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浅谈数学教学中直觉思维能力的培养


浅谈数学教学中直觉思维能力的培养 直觉思维是指具有意识的人脑对于数学对象、结构及规律性关系 的敏锐的想象和迅速的判断。 它具有快速性、 直接性和跳跃性等特点。 它的结果表现为灵感和顿悟,能够直接达到对数学现象本质规律的认 识。长期以来,在数学教学中,我们常常重视逻辑思维,偏向于演绎推 理,赋予学生“再现性思维” ,或者说是“过去的数学” ,使学生的创 造力受到制约。其实,历史上很

多发现都来源于直觉思维。布鲁纳说 过: “学校的任务就是引导学生掌握‘直觉’这种天赋。 ”可见直觉思维 对于数学问题的解决,起着非常重要的作用。那么,如何培养学生的 直觉思维能力呢?现就自己平时的一些做法,谈一谈不成熟的看法。 一、 教会学生联想,培养直觉思维能力。' 思维的灵活性是建立在善于联想的基础上的。在很多问题中,只有 善于“由此思彼”的人,才能想出有新意的解决办法来。联想是一种 创造性思维,是产生直觉的先导,教会学生如何联想,是培养学生直觉 思维能力的一种主要方法。 在平时的教学中,应注意做适当的启发,不失时机的引到学生对 所面临的问题进行联想, 例如: 求函数 y
? 2 ? sin x 2 ? cos x

的最大值和最小值。

这道题可以利用函数的有界性来解决,但是计算起来比较繁琐,于是 可引导学生进行联想,你能仔细观察它的外形结构,想想和我们学过 的什么公式类似?学生会想到直线的斜率公式,从而转化为(2,2) 点与(cosx,sinx)点的连线的斜率。又由于点(cosx,sinx)在单位圆上, 也就进一步转化为苴线和圆的位置关系,使问题得到简化解决。

又如:在解决向量和解析几何综合问题时,由于是坐标把它们联系 在一起,因此,解决这类问题时,遇到向量马上联想到把它转化成坐标, 与解析几何挂起钩来,使问题得到解决。 其实这样的例子很多,在教学中,只要师生在一起,能够很好的归 纳和总结基础知识和基本思想方法,联想就会丰富起来,否则联想将变 成无源之水,无本之木。 二、 教会学生数形结合,培养直觉思维能力。 数与形在一定条件下是可以转化的,数形结合思想是解决数学问 题的一种重要方法,也是解决问题的一种有效途径。在数学教学中,要 重点突出它的价值所在,因为它有助学生直觉思维的产生与培养。 例如: A ? ? x | 1 ? 设
x ? 3? , 又设

B 是关于 x 的不等式组 ? ?
B

?x ?x ?

2

? 2x ? a ? 0 ? 2 bx ? 5 ? 0

2

的解集,试确定 a、b 的取值范围,使 A ?

.

学生见到这个题,首先想到解两个不等式,然后一连串的繁琐计 算使学生很是无奈,结果还是未算出来或未算对。此时,可以引导学 生分析: A ?
B

,即 A 是 B 的真子集。A 中的 x 的取值能够使不等式

组中的每一个不等式都成立。而不等式的左边可以看成一个二次函 数, x
2

? 2x ? a ? 0

翻译成图形语言为:函数 f(x)= x

2

? 2x ? a

的图像在 x
x ? 3

轴的下方或 x 轴上。因此,原题翻译成图形语言为:当 1 ? 函数 f(x)= x
2

时,

? 2x ? a

和函数 g(x)= x

2

? 2 bx ? 5

图像落在 x 轴的下方或 x 且?
? g (1 ) ? 0 ? g (3) ? 0

轴上。则二次函数的图像必须满足 ?

? f (1 ) ? 0 ? f (3) ? 0

如图所示 解之,得 a≤-3 且 b≥3 以上例子通过对研究的问题从几何图形上视觉化,使问题得到简化。 在教学中,对于数形结合,我们从开始就有意识的对学生加以培养,学 生一旦形成习惯,在处理很多问题时,就会很自觉地向图形方面转化, 从而利用“形”的直观解决问题。 三、 教会学生对问题的整体考虑,培养直觉思维能力。 整体性是直觉思维的一个重要特性。而数学问题中,有很多是需 要从整体出发,对问题进行考虑,寻找问题的内在规律,使问题迅速获 得解决。因此,在数学教学中,可有意识的在这方面加以引导。 例如:在等差数列 ?a ? 中,若 3 ? a
n 3

? a 5 ? ? 2 ? a 7 ? a 10 ? a 13

??

