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14. 2013年全国高中数学联赛黑龙江预赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)

高中竞赛

x ? ? ? ?1? ? 1. 已知全集 U ? R ,集合 N ? ? x ? ? ≤1? , M ? x x2 ? 6 x ? 8 ≤ 0 ,则图中阴影部分所表示的集 ? ? ? ?2? ?



?

?

合为() . (A) x x ≤ 0

?

? ?

(B) x 2 ≤ x ≤ 4

?

? ?
M

(C) x 0 < x ≤ 2 或 x ≥ 4

?

(D) x 0 ≤ x < 2 或 x > 4

?

N

2.

i 为虚数单位,则 i ? i ? i3 ? i4 ? ? ? i2013 ? () .

(A) i

(B) ? i

(C) 0

(D) 1

3. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为() . (A)所有实数的平方都不是正数 (B)有的实数的平方是正数 (C)至少有一个实数的平方不是正数 (D)至少有一个实数的平方是正数 4. 直线 l 过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于() . (A)

4 3

(B)2

(C)

8 3

(D)

16 2 3

5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能 分到同一个班,则不同的分法的种数为() . (A)24 (B)30 (C)36 (D)81

6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为() . (A) 4 ?

5π 2
2 2 3 正视图

(B) 4 ?

3π 2
2

(C) 4 ?

π 2

(D) 4 ? π

2 1 侧视图 1

2 2 俯视图

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能力的飞跃

1

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预赛试题集锦(2014)
开始

7. 已知实数 x ? [1,9],执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为() . (A) (B) (C) (D)

1 3
2 3

输入 X

n=1 n=n+1 X=2x+1

8 3 5 8

8. 定义在 R 上的函数 f ( x) 在 (?? ,2) 上是增函数, 且 f ( x ? 2) 的图像关于 y 轴对称,则() . (A) f (?1) < f (3) (B) f (0) > f (3) (C) f (?1) ? f (3) (D) f (0) ? f (3) 9. 化简
sin 4? . ? () ? ?π ? 2?π 4sin ? ? ? ? tan ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

n?3
否 输出 x



结束

(A) cos 2? 10. 设 F1 F2 分别是双曲线

(B) sin 2?

(C) cos?

(D) sin ?

x2 y 2 ? ? 1 (a > 0 , b > 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P ,使 a 2 b2 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? . (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 , O 为坐标原点,且 PF1 ? 3 PF2 ,则该双曲线的离心率为()
(B) 3 ? 1 (C)
3 ?1 2

(A) 6 ? 2

(D)

6? 2 2

11. 在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, ?BAC ?

π , AB ? AC ? AA1 ? 1 .已知 G 与 E 分别为 A1 B1 和 CC1 的中 2

点, D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点) .若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取 值范围为() .
? 1 ? , 1? (A) ? ? 5 ?
?1 ? (B) ? ,2 ? ?5 ?

(C) ? ?1 , 2

?

? 1 ? , 2? (D) ? ? 5 ?

12. 已知正项等比数列 ?an ? 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 a n 、 am 使得 am an ? 4a1 ,则 为() . (A)

1 4 ? 的最小值 m n

25 3

(B)

25 6

(C)

5 3

(D)

3 2

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

2

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?x ? y ? 2 ≤ 0 , ? y 13. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ≥1, 则 取值范围是_______. x ? x ? y ? 7 0, ≤ ?

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a ? 2? ,不等式 14. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x 2 .若对任意的 x ? ? a ,
f ( x ? a) ≥ 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 取值范围是_______. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 15. 已 知 OA ? 1 , OB ? 3 , OA ? OB ? 0 , 点 C 在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 30? , 设 OC ? mOA ? nOB
(m ,n ? R ) ,则

m ? _______. n

16. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线 y ? x 2 上,则该正方形面积 的最小值为_______. 三.填空题(共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)已知函数 f ( x) ?
3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ,x ? R . 2 2

? π 5π ? (1)当 x ? ? ? , ? 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值; ? 12 12 ?

( 2 ) 设 △ ABC 的 内 角 A 、 B、 C 的 对 应 边 分 别 为 a 、b 、c , 且 c ? 3 , f (c) ? 0 , 若 向 量

?? ? m ? (1, sin A) 与向量 n ? (2 , sin B) 共线,求 a 、b 的值.
1 18. (12 分) 如图, 在正 △ ABC 中, 点 D 、E 分别在边 AC、AB 上, 且A D ?A C 3
相交于点 F . (1)求证: A、E、F、D 四点共圆; (2)若正 △ ABC 的边长为 2,求 A 、E 、F 、D 所在圆的半径. A ,AE ?

2 BD 、CE AB , 3

D E F B C

且n ? N? ) 19. (12 分)一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球( n ≥ 2 , ,每次从袋中摸出两个球(每次摸
球后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.

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3

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预赛试题集锦(2014)

(1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P; (2)若 n ? 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ( p) ,当 n 为何值时, f ( p) 取最大值.

