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【2013揭阳二模纯word版】广东省揭阳市2013届高三第二次模拟(数学理)


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揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填

写在答 题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的 答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? {x | y ? A. [0, ??)

2 x ? 1} ,则 CU A ?
C. (0, ??) D. (??, 0]

B. (??, 0)

2.若 (1 ? 2ai )i ? 1 ? bi ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | =

A.

1 ?i 2

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

3.已知点 A (?1,5) 和向量 a =(2,3) ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)

4.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? 则 m 的值为 A.37 B.36 C.20

? a9 ,
正视图 侧视图

D.19

5.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示,则该几何体的体积为
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A.7 B.

22 3

圆您梦想 47 C. 6

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D.

23 3

图(1)

俯视图

6.已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为 x ? ln( x ? 1)

7.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教,每 所学校至少安排一名,其中甲、乙因属同一学科,不能安排在同一所学校,则不同的安排方法种数为 A.18 B.24 C.30 D.36

8. 设 f ( x) 是 定 义 在 ( 0,1 ) 上 的 函 数 , 对 任 意 的 y ? x ? 1 都 有 f (

y?x 1 1 ) ? f ( )? f ( ) ,记 xy ? 1 x y

an ? f (

8 1 ? , 则 )( n ? N ) ai = ? n 2 ? 5n ? 5 i ?1

A. f ( )

1 2

B. f ( )

1 3

C. f ( )

1 4

D. f ( )

1 5

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.若点 (a, ?1) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,则 tan
3

4? 的值为 a



10.过双曲线

x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 9 16
元件1

.

11.某个部件由两个电子元件按图(2)方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,则部件正常工作,设两个电子元件的使 用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N (1000,50 ) ,且各个 元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为
2

元件2

图(2) .

12.已知函数 f ( x) ? 4 | a | x ? 2a ? 1 .若命题: “ ?x0 ? (0,1) ,使 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取 值范围为 .

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13.已知点 P ( x, y ) 满足 ?

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?0 ? x ? 1, 则点 Q ( x ? y, y ) 构成的图形的面积为 ?0 ? x ? y ? 2.



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线过圆 C: ? ? 2 2 cos(? ? 且与直线 OC 垂直,则直线的极坐标方程为 .
D C

?
4

) 的圆心 C,

15.(几何证明选讲选做题) 如图(3)所示, C , D 是半圆周上的两个 三等分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E , BD 与 CE 相交于 点 F ,则 BF 的长为 .
A

F o 图3 E B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 17. (本小题满分 12 分) 某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,设取出的 3 箱中,第一、二、 三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品. (1)在取出的 3 箱中,若该用户从第三箱中有放回的抽取 3 次(每次一件),求恰有两次抽到二等品的概 率; (2)在取出的 3 箱中,若该用户再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验,用ξ 表示抽检的 6 件产品中 二等品的件数,求ξ 的分布列及数学期望.

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

18. (本小题满分 14 分)

2, 3, ) 数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, ,且 a1,a2,a3 成公比不为的等比数
列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求最小的自然数 n ,使 an ? 2013 .
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19. (本小题满分 14 分)

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在图(4)所示的长方形 ABCD 中, AD=2AB=2,E、F 分别为 的中点, MB 、N 两点分别 C AD、BC F 在 AF 和 CE 上运动,且 AM=EN= a (0 ? a ?

2).
D

N E C

M

图 ( 4) A

把长方形 ABCD 沿 EF 折成大小为 ? 的二面角 A-EF-C, 如图(5)所示,其中 ? ? (0,

?
2

]
D N F M 图 ( 5) E A B

(1)当 ? ? 450 时,求三棱柱 BCF-ADE 的体积; (2)求证:不论 ? 怎么变化,直线 MN 总与平面 BCF 平行; (3)当 ? ? 900 且 a ? 的余弦值.

2 . 时,求异面直线 MN 与 AC 所成角 2

20. (本小题满分 14 分)
y l t

如图(6)已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为,焦点为 F,
2

B

圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点作倾斜角 为

?
3

X
O F

的直线 t,交于点 A,交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2


A

M

(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)设 G , H 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个不同点,且

OG ? OH ? 0 ,求 ?GOH 面积的最小值;

图(6)

(3) 在抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线 m : y ? k ? x ? 1?? k ? 0 ? 对称?若存在, 求出直线 m 的 方程,若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x) ? x n (1 ? x) 2 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,
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1 2

) .
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(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式;

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(3)证明:对任意 n ? N * ( n ? 2 ),都有 an ?

1 成立. (n ? 2) 2

揭阳市 2013 年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:BCDA DACC

解析:1.由 2 x ? 1 ? 0 得 x ? 0 ,? A ? [0, ??) ,故选 B.