24

,求 s 。
13

分析:由 s

13

?

13 ? a 1 ? a 13 2

?

及性质 a ,即

1

? a 13 ? a 7 ? a 7

可知,只需从已知
a n ? a m ? ? n ? m ?d

条件出发求出

a7 ? a7

2a7

即可,由公式

得 ,

a 3 ? a 7 ? ?3 ? 7 ?d ? a 7 ? 4 d a 10 ? a 7 ? ?10 ? 7 ? d ? a 7 ? 3 d 3 ?? a 7 ? 4 d ? ? ? a 7 ? 2 d

, 同 理 , ,

a 5 ? a 7 ? ?5 ? 7 ?d ? a 7 ? 2 d

a 13 ? a 7 ? ?13 ? 7 ? d ? a 7 ? 6 d

, 由 已 知 有
7

?? ? ? a 7

? ? a 7 ? 3 d ? ? ( a 7 ? 6 d ) ? ? 24

,整理得 6 a
? 26

? 6 a 7 ? 24



即2a

7

? 4

,? s

13

?

13 ? a 1 ? a 13 2

?

?

13 ? a 7 ? a 7 2

?

?

13 ? 4 2



记得当我提示到这时,便有学生又有了解决办法: a
a 7 ? a 10 ? a 13 ? 3 a 10 a 1 ? a 13 ? 4

3

? a5 ? 2a4



, 于 是 原 式 化 为 6a

4

? 6 a 10 ? 24

,? a

4

? a 10 ? 4

,即

,更是简单。 ,

四、 教会学生反思,培养直觉思维能力。 数学技能和能力的形成是离不开做题的。而要让学生有效的提 高分析问题,解决问题的能力,除了在课堂上做完外,之后的反思也是 必不可少的。因为它可以帮助学生总结经验和规律,形成技能,提高能 力。 例如:在讲椭圆的定义时,由于课本上只给出当 2a>2c 时的情况, 而对于 2a=2c,2a<2c 的情况没有作进一步的探讨。于是,可利用这个 契机,及时地提出以下问题引导学生进行反思: (1)平面内到两定点的距离之和等于这两个定点的距离的点的轨迹存 在吗?若存在,轨迹是什么?若不存在,说明理由。 (2)平面内到两定点的距离之和小于这两个定点间的距离的点的轨迹 存在吗?若存在,轨迹是什么?若不存在,说明理由。 通过这样的反思,可以让学生深刻的理解这个概念的外延和内涵, 更好地揭示这个概念的本质,从而掌握好概念。另一方面,也能使学生 直觉思维得到进一步的训练,提高学生学习数学的兴趣。 五、 教会学生归纳猜想,培养直觉思维能力。 猜想是创造思维的源泉。对所给的问题进行归纳和概括,猜想和论 证,也是解决数学问题的一种有效途径。因此,我们教会了学生猜想,也 就在某种意义上,培养了学生的直觉思维能力。教会学生猜想,有很多

途径,例如可以通过观察和类比进行引导、也可以通过从数字或元素 的特征进行引导、还可以采用试验或由一般到特殊等等方面进行引 导。 例如在讲反函数的图像间的关系时,可叫学生分别求下列函数 的反函数:(1)y=3x-2(x∈R)(2)y= x
3

(x ? R)

(3)y= x

2

(x ? 0)

,再让学生分别

在同一个坐标系内作出它们的图像。通过观察、类比,让学生去猜想 “互为反函数的图像有怎样的关系”?学生立即会猜出“关于 y=x 对 称”,同时由反函数图像上的点可求原函数图像上的点;由原函数的图 像可画出反函数图像;原函数和反函数具有相同的单调性;可由互为 反函数的性质巧妙地解决相关问题,这些性质学生也很快便猜出。 直觉思维是人类的一种思维方式,但要注意,直觉思维是不可和逻 辑思维分开的。二者必须有机的渗透结合起来,相互补充,才能不断的 提高学生的直觉思维能力,优化学生的解题思路,从而使学生的思维更 加具有创造性。


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