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27.2.1相似三角形的判定(上课)


27.2.1相似三角形的判定
(第1课时)

成比例 相等 对应边——————的两个三 ? 对应角_______, D 角形, 叫做相似三角形 . A
B
AB AC BC ? ? DE DF EF
?

C

E

6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F



F
△ ? ABC∽ △DEF

6

对应角相等 成比例 相似三角形的———————, 各对应边——————。
k?1 两三角形相似 k=1 两三角形全等

AB BC AC ? ? ? 相似比: =k DE EF DF

注意:
(1)相似我们用符号“∽”来表示, 读作“相似于”,对应边的比叫做相似 比。
(2)记两个三角形相似时,表示对应顶点的字 母写在对应的位置上。 (3)相似比带有顺序性,如: AB BC CA ? ? △ABC∽△A’B’C’,则 A' B' B' C ' C ' A' =k,反过 来, △A’B’C’ ∽△ABC的相似比为 1 k

探究活动:
如图,任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相
交的平行线l3、l4 、l5。分别度量l3、l4 、l5在l1 上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线
AB 段DE、EF的长度, 与 BC DE EF

相等吗?任意平移l5,
AB DE 与 EF BC

在度量AB、BC、DE、EF的长度,

相等吗?
A B C

l1

l2 D E l3 l4

F

l5

平行线分线段成比例定理:

三条平行线截两条直线,所得的对 应线段的比相等.
符号语言: ∵ l3∥l4 ∥l5 ,
AB DE BC EF ∴ BC ? EF , AB ? DE ,
AB DE ? , AC DF
BC EF ? , AC DF
AC DF ? AB DE
B A

l1

l2
D

l3
E

l4

AC DF ? , BC EF

C

F

l5

对应线段的解释 ? 对应线段指的是夹在同一平行线间 的线段。 在上图中有六组比例式。指出其他 的比例式? 平行线分线段成比例定理的基本 图形除了日型外,还有其他图形 吗?

l1 A D

l2

l1
D

l3
E C l4

l2 El 3
A

l4 l5

B

(图1)

l5

B

(图2)

C

“A”型

“X”型

L5 L4 A D B E C

L5

L4 D

L1
L2 B

E A

L1
L2

平行于三角形一边直线的性质 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线),所得的对应线段的比相等



数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC ∵

L3

C

L3

数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC

练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确

A

AD AE AD AE A: —— = —— ( ) B: —— = ——( ) D AB AC BD CE
AD AE AD AB —— = —— ( ) D: —— = ——( ) B C: AC AB AE AC

E C

2、填空题:
如图:DE∥BC, 2 已知: AD 求: —— = — 2 AE = — 5 AB —— —— AC 5

E

D

A B C

例题2 解:

已知:DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求:AE=?

A

∵ DE∥BC






AB =AC —— —— (推论) BD CE B 15 = —— 9 —— 4 CE D 12 CE = — 5 2 12 =11— AE= AC+CE=9+ —
5 5

C

E

2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由 . 解:相似
理由:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C

A E
C

AE BF ? 过E作EF//AB交BC于F 则 AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形

AD AE ? AB AC D

∴DE=BF F ∴△ADE∽△ABC

AE DE ? ? AC BC

AD AE DE ? ? ? AB AC BC

B

判定三角形相似的预备定理:(简称:平行线) 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交,所构成的三角形与原三角形相似。

“A”型
A D B
(图1)

“X”型
D E

O

E

C

B

(图2)

C

符号语言: 在△ABC中, ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC

练习二: (A组)
1、如图: 已知 DE∥BC, D AB = 14, AC = 18 , AE = 10, 求:AD的长。 B A (B组) 2、如图: 已知AB⊥BD, ED⊥BD,垂足分别为 B B、D。 BC AC 求证:—— = —— EC DC C E C

D

E

达标检测题: (A组)
1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 5, AC = 7 , AD= 2, 求:AE的长。

D
A B

E

C B

C

(B组)

2、已知 ∠A =∠E=60°A AB CB = 4,—— = BE

2 — 3
D

E

求:BD的长。

如图 已知DE∥BC ∥AC,请尽可能多地找 出图中的相似三角形,并说明理由。 A
A D D

E

E G

F

B B F C

C

已知:如图,AB∥EF ∥CD, 3 图中共有____对相似三角形。 AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE

A O E F

B

△AOB ∽△DOC
△EOF∽△COD

C

D

如图,△ABC 中,DE∥BC,GF∥AB, DE、GF交于点O,则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来. 解: 与△ABC相似的三角形有3个:
A

△ADE
△GFC △GOE
B D O

G E C

F

? 如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E

C

解: (1) ? DE ∥ BC

△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. A 在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. ? △ADE∽△ABC (2)

? ?

D

B

? AE ? DE ,即

50 DE ? . AC BC 50 ? 30 70 50 ? 70 所以, DE ? ? 43.75( cm). 50 ? 30

如图在平行四边形ABCD中,E为AD上一点, 连结CE并延长交BA的延长线于点F, 请找出相似的三角形并表示出来。
D E C

F

A

B

如图,在△ABC中,DG∥EH∥FI∥BC, (1)请找出图中所有的相似三角形; △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC

1:4 (2)如果AD=1,DB=3,那么DG:BC=_____。
A D E F

G H I C

B

2.如图,G是ABCD的CD延长线上一点,连结 BC交对角线AC于E,交AD于F,则: (1)图中与△AEF相似的三角形有___。 (2)图中与△ABC相似的三角形有___。 (3)图中与△GFD相似的三角形____。

5、如图,在 ABCD中,E是边BC上的一点, 且 B E: EC= 3 : 2 , 连 接 A E 、 B D 交 于 点 F , 则 BE:AD=_____,BF:FD=_____。 A 3:5 3:5
F B E C

D

6、如图,在△ABC中,∠C的平分线交 AB于D,过点D作DE∥BC交AC于E,若 B AD:DB=3:2,则EC:BC=______。 3:5
D

A

E

C

7.如图,DE∥BC, (1)如果AD=2,DB=3,求DE:BC的值 (2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE 求AE和BC的长.

BD DC 9.已知EF∥BC,求证: ? EG GF
F A A E G F G E

B

D

C

B

D

C

拓展提高:
D

A E

B

2份

M

3份

C

5份
2.如图:在△ABC中,点M是BC上任一点, MD∥AC,ME∥AB, 若 BD AB 2 求 = , 5 的值。 EC

AC

练习:
2、 如图:在△ABC中,点M是BC上

任一点, MD∥AC,ME∥AB,
若 BD AB 求 2 = , 5 的值。 EC AC D

A E

解:∵MD∥AC, ∴△BDM∽△BAC BD ∴ = BA BM = BC , 2 5 MC = BC B 3 5

2份

M

3份

C

5份

又∵ ME∥AB, ∴△CEM∽△CAB CE ∴ = CA

CM CB

=

3 5

小结:
? 相似三角形的定义 ? 相似比的性质 ? 相似三角形判定的预备定理

作业:
? 课本54页第4,5 题.


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