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《综合法与分析法》参考教案


综合法与分析法
教学目的: 1 掌握综合法、分析法证明不等式;
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2 熟练掌握已学的重要不等式;
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3 增强学生的逻辑推理能力
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教学重点:综合法、分析法 教学难点:不等式性质的综合运用 一、复习引入: 1.重要不等式: 如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号) 2.定理:如果 a,b 是正数,那么
a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2
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a?b 2 a 2 ? b2 3 公式的等价变形:ab≤ ,ab≤( ) 2 2
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4.

b a ? ≥2(ab>0) ,当且仅当 a=b 时取“=”号; a b

5.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与 0 的关系——结论 比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与 1 的关系——结论 二、讲解新课: (一)1.综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何 平均数定理) 和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常 叫做综合法
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2.用综合法证明不等式的逻辑关系是: A ? B1 ? B2 ?

? Bn ? B

3.综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学 定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法
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(二)1 分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这 个不等式成立的条件, 把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果 能够肯定这些条件都已具备, 那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做 分析法
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2.用分析法证明不等式的逻辑关系是: B ? B1 ? B2 ?
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? Bn ? A

3.分析法的思维特点是:执果索因 4.分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真,

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只需要证明命题 B1 为真,从而有…… 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有…… …… 这只需要证明命题 A 为真
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而已知 A 为真,故命题 B 必为真

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例 1:已知 a , b 是正数,且 a ? b ,求证: a 3 ? b3 ? a 2b ? ab2 转化尝试, 就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件,到一个明显或易证 其成立的充分条件为止. 其逻辑关系是: B ? B1 ? B2 ? 证明:∵ a ? 0, b ? 0, 且a ? b ∴要证 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ,只要证 (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? ab(a ? b) , 只要证 a 2 ? ab ? b2 ? ab ,只要证 a 2 ? 2ab ? b2 ? 0 . ∵ a ? b ? 0 ,∴ (a ? b)2 ? 0 即 a 2 ? 2ab ? b2 ? 0 得证. 注:分析法的思维特点是:执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用 分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那 样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通 联想尝试,就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不 等式及不等式性质做适当变形,推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是:

? Bn ? A

A ? B1 ? B2 ?

? Bn ? B

法二:证明:∵ a ? 0, b ? 0, 且a ? b ∴ a 3 ? ab2 ? 2a 2b , b3 ? ba 2 ? 2ab2 , ∴ a 3 ? ab2 ? b3 ? ba 2 ? 2a 2b ? 2ab2 ,∴ a 3 ? b3 ? a 2b ? ab2 法三
a3 ? a3 ? b3 ? aab 3
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注:综合法的思维特点是:执因索果. 基本不等式以及一些已经得证的不等式往 往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证 明的方向.尝试时贵在联想,浮想联翩,思潮如涌。 例 2.(P23 例 1)已知 a, b, c 是不全相等的正数,求证

a(b2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b2 ) ? 6abc
证明:∵ b 2 ? c 2 ≥2bc,a>0, ∴ a(b 2 ? c 2 ) ≥2abc 同理 b(c 2 ? a 2 ) ≥2abc ① ② ③

c(a 2 ? b 2 ) ≥2abc

因为 a,b,c 不全相等,所以 b 2 ? c 2 ≥2bc, c 2 ? a 2 ≥2ca, a 2 ? b 2 ≥2ab 三式 不能全取“=”号,从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴ a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc 法二: ab2 ? bc2 ? ca2 ? 33 a 3b3c 3 法三: ab2 ? ac2 ? bc2 ? ba2 ? ca2 ? cb2 ? 66 法四: ab2 ? ?ba2 ? 2 法五: a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 33 a(b 2 ? c 2 )b(c 2 ? a 2 )c(a 2 ? b 2 ) 例 3(P23 例 2).已知 a1 , a2 ,?an ? R? ,且 a1a2 ?an ? 1 ,求证
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( 1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2n
改变:同样的条件,怎样证明: (2 ? a1 )(2 ? a2 )?(2 ? an ) ? 3n 证明:? a1 ? R? ,?
1 ? a1 ? 1 ? a1 ? a1 即 2

1 ? a1 ? 2 a1 ,同理 1 ? a2 ? 2 a2 …… 1 ? an ? 2 an
因为 a1 , a2 ,?an ? R? ,由不等式的性质,得

( 1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2 n a1a2 ?an ? 2 n
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因为 ai ? 1 时,1 ? ai ? 2 ai 取等号,所以原式在 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 时取等 号 变式:已知 a1 , a2 ,?an ? R? ,且 a1a2 ?an ? 1 ,求证

(2 ? a1 )(2 ? a2 )?(2 ? an ) ? 3n
例 4、 (P24 例 3)求证 2 ? 7 ? 3 ? 6 证(略) 四、课堂练习: 1. 设 a, b, c ? R, 1?求证: a 2 ? b 2 ?
2 ( a ? b) 2

2?求证: a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 (a ? b ? c) 3?若 a + b = 1, 求证: a ?

1 1 ? b? ?2 2 2


证:1?∵

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) ?0 2 2

a2 ? b2 a?b a?b ?| |? 2 2 2

∴ a2 ? b2 ?

2 ( a ? b) 2 2 (b ? c) , 2 c2 ? a2 ? 2 (c ? a ) 2

2?同理: b 2 ? c 2 ?

三式相加: a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 (a ? b ? c) 3?由幂平均不等式:
1 1 1 ( a? ? b? )? 2 2 2 1 1 (a ? ) ? (b ? ) 2 2 ? 2 (a ? b ? 1) ? 2 2 ?1 2

∴ a?

1 1 ? b? ?2 2 2

2.已知 a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 )
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分析一:用分析法 证法一:(1)当 ac+bd≤0 时,显然成立
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(2)当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 即证 a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcd≤b2c2+a2d2 即证 0≤(bc-ad)2 因为 a,b,c,d∈R,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法 证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 ) ≥|ac+bd|≥ac+bd 故命题得证 五、课后作业 P25 习题
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