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2010年高考大纲全国卷


3?i ? (1 ) 复数 ? ? ? ? ? 1? i ?

2

(A)?3 ? 4i

(B)?3 ? 4i

(C)3 ? 4i (D)3 ? 4i

(2)函数 y ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2

/>A y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0)

B y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0)

C y ? e2 x?1 ?1( x ? R)

D y ? e2 x?1 ? 1( x ? R)

? x≥ ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? y≥x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3x ? 2 y≤5, ?

(A)1 4

(B)2

(C)3

(D)

(4)如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 35 (5)不等式
x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1

(B)21

(C)28

(D)

A ? x x< ? 2, 或x>3? B ? x x< ? 2,或1<x<3? C

? x ?2<x<1,或x>3?

D

?x ?2<x<1,或1<x<3?
(6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个 信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 种 (7)为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 (A)左移 移
? 2

(B)18 种

(C)36 种

(D)54

?

?

? 4

3

(B)右移

? 4

(C)左移

? 2
uur

6

(D)右

(8)V ABC 中,点 D 在 AB 上,CD 平方 ?ACB .若 CB ? a ,CA ? b , a ? 1 , b ? 2 , 则 CD ?
uuu r

uur

(A) a ? b

1 3

2 3

(B) a ? b

2 3

1 3

(C) a ? b

3 5

4 5

(D) a ? b

4 5

3 5

(9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的 高为 (A)1
? 1 2

(B) 3

(C)2

(D)3

1 ? ? ? (10)若曲线 y ? x 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18, ? ?

则 a ? [来 (A)64 (B)32 (C)16 (D)8

(11)与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1D1 所在直线的距离相等的 点 (A)有且只有 1 个 (B)有且只有 2 个 (C)有且只有 3 个 (D)有无数 个 (12)已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 2 a b 2

的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (D)2

??? ?

??? ?

(A)1(B) 2

(C) 3

(13)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a) ? ? ,则 tan a ? (14)若 ( x ? )9 的展开式中 x3 的系数是 ?84 ,则 a ?
a x

4 3

. .

1 ,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相 (15)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (

交于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?

???? ?

????



(16) 已知球 O 的半径为 4, 圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的 公共弦, AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ? (17) ?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 ,sin B ? (18)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n)? 3n . .

5 3 ,cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

(Ⅰ)求 lim

a a a an ?…? n >3n . ; (Ⅱ)证明: 21 ? 2 2 2 n ?? S 1 2 n n

(19)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AA1 ? AB ,D 为 BB1 的中点,E 为
AB1 上的一点, AE ? 3EB1 .Ⅰ证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线;

(Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45° ,求二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小. (20)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流 能通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各 元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望. [ (21) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:
x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两 a 2 b2

点,且 BD 的中点为 M ?1,3? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. (22)设函数 f ? x ? ? 1 ? e? x . (Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?
x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

2010 年高考大纲全国卷 II 理科数学参考答案 1.A 解析:本题考查了复数的运算。 (
3?i 8 ? 6i (8 ? 6i )i 6 ? 8i )2= = = =-3-4i; 1? i 2i ? i 2i ?2

2.D 解析:本题考查了反函数的求解、原函数与反函数的关系等。 由 y=
1 ? ln( x ? 1) 得 2y=1+ln(x-1) ,即 ln(x-1)=2y-1,那么 x-1=e2y-1, 2

即 x=e2y-1-1,故对应的反函数为 y=e2x-1+1,由于原函数中 y∈R,则相应的反 函数中 x∈R; 3.C 解析:本题考查了线性规划的知识与函数的最值问 题。
? x ? ?1 ? 作出可行域 ? y ? x , 如图所示, 作出目标函数线, ?3 x ? 2 y ? 5 ?

