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1.2.1任意角的三角函数(一)


1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
a

sin ? ?

O

?
b

cos? ?
tan ? ?

M

a c b c a b

新课

导入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

新课

导入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中 : MP b sin ? ? ? OM ? a
MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

OP

r

OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b?
?

MP b tan ? ? ? OM a

o


M

x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP


M

?
O

M?

x

MP tan ? ? OM

M ?P ? ? OP ? ? OM ? OP ? M ?P ? ? OM ?

若OP ? r ? 1 ,则
Y

P(a,b)

MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP

?b

?
O M X

?a b MP tan ? ? ? OM a

2.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:(1)y 叫做

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos? ? x ; y y tan ? ? (3) 叫做 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0)
x
x
y

? P ? x, y ﹒
?
O

A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

实例

剖析

5? 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 3 5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作?AOB ?

的终边与单位圆的交点坐标为


3 1 ? 3



y
5? 3

5? ? 3 sin ? 所以 3 2

5? 1 cos ? 3 2

o



A

x

﹒B

思考:若把角 改为 呢? 3 6 7? 1 sin ?? , 6 2 7? ? 3 cos ? , 6 2 7? 3 t an ? 6 3

5? tan ?? 3 3 7? 5?

( , ) 2 2

例2 已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3,?4),求角 ? 的正弦、余 弦和正切值 . y 解:由已知可得 OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5
设角 ? 的终边与单位圆交于 P( x, y ) , M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
M0

OM ? ? x MP ? ? y OM0 ? 3 ?OMP ∽ ?OM 0 P0

M 0 P0 ? 4

M

O
P ? x, y ?

x

P0 ?? 3,?4?

M0P y ? | MP | 4 0 于是, sin ? ? y ? ? ?? ?? ; 1 OP OP 5 0
OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP 5 0 y sin ? 4 tan ? ? ? ? x cos ? 3

定义推广: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0

y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x x ? cos ? ? ② r 叫做 的余弦,即 r y y ?x ? 0? tan ? ? ③ x 叫做? 的正弦,即 x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

巩固

提高

练习 已知角

? 的终边过点 P??12,5? ,



? 的三个三角函数值.
2 2

解:由已知可得:

r? x ?y ?

?? 12 ?

2

? 52 ? 13

x 12 y 5 于是, sin ? ? cos ? ? ? ? ? r 13 r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

探究:

1.三角函数的定义域 三角函数

sin ?

定义域

cos? tan ?
y

? ? ? ,k ?Z? ?? ? ? k? ? 2 ? ?

R R



o ( ? )(

?) ?
sin ?

y

2.三角函数值在各象限的符号

x )

? )( ? )
cos?
x ?)



?)

y



?

o ( ? )(

o ( ?) (

?)
?
x )

tan ?

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 1 ?1 0 0 不存在 0

3? 2

2?

例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,
角 ? 为第三象限角.
证明: 因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限.

?sin ? ? 0 ? ? tan? ? 0

① ②

因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.

如果两个角的终边相同,那么这两个角的

? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0?到360?? 角的三角函数值 .

例4 确定下列三角函数值的符号:

解: (1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ;
(2)因为 tan(?672?) = tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan48?, 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? ?? ? sin (3)因为 是第四象限角,所以 ? ? 4 ? ? 0 . ? ? 4

? ?? cos 250 ?(2)tan(?672?) (3) sin? ? ? ( 1) ? 4?

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16
cos

?

5

?

sin( ?

?

3

)

tan( ?

?

8

?)

例5 求下列三角函数值:

9? (1) cos 4

11? ) (2) tan( ? 6

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 解:(1) 4 4 4 2 11 ? ? ? ? 3 tan(? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3

3

31? tan( ? )? 4

1

归纳

总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

作业:

课本第22页 习题1.2 1、2、 3、5题


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