 6,

1 , 6 1 当 ? ? 4 时,摸出小球所标的数字为 2,2, P (? ? 4) ? , 6 1 1 2 可知,当 ? ? 3 时, P (? ? 3) ? 1 ? ? ? ; 6 6 3
当 ? ? 2 时,摸出小球所标的数字为 1,1, P (? ? 2) ? 得 ? 的分布列为:

?
P

2

3

4

1 6

2 3

1 6

1 2 1 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 ; 6 3 6

( Ⅱ ) 由 “ 函 数 f ( x) ? x ? ?x ? 1 在 区 间 (2,3) 上 有 且 只 有 一 个 零 点 ” 可 知 f (2) f (3) ? 0 , 即
2

(3 ? 2? )(8 ? 3? ) ? 0 ,解得

3 8 ?? ? , 2 3

又 ? 的可能取值为 2,3,4,故 ? ? 2 ,

1 . 6 93 ? 95 ? 81 ? 82 ? 80 ? x ? 88 ? 78 ? 79 ? 85 18.解: (1)依题意 x甲 ? 8

?事件 A 发生的概率为

解得 x ? 4

9

由图中数据直观判断,甲同学的成绩比较稳定 (2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A ,则 P ( A) ?

6 3 ? 8 4

? 的可能取值为 0、1、2、3,且 ? ~ B (3 ,
所以变量 ? 的分布列为:
?

3 3 1 ) , P(? ? k ) ? C3k ( ) k ( ) 3? k ,其中 k ? 0、1、2、3 4 4 4

0

1

2

3

P

1 64

9 64

27 64

27 64

E? ? 0 ?

1 9 27 27 9 3 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? (或 E? ? np ? 3 ? ? ) 64 64 64 64 4 4 4
频率

19.解: (1)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10%可得全校男生人数为 400. 频率分布直方图如右图示:
0.07 组距 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 身高/cm
160 165 170 175 180 185 190

(2)由表 1、表 2 知,样本中身高在[165,180) 的学生人数为: 5+14+13+6+3+1=42,样本容量为 70 ,所以样本中

42 3 ? 学生身高在 [165,180) 的频率 f ? 70 5
故由 f 估计该校学生身高在 [165,180) 的概率 p ? (3)依题意知 ? 的可能取值为:1,2,3∵ P(? ? 1) ? ∴ ? 的分布列为:

3 . 5

0

男生样本频率分布直方图

1 2 1 3 C4 C4 C2 3 C4 1 1 , , ? P ( ? ? 2) ? ? P ( ? ? 3) ? ? 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

1 3 1 ? 的数学期望 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
20. 解: (1) 从 100 位女性老人中任抽取两位, 共有 C100 个等可能的结果, 抽到的两位老人心率都在 [100,110) 内的结果有 C50 个,由古典概型概率公式得所求的概率 p ?
2 2

2 C50 49 ? 2 C100 198

(2)频率分布直方图,略; 由 0.5 ? 10 ? (0.01 ? 0.02) ? 0.2 可估计,这 100 女性老人心率水平的中位数约 为 100 ? 10 ?

0.2 ? 104 . 0.05 ? 10

(3)2× 2 列联表, 表 3:

10

K2 ?

180 ? (50 ? 70 ? 30 ? 30)2 ? 19.0125 . 80 ?100 ? 80 ?100

由于 K 2 ? 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“这 180 位老人的心率水平是否低于 100 与性别有关” . 21. 【解析】 (1)四人恰好买到同一只股票的概率 P ? ? ? 1 ? 6?

1 1 1 1 1 ? . 6 6 6 6 216

2 2 C4 C2 2 2 3 A6 ? C4 A6 2 A2 135 (2)解法一:四人中有两人买到同一只股票的概率 P2 ? ? . 4 6 216

四人中每人买到不同的股票的概承率 P 3 ? 率 P ? P2 ? P 3 ?

4 A6 60 5 ? ? . 所以四人中至多有两人买 到同一只股票的概 4 6 216 18

135 60 195 65 ? ? ? . 216 216 216 72

3 2 C4 A6 20 5 ? ? . 解法二:四人中有三人恰好买到同一只股票的概率 P4 ? 4 6 216 54

所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率 P ? 1 ? P 1?P 4 ? (3)每股今天获利 ? 的分布列为:

195 65 ? . 216 72

?
P

2 0.6

0 0.2

?2
0.2

所以,1000 股股票在今日交易中获利的数学期望为1000 E? ? 1000 ? ? ? 2 ? 0.6 ? 0 ? 0.2 ? ? ?2? ? 0.2? ? ? 800

21.解:(1) P (? ) 是“ ? 个人命中, 3 ? ? 个人未命中”的概率. 其中 ? 的可能取值为0,1,2,3.
1? 0 0? 2 1 2 P(? ? 0) ? C1 ?1 ? ? C2 (1 ? a) ? (1 ? a) , 2 ? 2? 1 0 1? 1 1 2 0? P(? ? 1) ? C1 (1 ? a 2 ) , 1 ? C 2 (1 ? a) ? C1 ?1 ? ? C 2 a(1 ? a) ? 2 2 ? 2? 1 1 1? 2 2 1 0? P(? ? 2) ? C1 (2a ? a 2 ) , 1 ? C 2 a (1 ? a ) ? C1 ?1 ? ? C 2 a ? 2 2 ? 2?

11

2 2 P (? ? 3) ? C1 1 ? C2 a ?

1

2

a2 . 2

所以 ? 的分布列为

?

0
1 2

1
(1 ? a)2
1 2

2
(1 ? a 2 )
1 2

3

P
? 的数学期望为

(2a ? a2 )

a2 2

E? ? 0 ? (1 ? a ) 2 ? 1 ? (1 ? a 2 ) ? 2 ? (2a ? a 2 ) ? 3 ?
2 2 2

1

1

1

a2
2

?

4a ? 1 . 2

1 ??1 ? a2 ? ? (1 ? a)2 ? ? a(1 ? a) , ? 2? 1 1 ? 2a , P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? (1 ? a2 ) ? (2a ? a2 ) ? ? ? ? 2 2 1 1 ? 2a 2 2 2 ? . P (? ? 1) ? P (? ? 3) ? ? (1 ? a ) ? a ? ? 2? 2 ? ? a (1 ? a ) ? 0, ? 1 ? 1? ? 1 ? 2a ? 0, 和 0 ? a ? 1 ,得 0 ? a ? , 即 a 的取值范围是 ? 0, ? . 由? 2 ? 2? ? 2 2 ? 1 ? 2a ?0 ? ? 2
(2) P(? ? 1) ? P(? ? 0) ?

12


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