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2015年理科数学试题


2015 年理科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z ? A.第一象限

1 对应的点位于( ) 3?i
C.第三象限 D.第四一象限

B.第二象限

2.条件 p : x ? 1

? 2 ,条件 q :

1 ? 1,则 ? p 是 ? q 的( ) 3? x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件 3.平面内有一长度为 4 的线段 AB ,动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 6 ,则 | PA | 的取值范围 ( ) A [1,5] B. [1,6] C. [2,5] D. [2,6]

4. 已 知 非 零 向 量 AB, AC 和 BC 满 足 ( △ABC 为( ) A.等边三角形

AB AB

?

AC AC

) BC ? 0,且

AC BC AC BC

?

2 ,则 2

B.等腰非直角三角形

非等腰三角形

D.等腰直角三角形

5.已知函数 f ( x) ? a ? A. (?? ,2) B. (2,?? )

f ( x) ? 2 1 ? 2 的解集为( ) ,若 f ( x) 为奇函数,则不等式 x 2 2x
C. (??,?2)
2 2

D. (?2,?? )

6.已知直线 x ? y ? a与圆x ? y ? 4 交于 A、B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,其 中 o 为原点,则实数 a 的值为( ) A.2 B.-2 2 或-2 D. 6或 ? 6

7.已知多面体 ABC—DEFG 中(如图) ,AB、AC、 AD 两两互相垂直, 平面 ABC//平面 DEFG, 平面 BEF// 平面 ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则这个多面 体的体积为( ) A.2 B.4 6 D.8

8. 设 实 数 x , y 满 足

?x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?

,则

u?

x2 ? y 2 的取值范围是( ) xy
A. [2, ]

5 2

B. [ ,

5 10 ] 2 3

[2,

10 ] 3

D. [ , 4] )

1 4

2 2 9.关于 x 的不等式 cos x ? lg(1 ? x ) ? cos x ? lg(1 ? x ) 的解集为(

A. (—1,1)

B. ( ?

?

, ?1) (1, ) 2 2

?

(?

? ?

, ) 2 2

D. (0,1)

10.如图,正三棱锥 ABCD 内接于球 O,底面边长为 3 ,侧棱 长为 2,则球 O 的表面积为( ) A.

64? 3

B.

32? 3

C.

16? 3

D.

8? 3

11.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右支上存在一点 P , 使点 P 到左准线的距离与它到右焦点的距 a2 b2

离相等,那么该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. (1, 3 ? 1] B. (1, 2 ? 1] C. (1, 3 ? 1) D. (1, 2 ? 1)

12. 如 图 , ?PAB 所 在 的 平 面

? 和 四 边 形 ABCD 所 在 的 平 面 ? 垂 直 , 且 ?
A D

AD ? ? , BC ? ? , AD ? 4 , BC ? 8 , AB ? 6 ,?APD ? ?CPB ,
则点 P 在平面 ? 内的轨迹是( ) A.圆的一部分 C.双曲线的一部分 B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

P
B

?

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题纸的空格中. 13.有 4 个同学分别来自 2 个不同的学校,每一个学校 2 人,他们排成一行,要求同一个 学校的人不能相邻,则他们不同的排法有______.(结果用数字表示) 14.若 C27
3 n ?1 n?6 ? C27 (n ? N * ), ( x ?

3

2 n ) 的展开式中的常数项是 x

.(用数字作答)

? x 2 ? 1, x ? 1 ? 15. 已 知 函 数 f ( x) ? ? ax 在 x ?1 处连续, f , x ?1 ? ?x ?1

?1

( x) 为 函 数 f ( x ) 的 反 函 数 , 则

f ?1 (?2) 的值为 ______.
16.已知不等式 m2 ? (sin 2 ? ? 4)m ? 3cos2 ? ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在

ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a、b、c(b ? 1), 且

sin B C , 都是方程 sin A A

log

b

x ? logb (4x ? 4) 的根,求角 A、B、C 的值.