可得直线 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点,即为(1,1) ,当 x=1,y=1 时 z 的最大值为 1+2=3;

4.C 解析:本题考查了等差数列的通项及其基本性质等知识。 在等差数列{an}中,由于 a3+a4+a5=12,则 2a4=a3+a5=8,即 a4=4,那么根据 等差数列的性质知 a1+a2+…+a7=7a4=28; 5.C 解析:本题考查了分式不等式的求解。 由
( x ? 2)( x ? 3) x2 ? x ? 6 >0,得 >0,根据不等式的性质可以求解对应的解为- x ?1 x ?1

2<x<1 或 x>3; 6.B 解析:本题考查了排列组合的知识。 先从 3 个信封中选一个放标号为 1,2 的卡片,有 3 种不同的选法;再从剩 下的 4 张卡片中选两张放到一个信封有 C42 种;余下的两张卡片放入最后一个信 封,∴共有 3 C42 =18 种不同的放法; 7.B 解析:本题考查了三角函数的图象的平移问题。 由于 y=sin(2x+ )=sin[2(x+
? 6
? ? ? )]=sin[2(x- + )],那么要得到函数 12 6 4

y=sin[2(x- )]的图像,只要把 y=sin(2x+ )向右平移 个长度单位即可; 8.B 解析:本题考查了三角形的基本性质与平面向量的基础知识。 由于 CD 为角平分线,则利用角平分线性质有 CB:CA=BD:AD=1:2,由 于 BA = CA - CB = b - a ,那么 CD = CB + BD = a + BA = a + ( b - a )= a + b ; 9.C 解析:本题考查了空间几何体的体积,导数的应用以及探究性问题。 设正四棱锥 S—ABCD 的高为 h, 底面正方形的边长为 a, 那么有 h2+ (
2

? 6

? 6

? 4

1 3

1 3

2 3

1 3

2 a) 2

=SA2=12, 那么 a2=24-2h2, 那么该几何体的体积为 V= a2h= (24-2h2) h=8h
2 3

1 3

1 3

- h3,则 V′=8-2h2,令 V′=0,解得 h=2,即当 h=2 时,对应的体积最大, 最大值为
16 ; 3

10.A 解析:本题考查了导数的几何意义,直线的点斜式方程,直线与坐标轴 围成三角形的特征与公式,以及幂运算等。 由于 y= x
? 1 2

1 ? 1 ? ,那么 y′=- x 2 ,那么由导数的几何意义知 k=- a 2 ,则 2 2
? 1

3

3

对应的切线方程为 y- a 2 =- a 2 (x-a) ,令 x=0,得 y= a 2 ,令 y=0,得 x=3a,则 S= × a 2 × 3a=18,整理得 a 2 =8,解得 a=64; 11.D 解析:本题考查了空间想象能力。 由于到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边 长为半径的圆柱面上,∴三个圆柱面有无数个交点; 12.B 解析:本题考查了椭圆的方程与几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系, 平面向量的相关知识等。 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由于 AF =3 FB ,则有 y1=-3y2,而 e=
3 ,可 2
1 2 3 2
? 1 1

1 2

?

3

3 2

?

1

设 a=2t,c= 3 t,b=t,代入椭圆方程整理有 x2+4y2-4t2=0,而对应的直线 AB

的方程为 y=k(x- 3 t) ,即 x=sy+ 3 t(令 s= ) ,代入 x2+4y2-4t2=0 消去 x 并 整理可得(s2+4)y2+2 3 tsy-t2=0,那么 y1+y2=-
t2 2 3ts , y y = - ,把 y1= 1 2 s2 ? 4 s2 ? 4

1 k

t2 2 3ts 2 2 -3y2 代入得-2y2=- 2 ,-3y2 =- 2 ,解得 s= ,故 k= 2 ; s ?4 s ?4 2
1 解析:本题考查了三角函数的诱导公式,三角函数的恒等变换公式等。 2 4 4 2 tan ? 由于 tan(π+2α)=tan2α=- ,又 tan2α= =- ,则有 2tan2α-3tanα 2 3 3 1 ? tan ? 1 1 -2=0,解得 tanα=2 或 tanα=- ,由于 α 是第二象限角,则取 tanα=- ; 2 2

13.-

14.1 解析:本题考查了二项展开式定理及其应用。 由于 Tr+1= C9r ?x9-r( ? - )r= C9r (-a)r?x9-2r,令 9-2r=3,解得 r=3,则有
3 (-a) =-84,解得 a=1; C9

a x

3

y B
1

B M F x

15. C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且
2

斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A ,与 C 的一个 交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?
? ?

