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2011中考数学复习课件:第33讲 相似三角形1


第 33 讲

相似三角形

考点知识精讲

中考典型精析

举一反三

考点训练

考点一 相似三角形的定义 定义:如果两个三角形的各角对应相等,各边对应成比例,那么这两个三角形相似.

考点二 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角

相等,对应边成比例. 2.相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 3.相似三角形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.

考点三 相似三角形的判定 1.两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 2.两角对应相等的两个三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似.

(1)(2010· 北京)如图, 在△ABC 中, D、 分别在 AB、 边上, 点 E AC DE∥BC, AD∶AB 若 =3∶4,AE=6,则 AC 等于( ) A.3 B.4 C.6 D.8

例(1)题

例(2)题

(2)(2010· 烟台)如图,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且△ABC∽△DBA,则下列结 论一定正确的是( ) 2 A.AB =BC· BD B.AB2 =AC· BD C.AB· AD=BD· BC D.AB· AD=AD· CD

(3)(2010· 临沂)如图,∠1=∠2,添加一个条件:________,使得△ADE∽△ACB.

【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定.
【解答】 (1)∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B.又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC.∴ 3 6 = ,∴AC=8.故选 D. 4 AC AB BC = ,即 AB2=BC· BD,故选 A. DB AB AD AE (3)答案不唯一,如∠D=∠C 或∠E=∠B 或 = . AC AB (2)∵△ABC∽△DBA,∴ AD AE = , AB AC

(

1.已知△ABC∽△DEF,且 AB∶DE=1∶2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 B ) A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1

2.如图所示,Rt△ABC∽Rt△DEF,则 cosE 的值等于( 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 3

A )

(第 2 题)

(第 3 题)

3.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BC 上的点,AE 交 BD 于点 F,如果 那么 BF 2 = . FD 3

BE 2 = , BC 3

4.如图,∠DAB=∠CAE,请补充一个条件:________,使得△ABC∽△ADE.

(第 4 题) AB AC 答案不唯一,如∠B=∠D 或∠C=∠AED 或 = 等. AD AE

(第 5 题)

5.已知△ABC,延长 BC 到 D,使 CD=BC,取 AB 的中点 F,连结 FD 交 AC 于点 E. AE (1)求 的值;(2)若 AB=a,FB=EC,求 AC 的长. AC
答案:(1) AE 2 3 = (2)AC= a AC 3 2

(第 6 题) 6.如图,△ABC 内接于⊙O,AD 是△ABC 的边 BC 上的高,AE 是⊙O 的直径,连结 BE,△ABE 与△ADC 相似吗?请证明你的结论. △ABE 与△ADC 相似. 理由如下: 在△ABE 与△ADC 中 ∵AE 是⊙O 的直径, ∴∠ABE =90° ,∵AD 是△ABC 的边 BC 上的高,∴∠ADC=90° ,∴∠ABE=∠ADC.又∵同弧所对 的圆周角相等,∴∠BEA=∠DCA.∴△ABE∽△ADC.

考点训练 33

相似三角形 相似三角形 ?训练时间:60分钟 分值:100分? ?训练时间:60分钟 分值:100分?

一、选择题(每小题 4 分,共 48 分)
1.(2009 中考变式题)如图,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与 △ABC 相似的是( )

【解析】观察△ACB 得∠ACB=135° ,被选项中只有 A 图三角形含 135° 角. 【答案】A

2.(2011 中考预测题)如图,在△ABC 中,若 DE∥BC, 长为( ) A.8 cm B.12 cm C.11 cm D.10 cm
【解析】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

AD 1 = ,DE=4 cm,则 BC 的 DB 2

AD DE 1 4 = ,即 = ,∴BC=12 cm. 3 BC AD+DB BC

【答案】B

3.(2010· 上海)下列命题中,是真命题的为( ) A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似

【解析】本题考查相似三角形的判定方法. 【答案】D

4.(2011 中考预测题)小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网 6 米的 位置上,则球拍击球的高度 h 为( ) 8 4 8 A. 米 B.1 米 C. 米 D. 米 15 3 5

0.8 6 4 【解析】利用相似三角形的判定与性质,易得 = ,∴h= . h 6+4 3

【答案】C

5.(2009 中考变式题)如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点 P 在( A.P 1 处 B.P2 处 C.P3 处 D.P4 处

)

【解析】若△ABC∽△PBD,则∠DPB=∠CAB=135° ,而 P3 点满足这一条件. 【答案】C

6.(2010· 苏州)如图,在△ABC 中,D、E 两点分别在 BC、AC 边上,若 BD=CD,∠B =∠CDE,DE=2,则 AB 的长度是( ) A.4 B.5 C.6 D.7

【解析】∵∠B=∠CDE,所以 AB∥DE.因为 BD=CD,则 DE 为△ABC 的中位线,则 AB=2DE=4.