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2.由 (1 ? 2ai )i ? 1 ? bi 得 ? a ? ?

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1 5 ,选 C. , b ? ?1 ?| a ? bi |? a 2 ? b 2 ? 2 2

3.设 B ( x, y ) ,由 AB ? 3a 得 ? 4.由 am ? a1 ? a2 ?

?x ?1 ? 6 ,所以选 D. ?y ?5 ? 9

? a9 得 (m ? 1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选 A.
1 1 23 ,故选 D. ? 1? 1? 1 ? 3 2 3

5.依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为. 23 ? 2 ? ? 6.令 g ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,则 g '( x) ? 1 ?

1 x ,由 g '( x) ? 0, 得 x ? 0, 即函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单 ? x ?1 x ?1

调递增,由 g '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 ,即函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,所以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 有最 小值, g ( x) min ? g (0) ? 0 ,于是对任意的 x ? (?1, 0)

(0, ??) ,有 g ( x) ? 0 ,故排除 B、D,因函数 g ( x)

在 (?1, 0) 上单调递减,则函数 f ( x) 在 (?1, 0) 上递增,故排除 C,所以答案选 A.
2 3 3 7.四名学生中有两名分在一所学校的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被分在同一所学校的有 A3 种,所

2 3 3 A3 ? A3 ? 30 .故选 C. 以不同的安排方法种数是 C4

8. 因 an ? f (
8

? (n ? 3) ? (n ? 2) ? 1 1 1 )? f ? )? f ( ) ,故 ? ? f( n ? 5n ? 5 n?2 n?3 ? (n ? 3)(n ? 2) ? 1 ?
2

?a
i ?1

i

? a1 ? a2 ?

1 1 1 1 ? a8 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 3 4 4 5

1 1 ? f ( )? f ( ) 10 11

1 1 11 ? 3 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,故选 C. 3 11 11? 3 ? 1 4
二.填空题:9.

3 1 1 3 ;10. 4 x - 3 y - 20 = 0 ;11. ;12. a ? (或 a ? ( , ??) ) ;13.2; 4 2 2

14. ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 (或 ? cos(? ? ? ) ? 2 ) ;15. 4 解析:9.依题意得 a ? 3 ,则 tan 10. 双曲线

2 3 . 3

4? 4? = tan ? 3. a 3

4 x2 y 2 渐近线的方程为 y ? ? x , 所以所求直线方程为 y = 4 ( x - 5), 即 = 1 的右焦点为 (5, 0) , 3 9 16 3

4 x - 3 y - 20 = 0 .
11.两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,50 ) 得:两个电子元件的使用寿命超过 1000 小时 的概率均为 p ?
2

1 3 2 ,则该部件使用寿命超过 1000 小时的概率为: P 1 ? 1 ? (1 ? p ) ? 2 4
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v 2

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v=u v=u-1

12.由“ ? x 0 ? (0,1) ,使得 f ( x 0 ) ? 0 ”是真命题,得 f (0) ? f (1) ? 0 ?

1 a?0 a?0 或? ?a? . (1 ? 2a)(4 | a | ?2a ? 1) ? 0 ? ? ? ? 2 ?(2a ? 1)(2a ? 1) ? 0 ?(6a ? 1)(2a ? 1) ? 0
13.令 x ? y ? u , y ? v ,则点 Q (u , v) 满足 ?

o 1 -1 2 u=2

u

?0 ? u ? v ? 1, ,在 uov 平面内画 ?0 ? u ? 2.

出点 Q (u , v) 所构成的平面区域如图,易得其面积为 2. 14.把 ? ? 2 2 cos(? ? ? ) 化为直角坐标系的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,圆心 C 的坐标为(1,1) ,与直线 4 OC 垂直的直线方程为 x ? y ? 2 ? 0, 化为极坐标系的方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或 ? cos(? ? ? ) ? 2 4 15.依题意知 ?DBA ? 30 ,则 AD=2,过点 D 作 DG ? AB 于 G,则 AG=BE=1,所以 BF ? 三.解答题: 16.解: (1)函数 f ( x) 要有意义,需满足: cos x ? 0 , 解得 x ?

2 3 . 3

?
2

? k? , k ? Z ,------------2 分

即 f ( x) 的定义域为 {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } -------------------------------------4 分

? 2 2 1 ? 2 sin(2 x ? ) 1 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 4 ? 2 2 (2)∵ f ( x) ? --------6 分 ? cos x cos x cos x

?

