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高中数学【配套课件】第3章压轴题型突破练——函数与导数


数学

苏(文)

压轴题型突破练——函数与导数
第三章 导数及其应用

A组
1 2 3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1 相切的直线方程是____________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1

3x+y+2=0 相切的直线方程是____________. 解 析
设切点的坐标为(x0,x3+3x2-1), 0 0 则由切线与直线 2x-6y+1=0 垂直, 可得切线的斜率为-3,

又 f′(x)=3x2+6x,故 3x2+6x0=-3, 0
解得 x0=-1,于是切点坐标为(-1,1), 从而得切线的方程为 3x+y+2=0.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.三次函数 f(x)=mx3-x 在(-∞,+∞)上是减函数,则 m 的取值范围是___________.

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.三次函数 f(x)=mx3-x 在(-∞,+∞)上是减函数,则 m

(-∞,0) 的取值范围是___________. 解 析
f′(x)=3mx2-1,依题意可得 m<0.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最 小值分别为 M,m,则 M-m=________.

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最 小值分别为 M,m,则 M-m=________. 32

解 析
由题意得 f′(x)=3x2-12,令 f′(x)=0,
得 x=± 2,且 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3) =-1,所以 M=24,m=-8,M-m=32.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象如 图所示,则 x2+x2=________. 1 2

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象如 图所示,则 x2+x2=________. 1 2 3
?b=-3, ? 解得? ?c=2. ?

8

由图可知 f(1)=0,f(2)=0,

解 析 ∴f(x)=x3-3x2+2x,∴f′(x)=3x2-6x+2.
由图可知 x1,x2 为 f(x)的极值点,
2 ∴x1+x2=2,x1x2= . 3
4 8 2 2 2 ∴x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=4- = . 3 3

?1+b+c=0, ? ∴? ?8+4b+2c=0, ?

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1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

sin θ 3 3cos θ 2 5. 设 函 数 f(x)= x + · + tan θ, 其 中 x 3 2 ? 5π? ? θ∈?0, ?,则导数 f′(1)的取值范围是________. 12? ? ?

解 析

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1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

5. 设 函 数 f(x)=

sin θ 3 3cos θ 2 x + · + tan θ, 其 中 x 3 2
[ 2,2] f′(1)的取值范围是________.

? 5π? ? θ∈?0, ?,则导数 12? ? ?

解 析
∵f′(x)=sin θ·2+ 3cos θ· x x,
? π? ? θ=2sin?θ+3?. ? ? ?

∴f′(1)=sin θ+ 3cos

? 5π? π ?π 3π? ? ? ∵θ∈?0,12?,∴θ+ ∈?3, 4 ?, ? 3 ? ? ? ? ? ? π? ? ? ∴sin?θ+3?∈? ? ? ? ? ?

2 ? ? ,1?. 2 ?

∴f′(1)∈[ 2,2].

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1 2 3

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4

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5 6 7 8 9

6.已知 f(x)=(2x-x2)ex,给出以下四个结论: ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};②f(- 2)是极小值,f( 2)是极 大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值;④f(x)有最大值, 没有最小值. 其中判断正确的序号是________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.已知 f(x)=(2x-x2)ex,给出以下四个结论: ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};②f(- 2)是极小值,f( 2)是极 大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值;④f(x)有最大值, 没有最小值.

①②④ 其中判断正确的序号是________.
f(x)>0?2x-x2>0?0<x<2,∴①正确.
由 f(x)=(2x-x2)ex,得到 f′(x)=(2-x2)ex, 解 析 令 f′(x)=0,得到 x1=- 2,x2= 2,
∵在(-∞,- 2)和( 2,+∞)上 f′(x)<0,f(x)单调递减;
在(- 2, 2)上 f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值,故②正确. 由题意知,f( 2)为最大值,且无最小值, 故③错误,④正确.

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1 2 3

A组
4

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7.把一个周长为 12 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体 积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为________.

解 析

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.把一个周长为 12 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体

2∶1 积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为________. 解 析
6-x 设圆柱高为 x,底面半径为 r,则 r= ,圆柱体 2π ?6-x? 1 3 ? ?2 2 积 V=π? ? x=4π(x -12x +36x)(0<x<6), ? 2π ?
3 V′= (x-2)(x-6). 4π

当 x=2 时,V 最大.此时底面周长为 6-x=4,4∶2 =2∶1.

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1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

8.(13 分)已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R), g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值 与最小值.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分)已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R), g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值 与最小值. 解 (1)由题意得 f′(x)=3ax2+2x+b,
因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.

