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2013年广东省陆丰市林启恩纪念中学幂函数常见题型分类解析


幂函数常见题型分类解析
幂函数是重要的基本初等函数模型之一, 下面就其可能出现的题型加以分析, 以提高同 学们解决问题的能力. 1、求解析式 例 1 已知幂函数 y ? (m2 ? m ?1) xm
2

?2m?3

,当 x ? (0 ? ∞) 时为减函数,则幂函数 ,

y ? _______


解:因为 y ? (m2 ? m ?1) xm
2

?2m?3

为幂函数,

? m2 ? m ? 1 ? 1 ,
解得 m ? 2 ,或 m ? ?1 .

? 当 m ? 2 时, m ? 2m ? 3 ? ?3 , y ? x ?3 在 (0, ∞) 上为减函数;
2

? 当 m ? ?1 时,m ? 2m ? 3 ? 0 , y ? x0 ? 1( x ? 0) 在 (0, ∞) 上为常函数,不合题意,
2

舍去. 故所求幂函数为 y ? x ?3 . 评注:求幂函数的解析式,一般用待定系数法,理解幂函数的定义是关键. 2、比较大小 例 2 比较 0.8 , 0.9
0.5

0.5

, 0.9
0.5

?0.5

的大小.
0.5

分析:先利用幂函数 y ? x 比较 0.9
0.5

的增减性比较 0.8 与 0.9

0.5

的大小,再根据幂函数的图象

与 0.9

?0.5

的大小.

解:? y ? x

0.5

? 在 (0, ∞) 上单调递增,且 0.8 ? 0.9 ,

? 0.80.5 ? 0.90.5 .
作出函数 y ? x 易知 0.9 故 0.8
0.5 0.5

0.5

与y?x

?0.5

在第一象限内的图象,

? 0.9?0.5 .

? 0.90.5 ? 0.9?0.5 .

3、求参数的范围 例 3 已知幂函数 y ? x
m? 2

且关于 y 轴对称, m 的 求 (m ?N) 的图象与 x, y 轴都无交点,

值,并画出它的图象. 解:? 图象与 x, y 轴都无交点,

? m ? 2 ? 0 ,即 m ? 2 .

又m?N ,

? m ? 0,2 . 1 , ? 幂函数图象关于 y 轴对称, ? m ? 0 ,或 m ? 2 .
当 m ? 0 时,函数为 y ? x ?2 ,图象如图 1; 当 m ? 2 时,函数为 y ? x0 ? 1( x ? 0) ,图象如图 2.

4、讨论函数性质
1

例 4 讨论函数 f ( x) ? x

m2 ? m?1

(m ?N? ) 的定义域、奇偶性和单调性.

解: (1)? m2 ? m ? m(m ? 1)(m ?N? ) 是正偶数,

? m2 ? m ? 1 是正奇数.

? 函数 f ( x) 的定义域为 R .
(2)? m ? m ? 1 是正奇数,
2

1

1

? f (? x) ? (? x)

m2 ? m?1

? ?x

m2 ? m?1

? ? f ( x) ,且定义域关于原点对称.

? f ( x) 是 R 上的奇函数.
(3)?

1 ? 0 ,且 m2 ? m ? 1 是正奇数, m ? m ?1
2

? ? 函数 f ( x) 在 (?∞, ∞) 上单调递增.


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