2 cos 2 x ? 2sin x cos x ? 2(cos x ? sin x) -------------------------------------------------8 分 cos x

4 4 ,得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 3 3 9 3 4 ∴ cos 2 ? ? ,∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? , sin ? ? ? ---------------------10 分 25 5 5 14 ∴ f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ? .-----------------------------------------------------------12 分 5
由 tan ? ? ? 17. 解: (1)设 A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取 3 次(每次一件) ,恰有两次取到二等品” , 依题意知,每次抽到二等品的概率为 ---------------2 分
2 故 P ( A) ? C3 ( )2 ?

2 5

,-------

2 5

3 36 . ? 5 125

------------------------------------------5 分

(2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3.----------------------------------6 分
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2 2 C C 4 3 18 9 P(ξ =0)= · = = , 2 2 100 50 C5 C5

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1 2 2 1 1 C C C C · C 4 3 4 3 2 12 P(ξ =1)= · + · = , 2 2 2 2 25 C5 C5 C5 C5

1 1 1 2 2 1 2 C4 C3· C2 C4 C2 15 C4 C2 1 P(ξ =2)= · + · = , P(ξ =3)= · = .-----------------------------10 分 2 2 2 2 50 2 2 25 C5 C5 C5 C5 C5 C5 ξ 的分布列为 ξ P 0 9 50 1 12 25 2 15 50 3 1 25 --------------------------------11 分 12 15 1 数学期望为 Eξ =1× +2× +3× =1.2.-------------------------------------------------------12 分 25 50 25 18.解: (1) a1 ? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c ,
2

--------------------------------1 分

∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) , --------------------------------2 分 解得 c ? 0 或 c ? 3 . --------------------------------3 分

当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 .-------------------------------4 分 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,?? an ? an ?1 ? (n ? 1)c ,

n(n ? 1) c .--------------------------------6 分 2 3 3 又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n 2 ? n ? 2)(n ? 2, 3, ) .-------------------------8 分 2 2 3 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? (n 2 ? n ? 2)(n ? N ? ) .--------------------------------9 分 2 3 (3)由 an ? 2013 得 (n 2 ? n ? 2) ? 2013 ,即 n 2 ? n ? 1340 ? 0 --------------------------10 分 2
得 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

∵ n ? N ? ,∴ n ?

1 ? 4 335 1 ? 4 ?18 1 ? ? 36 --------------------------------11 分 2 2 2

令 n ? 37 ,得 a37 ? 2001 ? 2013 ,令 n ? 38 得 a38 ? 2112 ? 2013 ----------------------13 分 ∴使 an ? 2013 成立的最小自然数 n ? 38 .--------------------------------14 分 19.解: (1)依题意得 EF ? DE , EF ? AE ,? EF ? 平面 ADE , ?DEA = ? -------2 分 由 ? ? 45 得, S ?ADE ?

1 2 , DE ? EA sin 45 ? 2 4
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∴ VBCF ? ADE ? S ?ADE ? EF ?

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C 2 ----------------------------------------------------------------------4 分 N1 4 D N F M M1 B

(2)证法一:过点 M 作 MM 1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M 1 N1 ,------------5 分 ∵ MM 1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM 1 / / NN1 又∵

E

A

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? AB FA CE EF

∴ MM 1 ? NN1 --------------------------------7 分

∴四边形 MNN1M 1 为平行四边形,--------------------------------------------------------8 分
C 分 ? MN / / N1M 1 , 又MN ? 面BCF , N1M 1 ? 面BCF , ? MN / / 面BCF . --------------------10

【法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则

CN FM FG ? ? D, NE MA GE
E

N

F M

B

? NG / / CF --------------------------------------------------------------6 分
又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / / 面BCF ,------------7 分
同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG ∵MN ? 平面 MNG,

G A

NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF-------------9 分

? MN // 面BCF .----------------------------------------------------10 分】
C Q D N F M E A B

(3)法一:取 CF 的中点为 Q,连结 MQ、NQ,则 MQ//AC, ∴ ?NMQ 或其补角为异面直线 MN 与 AC 所成的角,--------11 分

∵ ? ? 900 且 a ?

1 2 3 2 1 . ∴ NQ ? , MQ ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2 2

? MN ?

2 , ---------------------------------------------------------------------12 分 2

QM 2 ? MN 2 ? NQ 2 6 ? cos ?NMQ ? ? . 2 MN ? QM 3
即 MN 与 AC 所成角的余弦值为

6 .--------------------------------14 分 3

【法二:∵ ? ? 900 且 a ?

2 . 2

分别以 FE、FB、FC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系. --------------11 分 则 A(1,1, 0), C (0, 0,1), M ( , , 0), N ( , 0, ), 得 AC ? ( ?1, ?1,1), MN ? (0, ? , ), ----12 分
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1 1 2 2

1 2

1 2

1 1 2 2

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? cos ? AC , MN ??