18. (本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有标号分别为 2,3,4 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后 .. 抽得两张卡片的标号分别为x、y,记 ? ? x ? 3 ? y ? x . (I)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1,BC=2,又 PB⊥平面 ABCD, 且 PB=1,点 E 在棱 PD 上. (I)求异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小; (Ⅱ)在棱 PD 上是否存在一点 E ,使 BE⊥平面 PCD? (Ⅲ)求二面角 A—PD—B 的大小.

20.(本小题满分 12 分) 已知点集 L ? {( x, y ) y ? m n} ,其中 m ? (2x ? 1,1), n ? (1,2) ,点列 Pn (a n , bn ) 在 L 中, P1 为 L 与 y 轴的公共点,等差数列 {a n } 的公差为 1. (I)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 若 c n ?

5 n P1 Pn

(n ? 2), c1 ? 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和 S n 满足 M ? n 2 S n ? 6n 对任意的

n ? N * 都成立,试求 M 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x)? (a 2 x? bx ? ) cx 其中 e, 为自然对数的底 e , , a为 , b常 c 数,若函数

f ( x)在x ? ?2处取得极值 , 且 lim
x ?0

f ( x) ? c ? ?4. x

(I)求实数 b、c 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

3 x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e=2. 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直 平分线过定点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围.

1 8

参考答案
1-12.DAADB CBCAC BA 17.解:? log 13.8 14.-80 15. ?

1 3

16. m ? 0 或 m ? 3

b

x ? logb x 2 ( x ? 0)
?4 x ? 4 ? 0 ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 ?x ? 4x ? 4 ?( x ? 2) ? 0 ?log b x ? log b (4 x ? 4)
sin B C ? ? 2 ? C ? 2 A且 sin B ? 2 sin A ,有正弦定理得 b=2a sin A A

∴ 原不等式等价于 ?

? x1 ? x2 ? 2, ?

? C ? 2 A ? sin C ? sin 2 A ? 2 sin A cos A 即 c ? 2a cos A ? 2a ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

? bc2 ? ab2 ? ac2 ? a 3 又? b ? 2a, ? 2c 2 ? b ? c 2 ? a 2即a 2 ? b ? b 2
? B ? 90? ? A ? C ? 3 A ? 90? ,? A ? 30?, B ? 90?, C ? 60?
18.解:(I)∵ z,y 可能的取值为 2、3、4, ∴x ? 3 ? 1 , y ? x ? 2

? ? 3 ,且当 x=2,y=4,或 x=4,y=2 时, ? ? 3 . ∴
3∵ 有放回地抽两张卡片的所有情况有 3× 3=9 种, ∴ P(? ? 3) ?

因此,随机变量 ? 的最大值为

2 . 9 2 答:随机变量的最大值为 3,事件“ ? 取得最大值”的概率为 . 9
(II) ? 的所有取值为 0,1,2,3.

? =0 时,只有 x=3,y=3 这一种情况, ∵

? =1 时,有 x=2,y=2 或 x=3,y=2 或 x=3,y=4 或 x=4,y=4 四种情况, ? =3 时,有 x=2,y=3 或 x=4,y=3 两种情况.
∴ P(? ? 0) ?

1 4 2 , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ………………………………(10 分) 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 9

4 9

2 9

2 9

因此,数学期望 E? ? 0 ? ? 1?

1 9

4 2 2 14 ? 2 ? ? 3 ? ? .…………………….(12 分) 9 9 9 9

19.解:如图,以 B 为原点,分别以 BC、BA、BP 为 x,y、z 轴,建立空间直角坐标系, 则 B(0,0,0), C(2,0,0), A(0,1,0), D(1,1,0), P(0,0,1), 又DE ? 2PE

1 1 2 ? E ( , , ) (1) PA ? (0,1, ?1), CD ? (?1,1,0) 3 3 3

? cos ? PA, CD ??

PA CD 1 1 ? ? ?异面直线PA与CD所成的角为60? . | PA | | CD | 2 2 2
2 3

(2) 可设 DE ? ? DP ,则 BE ? BD ? ? DP ,由 BE ? DP ? 0, BE ? PC ? 0 得 ? ? (3)设平面 PAD 的一个法向量为 n 0 ? ( x, y, z ), 则由?