【答案】A

7.(2010· 河南)如图,△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 的中点,则下列结论:①BC AD AB =2DE;②△ADE∽△ABC;③ = .其中正确的有( ) AE AC A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个

1 【 解 析 】 ∵DE 是 △ABC 的 中 位 线 , ∴DE = BC , BC = 2DE. 由 DE∥BC 得 2 AD AE AD AB △ADE∽△ABC, = 或 = . AB AC AE AC

【答案】A

8. (2010· 黄冈)如图, 过边长为 1 的等边三角形 ABC 的边 AB 上一点 P, PE⊥AC 于 E, 作 Q 为 BC 延长线上一点,当 PA=CQ 时,连结 PQ 交 AC 边于 D,则 DE 的长为( ) 1 1 2 A. B. C. D.无法确定 3 2 3

【解析】 过点 Q 作 QF⊥AC, AC 的延长线于 F.∵PE⊥AC, 交 ∴∠PEA=∠PED=∠QFC = 90° .∵△ABC 为 等 边 三 角 形 , ∴∠A = ∠ACB = ∠QCF = 60° .∵PA = CQ , ∴Rt△PAE≌Rt△QCF.∴AE=CF,PE=QF,∴AE+DE=CF+DE,即 AC=EF=1.∵∠PDE 1 1 1 =∠QDF,∴Rt△PDE≌Rt△QDF,∴DE=DF,∴DE= EF= ×1= 2 2 2

【答案】B

9.(2009 中考变式题)如图,P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上任意一点(A、B 两点除外),过 P 点 作一直线,使截得的三角形与 Rt△ABC 相似,这样的直线可以作( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
【解析】如图所示的三条直线 l1、l2、l3.

【答案】C

10.(2011 中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,一名同学测得一根 长为 1 米的竹竿的影长为 0.4 米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在 地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为 0.2 米,一 级台阶高为 0.3 米,如图所示,若此时落在地面上的影长为 4.4 米,则树高为( ) A.11.5 米 B.11.75 米 C.11.8 米 D.12.25 米

x-0.3 1 【解析】设树高为 x 米,则 = , 0.4 4.4+0.2 解得 x=11.8(米).

【答案】C

11.(2011 中考预测题)如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 △ABC∽△ADE 的是( )

AB AC = AD AE AB BC B. = AD DE C.∠B=∠D D.∠C=∠AED A.

【解析】由∠1=∠2 可得∠BAC=∠DAE.所以添加另一对角相等或两边对应成比例均 能判相似.

【答案】B

12.(2010· 武汉)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,BD⊥DC,BD =DC,CE 平分∠BCD,交 AB 于点 E,交 BD 于点 H,EN∥DC 交 BD 于点 N.下列结论:

①BH=DH; ②CH=( 2+1)EH; S△ENH EH ③ = . S△EBH EC 其中正确的是( ) A.①②③ B.只有②③ C.只有② D.只有③

【解析】如图,∵CE 平分∠BCD,若 BH=DH,则 BC=CD,与事实矛盾,∴①错误; 过 E 作 EF⊥CD 交 CD 延长线于点 F,则四边形 ENDF 是矩形,∴EF=DN=BE.在 Rt△BEN 2 EH EN 1 中,BN=NE= BE,∴CD=BD=BN+ND=(1+ 2)NE.∵NE∥CD,∴ = = , 2 CH CD 1+ 2 ∴CH=( 2+1)EH,故②是正确的;③S△ENH∶S△ EBH=EH∶EC 也正确.∵S△ENH∶S△ EBH= NH∶BH,∠NEH=∠DCH=∠ECB,∠ABH=∠BEN=∠CBH=45° ,∠BEH=∠BEN+ ∠NEH,∠EHB=∠CBH+∠ECB,∴∠BEH=∠EHB,∴BE=BH.∵BE=DN,∴DN= BH.∵EN∥DC,∴EH∶EC=NH∶DH, ∴EH∶EC=NH∶BH,∴S△ ENH∶S△ EBH=EH∶EC.

