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高三压轴测试卷二


高三高考测试题(文科) (二)
一、选择题
1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3? ,则 A A. ?1? B. ?2,3? C. ?4,5?

(CU B) =
开始

D. ?3?

S ?0

2.“ a

? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay ? 0 相互垂直”的

k ?0
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.复数 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 2i ( i 是虚数单位)表示复平面内的点位于 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2 S? ? 3


是 输出 k 结束 (第4题)

A.第一象限

k ? k ?1

4.执行如图所示的程序框图,那么输出的 k 为 A.l B.2 C.3 D.4 5 将函数 y ? sin x 的图像各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再把所得图像向右平移

S ?S?

1 k ? k ? 1?

π 个单位长度,所得图像的函数解析式是 10 π π A. y ? sin(2 x ? ) B. y ? sin(2 x ? ) 10 5 1 π 1 π ) C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin( x ? 2 10 2 20

?2 x ? y ? 0 ? 6.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值是 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A. 5 B. 4 C. 3 D. 0

7.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m // ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? C.若 m // ? , n ? ? , m ? n, 则? / / ?
2 2

B.若 m // ? , n ? ? , m / / n, 则? ? ? D.若 m // ? , n ? ? , m / / n, 则? / / ?

8.直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M、N 两点,若|MN|≥ 2 3 ,则 k 的取 值范围是 A. [? ,0]

3 4

B. [?

3 3 , ] 3 3

C. [? 3, 3]

D. [? ,0]

2 3

9.若△ ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 OA ? AB ? OC ? 0 ,且 OA ? AB , 则 CA ? CB ? A. 3 B.

3

C.

3 2

D. 2 3

10.已知 A, B 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1的两个顶点,点 P 是双曲线上异于 A, B 的一点,连接 4

x2 P, O O 为坐标原点)交椭圆 ? y 2 ? 1于点 Q ,如果设直线 PA, PB, QA 的斜率分别为 4

k1 , k2 , k3 ,
A.1

且 k1 ? k2 ?

?15 ,假设 k3 ? 0 ,则 k3 的值为( 8 1 B. C. 2 2

) D.4

二、填空题
11.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2,高为 3, 俯视图是 半径为 1 的圆,则该几何体的体积是_______.

12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况, 抽查了100名同学, 统计他们每天平均学习时间, 绘成 频率分布直方图 (如图) , 则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 13.设正整数 m, n 满足 4m ? n ? 30 ,则 m, n 恰好使曲线方程 上的椭圆的概率是 14.已知双曲线 . .
2 2 2

x

m

?

y

n2

? 1 表示焦点在 x 轴

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 相切, 则该双曲 a 2 b2

线的离 心率为_________. 15.已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 3 y ? xy ? 9 ,则 x ? 3 y 的最小值为 .

2 16. 点 P 是 曲 线 y ? x ? ln x 上 任 意 一 点 , 则 点 P 到 直 线 y ? x ? 4 的 最 小 距 离



.

17.设函数 y ? f ( x), x ? R 的导函数为 f ?( x), 且 f ( x) ? f (? x), f ?( x) ? f ( x) , 则下列三个 数: ef (2), f (3),e2 f (?1) 从小到大依次排列为 . (e 为自然对数的底数)

三、解答题
18.( 本 题 满 分 14 分 ) 在 三 角 形 ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b ,c ,且

a cos C ? 3 sin C ? b
(I)求角 A 的大小;(II)若 a ? 1 ,且三角形 ABC 的周长为 3+ 3 ,求三角形 ABC 的面积

?

?

19. (本题满分 14 分)已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项 和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn .

20. (本题满分 14 分)如图,在△ ABC 中, ? C ? 90? , AC ? BC ? 3a ,点 P 在 AB 上,
PE // BC 交 AC 于 E , PF // AC 交 BC 于 F .沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE ,使平面

A' PE ? 平面 ABC ;沿 PF 将△ BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC .
(Ⅰ)求证: B' C // 平面 A' PE ; (Ⅱ)若 AP ? 2PB ,求二面角 A'? PC ? E 的平面角的正切值.
C

E

A

A'

B' F B P F B
(第 20 题)

C

E

A

P

21.(本题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a .
2

(Ⅰ)当 a ? 2 ,求函数 f (x)的极值点; (Ⅱ)当 1 ? x ? 2 时,不等式 f ( x) ? 1 成立,求 a 的范围.

22.(本题满分 15 分)己知点 F 为抛物线 C : y ? x 的焦点,斜率为 1 的直线 l 交抛物线于
2

不同两点 P, Q .以 F 为圆心,以 FP, FQ 为半径作圆,分别交 x 轴负半轴于 M , N ,直线

PM , QN 交于点 T .
(I)判断直线 PM 与抛物线 C 的位置关系,并说明理由; (II)连接 FT , FP , FQ ,记 S1 ? S 截距为 m ,当 m 为何值时,
PFT

, S2 ? S

QFT

, S3 ? S

PQT

,设直线 l 在 y 轴上的

S1S 2 取得最小值,并求出取到最小值时直线 l 的方程. S3
y P

T M N O F Q (第 22 题) A x

参考答案
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 D 6 B 7 B 8 B 9 A 10 C

二、填空题:本大题共有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 2 π 15. 6 12. 30 16. 2 2 13. 17.