? ?n 0 PA ? 0

?y ? z ? 0 . 得? x ? y ? z ? 0 n PD ? 0 ? ? ? 0

令 z ? 1, 则n 0 ? (?2,1,1). 又BP ? (0,0,1) ,设平面 PBD 的法向量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ),

? ?n 1 BP ? 0 ? z1 ? 0 则由 ? 得? n PD ? 0 ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? 1 ?

令 x1 ? 1,则n1 ? ( 1, ? 1, 0 )

?cos ? n 0 , n1 ??

n 0 n1 ?2 ?1 ? 1? (?1) 3 ?? n 0 , n1 ?? 120? ? ?? 2 | n 0 | | n1 | 6 2

又二面角 A—PD—B 为锐二面角,故二面角 A—PD—B 的大小为 60 ? . 20.解: (1)由 m ? (2x ? 1,1), n ? (1,2)得:y ? m ? n ? 2x ? 1

? L:y ? 2 x ? 1,P ,故an ? n ? 1 ,bn ? 2n ? 1(n ? N *) 1 (0,1),即a1 ? 0,b1 ? 1

P1 Pn ? (n ? 1,2n ? 2), ? P1 Pn ? 5 (n ? 1) (2)当 n ? 2时,Pn (n ? 1,2n ? 1),
故 cn ?

5 n P1 Pn

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 则 S n ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )?2? n(n ? 1) n ? 1 n 2 2 3 n ?1 n n

1 M ? n 2 S n ? 6n可化为M ? n 2 (2 ? ) ? 6n, n 7 49 要使M ? 7 n ? 2n 2 ? ?2(n ? ) 2 ? 对任意n ? N * 都成立, 4 8
只须M ? 6,当且仅当n ? 2时等号成立,即 M的取值范围为 M ?6
21.解: (1) f ?( x) ? (2ax ? b)e ? (ax ? bx ? c)e ? [ax ? (b ? 2a) x ? b ? c]e
x 2 x 2 x

由 f ?(?2) ? 0 ? 4a ? 2(b ? 2a) ? b ? c ? 0 ? b ? c, …………4 分 由 lim
x ?0

f ( x) ? c ? 4得到 : f ?(0) ? 4, 所以 b ? c ? 4 , 所以 b=2,c=2; …6 分 x
2

(2)由题意知道 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0在x ? [1,2] 时恒成立,

2x ? 4 2x ? 4 在x ? [1,2] 时恒成立, 设 g ( x) ? ? 2 , x ? [1,2], 2 x ? 2x x ? 2x 2 则 g ( x) ? ? 在区间[1,2]上单调递增 , 所以 g ( x)的最大值为 g (2) ? ?1, ……10 分 x
即a ? ? 所以 a ? ?1. …………12 分

22. 解:由题意椭圆的离心率 ? e ?

c 1 ? a ? 2c ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 ∴椭圆方程为 ? a 2

3 2 ( ) 3 x y 1 2 ? 2 ? 1 又点 (1, ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 ? c 2 ? 1 2 2 4c 3c 4c 3c
2 2

x2 y2 ? ? 1 ……4 分 ∴ 椭圆的方程为 4 3
(Ⅱ )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 3 ? y ? kx ? m ?

消去 y 并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx? 4m2 ?12 ? 0 ……6 分 ∵ 直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 3 ……8 分
又 x1 ? x2 ? ?

8km 3 ? 4k 2

? MN 中点 P 的坐标为 (?

4km 3m , ) ……9 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

设 MN 的垂直平分线 l ' 方程: y ? ?

1 1 (x ? ) k 8
即 4k ? 8km ? 3 ? 0
2

? p 在l'上

?

3m 1 4km 1 ? ? (? ? ) 2 2 3 ? 4k k 3 ? 4k 8

?m ? ?

1 (4k 2 ? 3) ……11 分 8k

将上式代入得

(4k 2 ? 3) 2 ? 4k 2 ? 3 64k 2

?k2 ?

1 20

即k ?

5 5 或k ? ? 10 10

? k 的取值范围为 (??,?

5 5 ) ? ( ,??) 10 10


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