3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t , 20. (12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 满足 a1 ? 1, 其中 t > 0,n ? N? 且 n ≥ 2 .
(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列;
? 1 ? (2)设数列 ?an ? 的公比为 f (t ) ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1, bn ? f ? ? (n ≥ 2) ,求 bn 的通项式; ? bn ?1 ?

(3)记 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? b2 n?1b2 n ? b2 nb2 n?1 , 求证:Tn ≤ ?

20 . 9

0) ,圆 F2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时 21. (12 分)已知 F1 (?1 ,0) 、 F2 (1,
与圆 F2 相外切,此动圆的圆心轨迹为曲线 C ,曲线 E 是以 F1 、F2 为焦点的椭圆. (1)求曲线 C 的方程; (2)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P ,且 PF1 ?

7 ,求曲线 E 的标准方程; 3

(3)在(1) 、 (2)的条件下,直线 l 与椭圆 E 相交于 A、 B 两点,若 AB 的中点 M 在曲线 C 上,求 直线 l 的斜率 k 的取值范围. 22. (12 分)设 f ( x) ?

ln(1 ? x) ( x > 0) . x

(1)判断函数 f ( x) 的单调性; (2)是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 ln(1 ? x) < ax 在 (0 ,? ?) 上恒成立,若存在,求出 a 的 取值范围,若不存在,试说明理由;
? 1? (3)求证 ?1 ? ? < e ,n ? N? (其中 e 为自然对数的底数) . ? n?
n

4

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解答
1.D

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2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B 11.A 12.D
?? 14. ? ? 2,

?9 ? 6? 13. ? , ?5 ?

?

15. 3

16.80

17. f ( x) ?
?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

? sin(2x ? ) ? 1 6
因为 ?

?

?
12

?x?

5? ,所以 12 2? 3

?

?
3

? 2x ?

?
6

?

所以 ?
?1 ?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 2 6

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 2 6

则, f ( x) 的最小值是 ?1 ?

3 ,最大值是 0 . 2

(2) f (C) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 6 6 因为 0 ? C ? ? ,所以 ?

?

?

?

6 6 ?? ? 因为向量 m ? (1, sin A) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,所以 sin A ? 2sin B ,由正弦定理得,
b ? 2a

?C?

?

?

11? ? ? ? ,所以 2C ? ? ,解得 C ? 6 6 2 3

由余弦定理得, c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos
a 2 ? b2 ? ab ? 3

?
3

,即

解得 a ? 1, b ? 2

18. (1)因为 AE ?

2 1 AB ,所以 BE ? AB . 3 3 1 AC ,所以 AD ? BE . 3
三 角 形 C B E , 所 以 ?A D B ? ? B E C ,即

因为在正三角形 ABC 中, AD ?

又 因 为 A B ? B C, ?BAD ? ?CBE , 所 以 三 角 形 BAD
?A D F ? ? A E F? ? ,所以 A、E、F、D 四点共圆.

(2)如图,取 AE 的中点 G ,连接 GD ,则 AG ? GE ?

1 AE 2
A

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D

5

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因为 AE ?

预赛试题集锦(2014)

2 1 2 AB ,所以 AG ? AC ? ,?DAE ? 60? ,所以三角形 AGD 所以点 G 是三角形外接圆的 3 3 3 2 . 3 2 . 3

圆心且圆 G 的半径为

G

由于 A、E、F、D 四点共圆 G ,其半径为

2 19. (1)一次摸球从 n ? 2 个球中任选两个,有 Cn ? 2 种选法,

2 2 其中两球颜色相同有 Cn 种选法;一次摸球中奖的概率 ? C2

P?

2 2 Cn ? C2 n2 ? n ? 2 . ? 2 Cn n2 ? 3n ? 2 ?2

(2)若 n ? 3 ,则一次摸球中奖的概率 P ? 的概率是
1 2 P 3 (1) ? C3 ? P ? (1 ? P) ?

2 ,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰有一次中奖 5

54 . 125

(3) 设 一 次 摸 球 中 奖 的 概 率 是 p , 则 三 次 摸 球 恰 有 一 次 中 奖 的 概 率 是
1 f ( p) ? C3 ? p ? (1 ? p)2 ? 3 p3 ? 6 p2 ? 3 p, 0 ? p ? 1.

因为 f ?( p) ? 9 p2 ? 12 p ? 3 ? 3( p ? 1)(3 p ? 1) ,

1 1 1 所以 f ( p) 在 是增函数,在 是减函数,所以当 p ? 时, f ( p) 取最大值. (0,) ( ,1) 3 3 3
所以 p ?

n2 ? n ? 2 1 ? ,所以 n ? 2 ,故 n ? 2 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大. n2 ? 3n ? 2 3

20. (1)当 n ? 2 时, 3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t ,①

3tSn?1 ? (2t ? 3)Sn ? 3t ②
②-①得: 3tan?1 ? (2t ? 3)an ? 0 ,所以 所以 ?an ? 是首项为 1,公比为 (2) f (t ) ?
an ?1 2t ? 3 ? (n ? 2) . an 3t

2t ? 3 的等比数列. 3t

3b ? 2 2t ? 3 2 2 ,代入得 bn ? n?1 ? bn?1 ? ,所以 bn ? bn?1 ? ,则 3t 3 3 3 2 2 1 ? n? 3 3 3

bn ? 1 ? (n ? 1) ?