1 7

14.

2

f (3), ef (2), e2 f (?1)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.解: (I)由正弦定理得: sin A(cos C ? 3 sin C) ? sin B 又 sin B ? sin( A ? C ) 化简得: 3sin A sin C ? cos Asin C

Q sin C ? 0 故

tan A ?

? 3 A? 6 3 ,

(II)根据题意得 ?

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ?l ? a ? b ? c
? 3 2

A?


?
6

,a ?1

, l ? 3 ? 3 代入解得: bc ? 2 3,? S

ABC

19.解: (I)因为 {an } 是首项为 a1 ? 19, 公差 d ? ?2 的等差数列, 所以 an ? 19 ? 2(n ? 1) ? ?2n ? 21 ,

Sn ? ?n2 ? 20n
(II)由题意 bn ? an ? 3n?1 , 所以 bn ? an ? 3n?1 ,

Tn ? S n ? (1 ? 3 ? ? ? 3 n ?1 ) ? ?n 2 ? 20n ? 3n ? 1 . 2

20.解: (Ⅰ)因为 FC // PE , FC ? 平面 A' PE ,所以 FC // 平面 A' PE . 因为平面 A' PE ? 平面 PEC ,且 A' E ? PE ,所以 A' E ? 平面 ABC .

同理, B' F ? 平面 ABC ,所以 B' F // A' E ,从而 B' F // 平面 A' PE . 所以平面 B' CF // 平面 A' PE ,从而 B' C // 平面 A' PE . (Ⅱ)因为 AC ? BC ? 3a , AP ? 2BP , 所以 CE ? a , EA? ? 2a , PE ? 2a , PC ? 5a . 过 E 作 EM ? PC ,垂足为 M,连结 A?M .

A'

B' F B

C

E

M

A

P
(第 20 题)

由(Ⅰ)知 A' E ? 平面ABC ,可得 A? E ? PC , 所以 PC ? 面A?EM ,所以 A? M ? PC . 所以 ?A' ME 即为所求二面角 A'? PC ? E 的平面角,可记为 ? . 在 Rt△ PCE 中,求得 EM ? 所以 tan? ?
A? E 2a ? ? 5. EM 2 5a 5
2 5 a, 5

21、(Ⅰ ) 解: (Ⅰ)由题意,
3 2 2 ? ? ?x ? 2x , x ? 2 ?3x ? 4 x, x ? 2 ' f ( x) ? x 2 | x ? 2 |? ? 3 , ? f ( x ) ? ? 2 2 ? ? ?? x ? 2 x , x ? 2 ??3x ? 4 x, x ? 2

4 ? 4? ?4 ? f ( x) 单调性: ? ??,0? 递减, ? 0, ? 递增, ? , 2 ? 递减, ? 2, ??? 递增,所以 0, 2 为极小值点, 3 ? 3? ?3 ?
极大值点. (Ⅱ)设此最小值为 m. ①当 a ? 1时, 在区间 [1, 2]上, f ( x) ? x ? ax .
3 2

因为 f ?( x) ? 3 x ? 2ax ? 3x( x ?
2

2 a) ? 0, x ? (1,2), 3

则 f ( x) 是区间[1,2]上的增函数,所以 m ? f (1) ? 1 ? a.

②当 1 ? a ? 2时, 在区间 [1,2]上, f ( x) ? x 2 | x ? a |? 0,由f (a) ? 0 知 m ? f (a) ? 0. ③当 a ? 2时, 在区间[1,2]上, f ( x) ? ax ? x , f ?( x) ? 2ax ? 3 x ? 3 x( a ? x).
2 3 2

2 3

若 a ? 3, 在区间 (1,2)内f ?( x) ? 0, 从而f ( x)为区间 [1,2] 上的增函数,

2 a ? 2. 3 2 2 当 1 ? x ? a时, f ?( x) ? 0, 从而 f ( x)为区间[1, a ] 上的增函数; 3 3 2 2 当 a ? x ? 2时, f ?( x) ? 0, 从而 f ( x)为区间[ a,2] 上的减函数. 3 3
由此得 m ? f (1) ? a ? 1. 若 2 ? a ? 3, 则1 ? 因此,当 2 ? a ? 3时, m ? f (1) ? a ?1或m ? f (2) ? 4(a ? 2), 当2 ? a ? 当

7 时,4(a ? 2) ? a ? 1, 故m ? 4(a ? 2) ; 3

7 ? a ? 3时, a ? 1 ? 4(a ? 2), 故m ? a ? 1 3

当a ? 1时 ?1 ? a, ? 当1 ? a ? 2时 ?0, ? 7 综上所述,所求函数的最小值 m ? ?4(a ? 2) 当2 ? a ? 时 3 ? ? 7 当a ? 时 ?a ? 1, 3 ?
解不等式 f ( x) ? 1,? a ?

9 或a ? 0 4

解法二:先特殊值缩小范围,再参数分离求最值.


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