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27.2.3.1圆的切线


知识回顾
直线和圆的位置关系有几种? 用数量关系如何来判断?

⑴ 相 离;

.O d r ┐ .O r d┐

d>r
l

⑵ 相 切;

l

d=r d<r

⑶ 相 交;

.O r ┐ d

l

观察与思考

问题1:下雨天,转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?

问题2:砂轮转动时,火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?

动手做一做 ? 画一个圆O及半径OA,画一条直线m经过⊙O 的半径OA 的外端点A,且垂直于这条半径OA,这条直线与圆有几个 交点?
O



思考:

A



m

直线m一定是圆O的切线吗?由此你知道如何画圆的切线吗?

知识归纳
一、圆的切线:
1、定义:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 条件: (1)经过圆上的一点;(2)垂直于该点半径; ∵l⊥OA,且l 经过⊙O上的A点


思考:

∴直线l是⊙O的切线

A

O ┐

l

如果直线l是⊙O的切线,点A为切点,那么半径OA与l垂直吗? ∵直线l是⊙O的切线 ∴圆心O到直线l 的距离等于半径 ∴OA是圆心O到直线l的距离 ∴ l⊥OA 2、性质:圆的切线垂直于经过切点的半径。


O

A

l

例题欣赏
例1、如右图所示,已知直线AB经过⊙O上的点A,且AB=OA, ∠OBA=45°,直线AB是⊙O的切线吗?为什么? 解:直线AB是⊙O的切线 。理由如下: 在圆O 中, ∵因为AB=OA,∠OBA=45°(已知) ∴∠AOB=∠OBA=45°(等边对等角) 又∵∠OAB+ ∠OBA+ ∠AOB = 180° A B
O ●

∴∠OAB=180°-∠OBA-∠AOB=90°
∴ 直线AB⊥OA 又∵直线AB经过⊙O 上的A点

∴直线AB是⊙O的切线

练一练
1、判断题:
(1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。 ( × ) (2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线 。( × ) 2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切,则此三角 直角 形是__________ 三角形

练一练
3、如图,AB是⊙O的直径,∠B=45°,AC=AB。 AC是⊙O的切线吗?为什么? 解:AC是⊙O的切线 。理由如下: ∵ AC=AB , ∠B=45°(已知) ∴∠C=∠B=45°(等边对等角) 又∵∠BAC+∠B+∠C = 180° A C B
O ●

∴∠ BAC = 180°-∠B-∠C=90°
∴ 直线AC⊥AB 又∵直线AC经过⊙O 上的A点 ∴直线AC是⊙O的切线

练一练
4、如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠BAD=∠B

=30°,边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗?为什么?
解:BD是⊙O的切线 。连结OD。 ∵ OA=OD , ∠BAD=30°(已知)

∴∠ODA=∠A=30°(等边对等角)
∴∠BOD=∠A+∠ODA=60° 又∵∠B+∠BOD+∠BDO = 180° A


D
O

C

B

∴∠BDO=180°-∠B-∠BOD=90°
∴ 直线BD⊥OD 又∵直线BD 经过⊙O上的D点 ∴直线BD是⊙O的切线

例题欣赏
例2、如右图所示,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点, ⊙D与OA相切于点E。那么,OB是⊙D的切线吗?请说明理由。 解:OB是⊙D的切线 。理由如下: 连结DE,过D点作DF⊥OB,垂足为F。 A C


∵ OA 与⊙D 相切于点E ∴ OE⊥OA
又∵ OC平分∠AOB, DF⊥OB

E
D

∴ DF = DE
又∵ DF⊥OB, 即 d = r ∴ OB是⊙D的切线 。

O



F

B

小结: 1、如何判定一条直线是已知圆的切线?
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(d=r)

(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线;
A 、经过圆上的一点; B、 垂直于半径;

2、圆的切线有什么性质?
圆的切线垂直于经过切点的半径。

结 束 寄 语

不经历风雨,怎能见彩虹!



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