(3) Tn ? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ?b2n (b2n?1 ? b2n?1 )

4 ? ? ? (b2 ? b4 ? b6 ? ?b2n ) 3

6

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4 ?? ? 3 5 4n ? 1 n( ? ) 3 3 2

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??

2n(4n ? 6) 4 = ? (2n2 ? 3n) 9 9

当 n ? 1 时, 2n2 ? 3n 递增,所以 Tn ? ?

20 9

21. (1)设动圆圆心的坐标为 ( x,y)( x ? 0) .

???? ? 因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切, 同时与圆 F2 相外切, 所以 CF2 ? x ? 1 , 所以 ( x ? 1)2 ? y2 ? x ? 1 ,
化简处理得 y 2 ? 4 x ,曲线 C 的方程 y 2 ? 4x( x ? 0) .

???? 7 ???? ? 5 2 ( 2 ) 依 题 意 , c ? 1 , PF1 ? , 可 得 x p ? , 所 以 PF2 ? , 又 由 椭 圆 的 定 义 得 3 3 3 2a ? PF1 ? PF2 ? 7 5 ? ? 4,a ? 2 . 3 3

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以曲线 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1; 4 3

(3)设直线 l 与椭圆 E 焦点 A( x1,y1 )、B( x2,y2 ) , A、 B 的中点的坐标为 ( x0,y0 ) . 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0,m ? 0) 与

x2 y 2 ? ? 1 联立得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0
由 >0 得, 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ① 由根与根的关系得 x1 ? x2 ? ? 将 M (?

8km 3m 4km ,所以 x0 ? ? , y0 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4km 3m , ) 代入 y 2 ? 4 x ,整理得 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

m??

16k (3 ? 4k 2 ) .② 9

将②代入①得 162 k 2 (3 ? 4k 2 ) ? 81 .
6 6 3 ?k? 令 t ? 4k 2 (t ? 0) 则 64t 2 ? 192t ? 81 ? 0 ,所以 0 ? t ? .所以 ? 且k ? 0. 8 8 8 ln(1 ? x) 22. (1)因为 f ( x) ? ( x ? 0) ,所以 x

x ? ln(1 ? x) 1 ? x f ?( x) ? x2

设 g ( x) ?

x ? ln(1 ? x)( x ? 0) .所以 1? x

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g ?( x) ?

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1? x ? x 1 1 ? (1 ? x) ?x ? ? ? ?0, 2 2 (1 ? x) 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2

? ? ? 上为减函数,所以 所以 y ? g ( x) 在 ? 0,
g ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? g (0) ? 0 1? x

x ? ln(1 ? x) ?0 所以 f ?( x) ? 1 ? x 2 x

所以函数 f ( x) ?

ln(1 ? x) ? ? ? 上为减函数. 在 ? 0, x 1 1 ? a ,若 a ? 1 ,则 x ? 0时 , h?( x) ? ?a?0 1? x 1? x

? ?) 上恒成立, (2) ln(1 ? x) ? ax 在 (0,

设 h( x) ? ln(1 ? x) ? ax ,则 h(0) ? 0 ,所以 h?( x) ?

? ? ? 上为减函数. 恒成立,所以 h( x) ? ln(1 ? x) ? ax 在 ? 0,
? ?) 上恒成立,若 a ? 0 , h?( x) ? 所以 ln(1? x )? ax 在 (0,

1 ? a ? 0 ,所以 h( x) ? ln(1? x )? ax在 1? x

? ? ? 上为增函数. h( x) ? ln(1 ? x) ? ax ? h(0) ? 0 不符合题意. ?0,
1 1 ? 1 ? ? a ? 0 时 , x ? ? 1 , 所 以 x ? ?0, ? 1? 时 , h?( x) ? 0 , 所 以 1? x a ? a ? ? 1 ? ? 1 ? h( x) ? ln(1 ? x) ? ax ? 0 , h( x)? l n ( ?1 x ?) a在 x ? 0, ? 1? 上为增函数, 当 x ? ?0, ? 1? , 不能使 ln(1 ? x) ? ax ? a ? ? a ?

若 0 ? a ? 1 , 则 h?( x) ?

? ?) 上恒成立,所以 a ? 1 . 在 (0,

(3)由(2)可知, 立.

ln(1 ? x) ? ?) 上恒成立,所以 ln(1 ? x) x ,即 (1 ? x) x ? e 对一切正整数 n 成 在 (0, x
1 1

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