【答案】B

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13.(2010· 上海)如图,△ABC 中,点 D 在边 AB 上,满足∠ACD=∠ABC,若 AC=2, AD=1,则 DB=________.

AC AD 【解析】 ∵∠ACD=∠ABC, ∠BAC=∠CAD, ∴△ADC∽△ACB, ∴ = , ∴AB· AD AB AC =AC2,则 AB=4,所以 BD=AB-AD=3.

【答案】3

14.(2010· 陕西)如图,在△ABC 中,D 是 AB 边上一点,连结 CD.要使△ADC 与△ABC 相似,应添加的条件是________.

【解析】∠ACD=∠B、∠ADC=∠ACB 或 即可.

AD AC = ,答案不唯一,只需写出一个条件 AC AB

【答案】∠ACD=∠B

15.(2011 中考预测题)如图,在△ABC 中,AB=9,AC=6,点 E 在 AB 上,且 AE=3, 点 F 在 AC 上,连结 EF,若△AEF 与△ABC 相似,则 AF=______.
AB AC 9 6 = ,∴ = ,∴AF=2;②当 AE AF 3 AF

【解析】分情况讨论,①当△ABC∽△AEF 时, AB AC 9 6 △ABC∽△AFE 时, = ,∴ = ,∴AF=4.5. AF AE AF 3

【答案】2 或 4.5

16.(2010· 兰州)如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时,乙的影子 恰好在甲的影子里边,已知甲、乙同学相距 1 米.甲身高 1.8 米,乙身高 1.5 米,则甲的影长 是________米.

【解析】∵

BC AC 1.8 AC = ,即 = ,解得 AC=6. DE AD 1.5 AC-1

【答案】6

三、解答题(共 36 分)
17.(12 分)(2009 中考变式题)如图,在△ABC 中,∠C=90° ,AC=3,BC=4,O 为 BC 边上一点,以 O 为圆心,OB 为半径作半圆与 BC 边和 AB 边分别交于点 D、点 E,连结 DE. (1)当 BD=3 时,求线段 DE 的长; (2)过点 E 作半圆 O 的切线,当切线与 AC 边相交时,设交点为 F,求证:△FAE 是等腰 三角形.

解:(1)在△ABC 中,∠C=90° ,AC=3,BC=4,∴AB=5.∵BD 为直径,∴∠DEB= AC AB 90° .在△ACB 和∠DEB 中, ∠C=∠DEB, ∠ABC=∠DBE, ∴△ACB∽△DEB, ∴ = , DE BD 3 5 9 ∴ = ,∴DE= . DE 3 5 (2)证明:∵∠AEF+∠FED=90° ,∠FED=∠B, ∴∠AEF+∠B=90° .∵∠A+∠B=90° , ∴∠A=∠AEF,∴FA=FE,∴△AFE 为等腰三角形.

18.(12 分)(2010· 珠海)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 连结 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC. (2)若 AB=4,AD=3 3,AE=3,求 AF 的长.

(1)证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, AB∥CD.∴∠ADF=∠CED, ∠B +∠C=180° . ∵∠AFE+∠AFD=180° ,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC. (2)解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, CD=AB=4.又∵AE⊥BC, ∴AE⊥AD. AD AF 3 3 在 Rt△ADE 中, DE= AD 2+AE 2= ?3 3?2+32 =6.∵△ADF∽△DEC, ∴ = , ∴ DE CD 6 AF = ,∴AF=2 3. 4

19. 分)(2011 中考预测题)一块直角三角形形状的铁皮材料, (12 两直角边长分别为 30 cm、 40 cm,现要把它加工成一个面积最大的正方形,两种加工方法如图①、②,请你用学过的知 识说明哪种加工方法符合要求?

解:在图①中设正方形的边长为 x,则 DE=x,AD=30-x ∵∠A=∠A,∠ADE=∠C=90° 30-x x AD DE 120 ∴△ADE∽△ACB,∴ = ,即 = ,解得 x= . AC BC 30 40 7 在图②中过点 C 作 CP⊥AB,垂足为 P,CP 交 DG 于 Q. 1 1 AC· BC 30×40 ∵S△ ABC= AC· BC= AB· CP,∴CP= = =24. 2 2 AB 50 ∵DG//AB,∴∠CDG=∠A,∠CGD=∠B, DG CQ ∴△CDG∽△CAB,∴ = . AB CP y 24-y 120 设 DG=y, = ,解得 y= . 50 24 7.4 120 120 ∵ < ,∴y<x.∴图①方法符合要求. 7.4 7


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