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二次函数值域


二次函数区间上的值域和最值问题
1.函数 y ? x ? x ? 1 在 [ ?1,1] 上的最小值和最大值分别是(
2



( A) 1 ,3

(B)

3 ,3 4

(C) ?

1 ,3 2

(D) ?

1 ,3 4

2.函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 在区间 [1,4] 上的最小值是(



( A) ? 7

(B) ? 4

(C ) ? 2

( D) 2

3.函数 y ?

8 的最值为( x ? 4x ? 5
2



( A) 最大值为 8,最小值为 0
(C)最小值为 0, 不存在最大值

( B ) 不存在最小值,最大值为 8 ( D) 不存在最小值,也不存在最大值

4.若函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x , x ? [0,4] 的取值范围是______________________

5.已知函数 f ( x ) ? ax ? (2a ? 1) x ? 3(a≠ 0) 在区间[ ?
2

3 , 2] 上的最大值是 1,则实 2

数 a 的值为

6.已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围
2

___________

2 7.若 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 1 ,那么 2 x ? 3 y 的最小值为__________________

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二次函数区间上的值域和最值问题
2 2 8. 设 m ? R, x1 , x2 是方程 x ? 2mx ? 1 ? m ? 0 的两个实根, 则 x1 的最小值______ ? x2
2 2

9.已知 f ( x) ? x ? ax ?
2

a ,在区间 [0,1] 上的最大值为 g (a ) ,求 g (a ) 的最小值。 2

10.(2009 江苏卷)设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) | x ? a | . (1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. ....

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二次函数区间上的值域和最值问题

参考答案(仅供参考)
1. B 6. [1,2] 2. C 7. 3. B 4. [0,2) 5. a ? ?

3 ?3 ? 2 2 或a ? 4 2

3 4

8. 1

9. g(a)的最小值为

1 2

10. 【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识, 考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

?a ? 0 (1)若 f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ? ? a ? ?1 2 ?a ? 1
(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ,
f ( x)min
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

2 f (?a), a ? 0 ? ??2a , a ? 0 当 x ? a 时, f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x) min ? ? ?? 2 ? ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 , ? ? 4a2 ?12(a2 ? 1) ? 12 ? 8a2 当a ? ?

6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 或a ? 2 2
2
? ?x ? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 )( x ? )?0 3 3

a? 当 ? 6 ? a ? 6 时,△>0,得: ? ?( x ?

2

讨论得:当 a ? ( 2 , 6 ) 时,解集为 (a, ??) ;
2 2
2 2 当 a ? (? 6 , ? 2 ) 时,解集为 (a, a ? 3 ? 2a ] ? [ a ? 3 ? 2a , ??) ;

2

2

3

3

当 a ? [? 2 , 2 ] 时,解集为 [ a ? 3 ? 2a , ??) .
2

2

2

3

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