A

法一:2 解析:本题考查了抛物线的几何性质,以及平面向量的基本知识。 由于直线 AB 的方程为 y= 3(x-1) ,代入 y2=2px 得 3x2-(6+2p)x+3=0, 又由于 AM = MB ,那么结合图形特征可得点 B 的横坐标 x= p+2,代入 3x2- (6+2p)x+3=0 整理可得 p2+4p-12=0,解得 p=2 或 p=-6(负值舍去) ; 例题 5 (全国Ⅱ文理 15 题)已知抛物线 法二:如图所示,在 Rt?ABB1 中, ?BAB1 ? 30? ,
AB ? 2BB1 ,又 AM ? MB ,则 M 是 A 、 B 中点,
? ?

1 2

则 BB1 ? BM ,则 M 与焦点 F 重合,则 p ? 2 . 16.3 解析:本题考查了球、直线与圆的基础知识。 由于 ON=3,球半径为 4,∴小圆 N 的半径为 7 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4,

作 NE 垂直于 AB,∴NE= 3 ,同理可得 ME= 3 ,在直角三角形 ONE 中,∵ NE= 3 ,ON=3,∴∠EON=30?,∴∠MON=60?,∴MN=3;

O B N

M E A

(17)解: 由 cos ?ADC ? ? 0知B ? 从而

3 5

?
2

由已知得 cos B ?

12 4 ,sin ?ADC ? , 13 5

sin ?BAD ? sin(?ADC ? B) = sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B
4 12 3 5 33 ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65 BD ? , sin ?BAD 5 33 ? 13 =25 . = 33 65

由正弦定理得 所以 AD ?

AD sin B

BD ? sin B sin ?BAD

(18) (Ⅰ) lim n ??
lim
n ??

an S ? Sn ?1 S S ? lim n ? lim(1 ? n ?1 ) 1 ? lim n?1 , n ?? n ?? S Sn n?? Sn Sn n

Sn?1 a n ?1 1 1 2 ? lim ? ? ,所以 lim n ? . n ?? n ?? Sn n ?1 3 3 Sn 3

a1 ? S1 ? 6 ? 3 ; 12 a S ?S a a a1 S2 ? S1 ?? ? n ? 2 ? ? ? ? n 2 n ?1 当 n ? 1 时, 21 ? 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n

(Ⅱ)当 n ? 1 时,

(19)解法一: (Ⅰ)连接 A1B ,记 A1B 与 AB1 的交点 F.



因为面 AA1B1B 为正方形,故 A1B ? AB1 ,且 AF ? FB1 . 又 AE ? 3EB1 ,所以 FE ? EB1 ,又 D 为 BB1 的中点, 故 DE / / BF , DE ? AB1 . 作 CG ? AB ,G 为垂足,由 AC ? BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC ? 面 AA1B1B ,得 CG ? 面 AA1B1B .连接 DG,则 DG / / AB1 , 故 DE ? DG ,由三垂线定理,得 DE ? CD . 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (Ⅱ)因为 DG / / AB1 ,故 ?CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角, ?CDG ? 45? . 设 AB ? 2 ,则 AB1 ? 2 2, DG ? 2, CG ? 2, AC ? 3 . 作 B1H ? AC 1 1 ,H 为垂足.因为底面 A 1B 1C1 ? 面 AAC 1 1C ,故 B 1 H ? 面 AAC 1 1C ,又作
HK ? AC1 ,K 为垂足,连接 B1K ,由三垂线定理,得 B1K ? AC1 ,因此 ?B1KH 为二

面角 A1 ? AC1 ? B1 的平面角.
1 A1B1 ? A1C12 ? ( A1B1 )2 2 2 3 2 B1 H ? ? , HC1 ? B1C12 ? B1H 2 ? , 3 A1C1 3
AC1 ? 22 ? ( 3) 2 ? 7 , HK ?

AA1 ? HC1 2 3 , ? AC1 3 7

(Ⅱ)因为 B1 A, DC 等于异面直线 AB1 与 CD 的夹角, 故 B1 A ? DC ? B1 A ? DC cos 45? ,即 2 2 ? c2 ? 2 ?
??? ?
???? ???? ???? ????

???? ????