因为函数 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),

解 1 析 从而 3a+1=0,b=0,解得 a=-3,b=0,

即对任意实数 x,有 a(-x)3+(3a+1)(-x)2+ (b+2)· (-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],

1 3 2 因此 f(x)的表达式为 f(x)=- x +x . 3 1 3 (2)由(1)知 g(x)=- x +2x,所以 g′(x)=-x2+2. 3

令 g′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(13 分)已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R), g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值 与最小值.
则当 x<- 2或 x> 2时,g′(x)<0,
从而 g(x)在区间(-∞,- 2 ), 2,+∞)上是减函数;

当- 2<x< 2时,g′(x)>0,
从而 g(x)在区间(- 2, 2)上是增函数. 解 由上述讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值

析 只能在 x=1, 2,2 时取得,
5 4 2 4 而 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= , 3 3 3 4 2 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= , 3
4 最小值 g(2)= . 3

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1 2 3

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4

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9.(14 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), 且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m x +1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(14 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), 且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m x +1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5),
∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0).

解 ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 析 由已知,得 6a=12,∴a=2,
∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 37 (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0 x 3 设 h(x)=2x -10x2+37,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(14 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), 且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m x +1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).

解 析

? 10? ? 当 x∈?0, 3 ?时,h′(x)<0,h(x)是减函数; ? ? ? ?10 ? ? 当 x∈? 3 ,+∞?时,h′(x)>0,h(x)是增函数. ? ? ? ?10? 1 ? ? ∵h(3)=1>0,h? 3 ?=- <0,h(4)=5>0, 27 ? ? ? 10? ?10 ? ? ? ∴方程 h(x)=0 在区间?3, 3 ?, 3 ,4?内分别有唯一实数 ? ? ? ? ? ? ?

根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(14 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), 且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m x +1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.
37 ∴存在唯一的自然数 m=3,使得方程 f(x)+ =0 在区 x 解 间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根.



练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

练出高分
1
1.函数

B组
2

专项能力提升
4
5 6 7 8

3

? 3 ? ? f(x)在定义域?- ,3?内的图 ? ? 2 ?

象 如 图 所 示 , 记 f(x) 的 导 函 数 为 f′(x),则不等式 f′(x)≤0 的解集 为______________.

解 析

练出高分
1
1.函数

B组
2

专项能力提升
4
5 6 7 8

3

? 3 ? ? f(x)在定义域?- ,3?内的图 ? ? 2 ?

象 如 图 所 示 , 记 f(x) 的 导 函 数 为 f′(x),则不等式 f′(x)≤0 的解集
? 1 ? ? - ,1?∪[2,3) ? 3 ? 为______________. ? ?

解 析
不等式 f′(x)≤0 的解集即为函数 f(x)的单调减区间, 从图象中 ? 1 ? ? 可以看出函数 f(x)在?-3,1?和[2,3)上是单调递减的,所以不 ? ? ? ? 1 ? ? 等式 f′(x)≤0 的解集为?-3,1?∪[2,3). ? ? ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

2.已知函数 f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2-1)(x-x0),那么函数 f(x)的单调减区间是 0 ______________________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

2.已知函数 f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2-1)(x-x0),那么函数 f(x)的单调减区间是 0

(-∞,-1),(1,2) ______________________. 解 析
根据函数 f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为 y- y0=(x0-2)(x2-1)(x-x0), 可知其导数 f′(x)=(x-2)(x2-1)=(x 0 +1)(x-1)(x-2),令 f′(x)<0 得 x<-1 或 1<x<2.因此 f(x)的单调 减区间是(-∞,-1),(1,2).

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

3.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数, 记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立, 则称函数 f(x) ? π? ? 在 D 上为凸函数,以下四个函数在?0, ?上不是凸函数的是 2? ? ? ________.(填序号) ①f(x)=sin x+cos x ②f(x)=ln x-2x ③f(x)=-x3+2x-1 ④f(x)=-xe-x

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

3.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数, 记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立, 则称函数 f(x) ? π? ? 在 D 上为凸函数,以下四个函数在?0, ?上不是凸函数的是 2? ? ? ________.(填序号) ①f(x)=sin x+cos x ②f(x)=ln x-2x ③f(x)=-x3+2x-1 ④f(x)=-xe-x
对于①,f(x)=sin x+cos x, 则 f″(x)=-sin x-cos x<0
? π? ? 在?0,2?上恒成立, ? ? ?

解 故此函数为凸函数; 析 对于②,f(x)=ln x-2x,

? π? 1 ? 则 f″(x)=- 2<0 在?0,2?上恒成立,故此函数为凸函数; ? x ? ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

3.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数, 记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立, 则称函数 f(x) ? π? ? 在 D 上为凸函数,以下四个函数在?0, ?上不是凸函数的是 2? ? ? ④ ________.(填序号) ①f(x)=sin x+cos x ②f(x)=ln x-2x ③f(x)=-x3+2x-1 ④f(x)=-xe-x
对于③,f(x)=-x3+2x-1, ? π? ? 则 f″(x)=-6x<0 在?0,2?上恒成立,故此函数为凸函数; ? ? ? 解 对于④,f(x)=-xe-x, ? ? 析 则 f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x>0 在?0,π?上恒成立, 故此函 ? 2? ? ?

