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2015年浙江省高中数学竞赛试卷


2015 年浙江省高中数学竞赛试卷
说明: (1)本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 20 题组成,即 8 道选择题、7 道 填空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 18 题组成,即 8 道选择题、7 道填空 题、3 道解答题。 (2)考试不允许携带计算机或计算器。 一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填

入题干后的 括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 6 人,共 48 分)
2 y 1、“a=2,b= 2 ”是“曲线 C: x 2 ? 2 ? 1(a, b ? R, ab ? 0) 经过点( 2 ,1)”的 2

a

b

( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不 必要条件 2、已知一个角大于 120° 的三角形的三边长分别为 m,m+1,m+2,则实数 m 的取值范围为 ( ) A.m>1 B.1<m< 3

2

C. 3 <m<3

2

D.m>3

3、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 BB1 的中点, 则二面角 M-CD1-A 的余弦值为 A. ( )

3 6 D. 3 3 ? ?a ? b ? 2 ? 0 4 、 若 实 数 a , b 满 足 ?b ? a ? 1 ? 0 , 则 a ? 2b 的 最 大 值 为 2a ? b ? ?a ? 1
B. 1

3 6

2

C.

( A.1

) B. 5

4

C. 7

5

D.2

5、已知等腰直角△ PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ ABC 的三条边上,记△ PQR,△ABC 的面积 分别为 S△PQR,S△ABC,则 ( A. 1 )

S?PQR 的最小值为 S?ABC
C. 1 D. 1

2

B. 1

3

4

5
,n∈N*,若 a1+a2+…+a2015<1,则实数

6、已知数列{an}的通项 an= x 等于

nx ( x ? 1)(2x ? 1)

(nx ? 1)

( )

A. ? 3

2

B. ? 5

12

C. ? 9

40

D. ? 11

60

7、若过点 P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的 面积 不可能 等于 ... ( A. 16 ) B. 36 C. 26 D. 196

17

5

5

53

8、若集合 A={(m,n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015,m∈Z, n∈N*},则集合 A 的元素 个数为( ) A.4030 B.4032 C.20152 D.20162 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,9~14 题每题 7 分,15 题 8 分,共 50 分) 9、已知函数 f(x)满足 f(x+1)+f(1-x)=0,f(x+2)-f(2-x)=0,且 f( 2 )=1,则 f( 1000 )=

3

3

10、若数列{an}的前 n 项和 Sn=n3-n2,n∈ N*,则

2015 i ?1

1 = ? a ?8 i?2
i

11、已知 F 为抛物线 y2=5x 的焦点,点 A(3,1),M 是抛物线上的动点。当|MA|+|MF|取最 小值时, 点 M 的坐标为 12、若 16
sin 2 x

? 16cos x ? 10 ,则 cos4x=

2

13、设函数 f(x)=min{x2-1,x+1,-x+1},其中 min{x,y,z}表示 x,y,z 中的最小者。 若 f(a+2)>f(a), 则实数 a 的取值范围为 14、已知向量 a,b 的夹角为 ? ,|a-b|=5,向量 c-a,c-b 的夹角为 2? ,|c-a|=2 3 ,

3

3

则 a· c的 最大值为 15、设 a,b∈ Z,若对任意 x≤0,都有(ax+2)(x2+2b)≤0,则 a=

,b=

.

三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 16 分,17、18 题每题 18 分,共 52 分) 16、设 a,b∈ R,函数 f(x)=ax2+b(x+1)-2.若对任意实数 b,方程 f(x)=x 有两个相异的实根, 求实数 a 的取值范围。

2 y 3 17、已知椭圆 C1: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为圆 C2: (x- 3 )2+y2=7

2

a

b

2

的圆心。

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)若直线 l 与曲线 C1,C2 都只有一个公共点,记直线 l 与圆 C2 的公共点为 A,求点 A 的坐标。

?a ? a ? 1 n ? n ?1 bn 18、已知数列{an},{bn}满足 a1>0,b1>0, ? N*.证明:a50+b50>20 1 ,n∈ ?bn ?1 ? bn ? a n ?

四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分) 19、已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2 2an 2 ? 1 ,n∈ N*. (I)证明:{an}是正整数数列; (II)是否存在 m∈ N*,使得 2015|am,并说明理由。

20、设 k 为正整数,称数字 1~3k+1 的排列 x1,x2,…,x3k+1 为“N 型”的,如果这些数满足 (1)x1<x2<…<xk+1; (2)xk+1>xk+2>…>x2k+1; (3)x2k+1<x2k+2<…<x3k+1。 记 dk 为所有“N 型”排列的个数。 (I)求 d1,d2 的值; (II)证明:对任意正整数 k,dk 均为奇数。


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