2 ?4, 2

解得 c ? 2 ,故 AC ? (?1,0, 2) .又 AA1 ? BB1 ? (0,2,0) , 所以 AC1 ? AC ? AA1 ? (?1,2, 2) . 设平面 AAC 1 1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 m ? AC1 ? 0, m ? AA 1 ? 0, 即 ?x ? 2 y ? 2z ? 0 且 2 y ? 0 .令 x ? 2 ,则 z ? 1, y ? 0 ,故 m ? ( 2,0,1) . 设平面 AB1C1 的法向量为 n ? ( p, q, r ) ,则 n ? AC1 ? 0, n ? B1 A ? 0 , 即 ? p ? 2q ? 2r ? 0, 2 p ? 2q ? 0 . 令 p ? 2 ,则 q ? 2, r ? ?1 ,故 n ? ( 2, 2, ?1) . 所以 cos m, n ?
m?n 1 . ? m n 15
? ?

???? ????

???? ? ??? ? ????

? ? ????

? ????

?

? ? ????

? ????

?

由于 m, n 等于二面角 A1 ? AC1 ? B1 的平面角, 所以二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小为 arccos
15 . 15

(20) 【解析】记 A1 表示事件:电流能通过 Ti , i ? 1, 2,3, 4, A 表示事件: T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流, B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过, (Ⅰ) A ? A1 ?A2 ?A3,A1,A2,A3 相互独立,
P( A) ? P( A1 ?A2 ?A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? (1 ? p)3 ,

又 故

P( A) ? 1 ? P(A)=1 ? 0.999 ? 0.001,
(1 ? p)3 ? 0.001,p ? 0.9 ,

(Ⅱ) B ? A4 +A4 ?A1 ?A3 +A4 ?A1 ?A2 ?A3 ,
P(B) ? P(A4 +A4 ? A1 ? A3 +A4 ? A1 ? A2 ? A3 ) ? P(A4 )+P(A4 ? A1 ? A3 )+P(A4 ? A1 ? A2 ? A3 )

? P(A4 )+P(A4 )P(A1 )P(A3 )+P(A4 )P(A1 )P(A2 )P(A3 )

=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891 (Ⅲ)由于电流能通过各元件的概率都是 0.9,且电流能否通过各元件相互 独立, 故 ? ~ B(4,0.9) , E? ? 4 ? 0.9 ? 3.6 . (21)解: (Ⅰ)由题设知, l 的方程为: y ? x ? 2 . 代入 C 的方程,并化简,得 (b2 ? a2 ) x2 ? 4a2 x ? 4a2 ? a2b2 ? 0 . 设 B( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?
4a 2 4a 2 ? a 2 b 2 , x ? x ? ? ,① 1 2 b2 ? a 2 b2 ? a 2
x1 ? x2 ? 1, 2

由 M (1,3) 为 BD 的中点知 故 ?

1 4a 2 ? 1,即 b2 ? 3a 2 ,② 2 2 2 b ?a
c a

故 c ? a2 ? b2 ? 2a ,所以 C 的离心率 e ? ? 2 . ( Ⅱ ) 由 ① 、 ② 知 , C
A(a, 0), F (2a, 0), x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? ? 4 ? 3a 2 ? 0, 2

的 方 程 为 : 3x2 ? y 2 ? 3a2 ,

故不妨设 x1 ? ?a, x2 ? a .
BF ? ( x1 ? 2a)2 ? y12 ? ( x1 ? 2a) 2 ? 3x12 ? 3a 2 ? a ? 2 x1 ,
2 2 FD ? ( x2 ? 2a) 2 ? y2 ? ( x2 ? 2a) 2 ? 3x2 ? 3a 2 ? 2 x2 ? a ,

BF ? FD ? (a ? 2x1 )(2x2 ? a) ? ?4x1x2 ? 2a( x1 ? x2 ) ? a2 ? 5a 2 ? 4a ? 8 .

又 BF ? FD ? 17 ,故 5a2 ? 4a ? 8 ? 17 ,解得 a ? 1, 或 a ? ? (舍去). 故 BD ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 6 . 连接 MA,则由 A(1,0), M (1,3) 知 MA ? 3 ,从而 MA ? MB ? MD ,且 MA ? x 轴,因此 以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点A处于 x 轴相切.

9 5

于是 g ( x) 在 x ? 0 处达到最小值,因而当 x ? R 时, g ( x) ? g (0) ,即 ex ? 1 ? x . 所以当 x ? ?1 时, f ( x) ?
x . x ?1

(Ⅱ)由题设 x ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 . 当 a ? 0 时,若 x ? ? ,则
1 a

x x ? 0 , f ( x) ? 不成立; ax ? 1 ax ? 1

源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.co

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