1 3? 2 2

?

6 ,……………………………………………13 分 3

所以与 AC 所成角的余弦值为 20. 解:(1)∵

6 .…………………………………………………14 分】 3

p 1 ? OA cos 60 ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 , 2 2
--------------------------------2 分

∴所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x

2 2 ∴设圆的半径为 r,则 r ? OB ? 1 ? 2 ,∴圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 .--------------4 分 2 cos 60

(2) 设 G ? x1 , y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,由 OG ? OH ? 0 得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0
2 ∵ y12 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,∴ x1 x2 ? 16 ,

--------------------------------6 分

2 2 1 1 2 2 2 2 ∵S ?GOH ? 1 OG OH ,∴ S ? = 1 ? x12 ? 4 x1 ?? x2 OG OH ? ? x12 ? y12 ?? x2 ? y2 ? 4 x2 ? ? GOH ? 2 4 4 4

=

1? 1 2 2 x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 x1 x2 ? ? ?? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? 2 x1 x2 ? 16 x1 x2 ? =256 ? ? 4? ? 4?

∴ S ?GOH ? 16 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 2 时取等号, ∴ ?GOH 面积最小值为 16 .-------------------------------------------9 分 (3) 设 P? x3 , y 3 ?, Q? x 4 , y 4 ? 关于直线 m 对称,且 PQ 中点 D? x 0 , y 0 ? ∵ P? x3 , y 3 ?, Q? x 4 , y 4 ? 在抛物线 C 上,∴
2 2 y3 ? 4 x3 , y4 ? 4 x4

两式相减得: ? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ? --------------------------------11 分 ∴ y3 ? y4 ? 4 ?

x3 ? x4 4 ? ? ?4k ,∴ y0 ? ?2k y3 ? y4 k PQ

∵D? x 0 , y 0 ? 在 m : y ? k ? x ? 1?? k ? 0 ? 上 ∴ x0 ? ?1 ? 0 ,点 D? x 0 , y 0 ? 在抛物线外--------------------------------13 分 ∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称. --------------------------14 分 21.解: (1)解法 1:∵ f n '( x) ? nx n ?1 (1 ? x) 2 ? 2 x n (1 ? x) ? x n ?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2 x] -------1 分 当 n ? 1 时, f1 '( x) ? (1 ? x)(1 ? 3 x) 当 x ? [ ,1] 时, f1 '( x) ? 0 ,即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,
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1 2

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∴ a1 ? f1 ( ) ?

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--------------------------------------------------3 分

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1 2

1 , 8

当 n ? 2 时, f 2 '( x) ? 2 x(1 ? x)(1 ? 2 x) 当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减, ∴ a2 ? f 2 ( ) ?

1 2

1 2

1 2

1 16

---------------------------------------------------5 分

【解法 2:当 n ? 1 时, f1 ( x) ? x(1 ? x) 2 ,则 f1 '( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 x(1 ? x) ? (1 ? x)(1 ? 3 x) 当 x ? [ ,1] 时, f1 '( x) ? 0 ,即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a1 ? f1 ( ) ?

1 2

1 2

1 2

1 , 8

当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x 2 (1 ? x) 2 ,则 f 2 '( x) ? 2 x(1 ? x) 2 ? 2 x 2 (1 ? x) ? 2 x(1 ? x)(1 ? 2 x) 当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a2 ? f 2 ( ) ? (2)令 f n '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 当 x?(

1 2

1 2

1 2

1 】 16

n n 1 1 n ,∵当 n ? 3 时, ? [ ,1] 且当 x ? [ , ) 时 f n '( x) ? 0 , n?2 n?2 2 2 n?2

n ,1] 时 f n '( x) ? 0 ,---------n?2 n 处取得最大值,即当 n ? 3 时, n?2

---------7 分 故 f n ( x) 在 x ?

4n n n n n 2 2 ,------( ? )------------------9 分 an ? f n ( )?( ) ( ) ? (n ? 2) n ? 2 n?2 n?2 n?2
当 n ? 2 时( ? )仍然成立,

?1 , ? ?8 综上得 an ? ? n ? 4n . n?2 ? ? (n ? 2)
(3)当 n ? 2 时,要证

n ?1
-------------------------------------10 分

n?2

2 n 4n n 1 ,只需证明 (1 ? ) ?4 ? n (n ? 2) n ? 2 (n ? 2) 2

-------------------11 分

0 1 ∵ (1 ? ) n ? Cn ? Cn ( )?

2 n

2 n

n(n ? 1) 4 n 2 n ? Cn ( ) ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 n 2 n

∴对任意 n ? N * ( n ? 2 ),都有 an ? ------------------14 分

1 成立.------(n ? 2) 2

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