数不是凸函数.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

4. 已知函数

?π? f(x)=f′? ?cos ?4 ? ? ?

x+sin x, 则

?π? f? ?的值为________. ?4 ? ? ?

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

4. 已知函数

?π? f(x)=f′? ?cos ?4 ? ? ?

x+sin x, 则

?π? 1 f? ?的值为________. ?4 ? ? ?

解 析
因为
?π? f′(x)=-f′?4?sin ? ? ? ?

x+cos x,
?π? π π +cos ?f′?4?= 2-1, ? ? 4 4 ? ?

所以

?π? ?π? ? ? f′?4?=-f′?4?sin ? ? ? ? ? ?



?π? ?π? ? ? f?4?=f′?4?cos ? ? ? ? ? ?

π π ?π? +sin ?f?4?=1. 4 4 ? ? ? ?

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

5.函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2)处的切线与 x 轴的交点 k 的横坐标为 ak+1,其中 k∈N*.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值 是________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

5.函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2)处的切线与 x 轴的交点 k 的横坐标为 ak+1,其中 k∈N*.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值 是________. 21

解 析
因为 y′=2x, 所以过点(ak, 2)处的切线方程为 y-a2=2ak(x-ak). ak k 又该切线与 x 轴的交点为(ak+1,0), 1 所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列, 2
1 首项 a1=16,其公比 q= , 2 所以 a3=4,a5=1.所以 a1+a3+a5=21.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

6. 若函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1 在区间(0,4)上是减函数, 则 k 的取值范围是________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

6. 若函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1 在区间(0,4)上是减函数,
1 则 k 的取值范围是________. 3

解 析
f′(x)=3kx2+6(k-1)x.
?k≥0, ? 由题意,知? ?f′?4?≤0 ?

?k<0, ? 或? 6?k-1? ?- 2×3k <0, ?

1 解得 k≤ . 3

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 辽宁)设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 辽宁)设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5
3 (1)证明 方法一 记 g(x)=ln x+ x-1- (x-1), 2 1 1 3 则当 x>1 时,g′(x)= + - <0. x 2 x 2 3 又 g(1)=0,所以有 g(x)<0,即 f(x)< (x-1). 2 x 1 方法二 当 x>1 时,2 x<x+1,故 x< + . 2 2 1 令 k(x)=ln x-x+1,则 k(1)=0,k′(x)= -1<0, x 故 k(x)<0,即 ln x<x-1. 3 由①②得,当 x>1 时,f(x)< (x-1). 2

解 析





练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 辽宁)设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5
9?x-1? (2)证明 方法一 记 h(x)=f(x)- , x+5 1 1 54 由(1)得 h′(x)= + - x 2 x ?x+5?2

解 2+ x x+5 ?x+5?3-216x 54 54 析 = - < - = . 2x ?x+5?2 4x ?x+5?2 4x?x+5?2
令 G(x)=(x+5)3-216x,则当 1<x<3 时, G′(x)=3(x+5)2-216<0,

因此 G(x)在(1,3)内是减函数. 又由 G(1)=0,得 G(x)<0,所以 h′(x)<0.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 辽宁)设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5
因此 h(x)在(1,3)内是减函数.

又 h(1)=0,所以 h(x)<0.

解 9?x-1? 于是当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 析
方法二 记 h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1), 则当 1<x<3 时,由(1)得 h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9
?1 1 ? 3 ? ? < (x-1)+(x+5)· + ? x 2 x?-9 2 ? ? 1 = [3x(x-1)+(x+5)(2+ x)-18x] 2x

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

7.(14 分)(2012· 辽宁)设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5
因此 h(x)在(1,3)内单调递减.

又 h(1)=0,所以 h(x)<0,

解 9?x-1? 即 f(x)< . x+5 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

8.(14 分)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

8.(14 分)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.
解 1 1 (1)a= 时,f(x)=x(ex-1)- x2, 2 2

解 析

f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.

故 f(x)在(-∞, -1),(0, +∞)上单调递增, 在(-1,0)上单调递减.
(2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a.
若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

8.(14 分)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.
而 g(0)=0,从而当 x≥0 时,g(x)≥0,即 f(x)≥0.

解 析

若 a>1,则当 x∈(0,ln a)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,
而 g(0)=0,从而当 x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即 f(x)<0.

综合得 a 的取值范围为(-∞,1].



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