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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2练习:2.1 第2课时 演绎推理]


第二章

2.1

第 2 课时

一、选择题 1. (2013~2014 学年度河南新野高二阶段测试)下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,因此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所 截得的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.由平面三角形的性质,推测空间四面体

的性质 1 1 C.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 D.三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得凸 n 边形内角和是(n-2)· 180° [答案] A [解析] 选项 B 是类比推理,选项 C、D 是归纳推理,只有选项 A 是演绎推理. 2.下列说法中正确的是( )

A.演绎推理和合情推理都可以用于证明 B.合情推理不能用于证明 C.演绎推理不能用于证明 D.以上都不对 [答案] B [解析] 合情推理不能用于证明. 3.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是 假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 [答案] D [解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错 误. 1 4.“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),y=log x 是对数函数(小前提),所以 y 3 1 =log x 是增函数(结论).”上面推理的错误是( 3 A.大前提错导致结论错 ) )

B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A [解析] 大前提 y=logax 是增函数不一定正确.因为 a>1 还是 0<a<1 不能确定,所以选 A. 5.完全归纳推理是( A.一般到个别 C.一般到一般 [答案] B [解析] 完全归纳推理是个别到一般的推理. 6.△ABC 中,已知 cosAcosB>sinAsinB,则△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] C [解析] ∵cosAcosB>sinAsinB,∴cos(A+B)>0, ∴A+B 为锐角,即∠C 为钝角. 二、填空题 7.以下推理过程省略的大前提为:____________. 因为 a2+b2≥2ab, 所以 2(a2+b2)≥a2+b2+2ab. [答案] 若 a≥b,则 a+c≥b+c [解析] 由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了 a2+b2,故大前提为:若 a≥b,则 a+c≥b+c. 2x 8.对于函数 f(x)= 2 ,其中 a 为实数,若 f(x)的定义域为实数,则 a 的取值范围 x +ax+a 是________. [答案] 0<a<4 [解析] 要使 f(x)定义域为 R,则 x2+ax+a≠0,即 Δ=a2-4a<0,解得 0<a<4. 三、解答题 a - 9.求证:对任意不相等正实数 a、b,有( )a b>1. b a a - a [证明] 当 a>b>0 时,有 >1,a-b>0,由指数函数的单调性知( )a b>( )0=1, b b b a 当 b>a>0 时,有 0< <1, b B.直角三角形 D.不确定 ) )的推理( ) B.个别到一般 D.个别到个别

a - a a-b<0,则( )a b>( )0=1. b b a - 综上:( )a b>1. b

一、选择题 1.三段论:“①雅安人一定坚强不屈;②雅安人是中国人;③所有的中国人都坚强不 屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是( A.③② C.①② [答案] A [解析] 由三段论推理的定义可知大前提为③,小前提为②. 2.“∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等.”补充以上推理的大前 提( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析] 大前提是矩形都是对角线相等的四边形. 3.(2013~2014 学年度灵宝高二检测)在证明 f(x)=2x+1 为增函数的过程中,有下列四 个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数 f(x)=2x+1 满足增 函数的定义是大前提;④函数 f(x)=2x+1 满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是 ( ) A.①④ C.①③ [答案] A [解析] 根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是 f(x)=2x+1 B.②④ D.②③ )

B.③① D.②③

满足增函数的定义;结论是 f(x)=2x+1 为增函数,故①④正确. 二、填空题 4.(2014· 全国新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

[答案] A [解析] 由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一 城市”,说明甲去过 A、C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知, 乙去过的城市为 A. a2 tan A 5.△ABC 中,若 2= ,则△ABC 的形状是________. b tan B [答案] 直角三角形或等腰三角形 sinA a2 sin2A tanA cosA [解析] 由正弦定理得, 2= 2 = = b sin B tanB sinB cosB = sinA· cosB sinA cosB ,于是有 = cosA· sinA sinB cosA

即 sinA· cosA-sinB· cosB=0, 1 2 (sin A-sin 2B)=0,cos(A+B)· sin(A-B)=0, 2 π 所以有 A+B= 或 A-B=0. 2 6.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N+(m,n∈N+),且对任意 m,n∈N+都有: ①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论: (1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26. 其中正确结论为________. [答案] (1)(2)(3) [解析] 由条件可知, 因为 f(m,n+1)=f(m,n)+2,且 f(1,1)=1, 所以 f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=f(1,1)+8=9. 又因为 f(m+1,1)=2f(m,1), 所以 f(5,1)=2f(4,1)=22f(3,1) =23f(2,1)=24f(1,1)=16, 所以 f(5,6)=f(5,1)+10=24f(1,1)+10=26. 故(1)(2)(3)均正确. 三、解答题 7.如图,△ABC 中,D、E、F 分别是 BC、CA、AB 上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA. 求证 ED=AF,写出“三段论”形式的演绎推理.

[解析] 大前提:同角相等,两直线平行 ∴前提:∠BFD=∠A 结论:DF∥EA. 大前提:两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 小前提:DE∥BA 且 DF∥EA,

结论:四边形 AFDE 是平行四边形. 大前提:平行四边形的对边相等, 小前提:ED 和 AF 为平行四边形的对边, 结论:ED=AF. x-2 8.已知函数 f(x)=ax+ (a>1),求证:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x+1 [分析] 本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的方法,解决此类问题应先找出 证明的大前提,然后在大前提下证明小前提满足大前提,从而得出结论. [证明] 对?x1、x2∈I,且 x1<x2,若 f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数.大前提 设 x1、x2 是(-1,+∞)上的任意两数,且 x1<x2,则 x1-2 x2-2 f(x1)-f(x2)=ax1+ -ax2- x1+1 x2+1 x1-2 x2-2 =ax1-ax2+ - x1+1 x2+1 3?x1-x2? =ax1-ax2+ , ?x1+1??x2+1? ∵a>1,且 x1<x2,∴ax1<ax2,x1-x2<0. 又∵x1>-1,x2>-1,∴(x1+1)(x2+1)>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).小前提 ∴函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.结论 1 1 2 9.已知 a、b、c 是全不为 1 的正数,x、y、z 为正实数,且有 ax=by=cz 和 + = , x z y 求证 a,b,c 成等比数列. [证明] 令 ax=by=cz=k, 1 1 2 则 x=logak,y=logbk ,z=logck.∵ + = , x z y a、b、c 是全不为 1 的正数,



1 1 2 lga lg c 2lgb + = ,∴ + = , logak logck logbk lgk lgk lgk

∴lg a+lgc=lgb2,∴b2=ac. ∴a,b,c 成等比数列.


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