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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第七章 不等式、推理与证明


常考题型强化练——不等式、推理与证明
A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的什么条件 A.充分而不必要 C.充要 答案 A 解析 不等式|x|<2 的解集是(-2,2),而不等式 x2-x-6<0 的解集是(-2,3),于是当 x∈ (-2,2)时,可得 x∈(-2,3),反之则不成立,

故选 A. 2.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设备的维 修费各年为第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元的增 量逐年递增, 则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最 少) A.8 答案 C 解析 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 0.2x2+0.2x 10+0.9x+ 2 由已知,得 y= , x 10 x 即 y=1+ + (x∈N+). x 10 由基本不等式知 y≥1+2 10 x 10 x · =3,当且仅当 = ,即 x=10 时取等号.因此使用 x 10 x 10 B.9 C.10 D.11 ( ) B.必要而不充分 D.既不充分也不必要 ( )

10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 3.(2013· 四川)若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 为 b,则 a-b 的值是 A.48 答案 C 解析 画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得 A(4,4), B(8,0),C(0,2).对目标函数令 z=0 作出直线 l0,上下平移易知 过点 A(4,4),z 最大=16,过点 B(8,0),z 最小=-8,即 a=16,b B.30 C.24 D.16

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值

(

)

=-8, ∴a-b=24.选 C. 4.一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(α,β)(α>0),则不等式 cx2+bx+a>0 的解集为 ( 1 1? A.? ?α,β? 1 1? C.? ?β,α? 答案 C b c 解析 ∵不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(α,β),则 a<0,α+β=- ,αβ= ,而不等式 a a c b cx2+bx+a>0 可化为 x2+ x+1<0,即 αβx2-(α+β)x+1<0,可得(αx-1)(βx-1)<0,即 a a 1 1? B.? ?-α,-β? 1 1? D.? ?-β,-α? )

?x-1??x-1?<0,所以其解集是?1,1?,故选 C. ? α?? β? ?β α?
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若存在正整数 m,n(m<n),使得 Sm=Sn,则 Sm+n=0.类比 上述结论,设正项等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn.若存在正整数 m,n(m<n),使 Tm=Tn, 则 Tm+n 等于 A.0 答案 B 解析 因为 Tm=Tn,所以 bm+1bm+2?bn=1, 从而 bm+1bn=1, Tm+n=b1b2?bmbm+1?bnbn+1?bn+m-1bn+m=(b1bn+m)· (b2bn+m-1)?(bmbn+1)· (bm+1bn)=1. 二、填空题 2 1 6.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. x y 答案 (-4,2) B.1 C.m+n D.mn ( )

2 1 解析 ∵x>0,y>0,且 + =1, x y 2 1? 4y x ∴x+2y=(x+2y)? ?x+y?=4+ x +y ≥4+2 4y x 4y x ·=8,当且仅当 = , x y x y

2 1 即 4y2=x2,x=2y 时取等号,又 + =1,此时 x=4,y=2, x y ∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立, 即 8>m2+2m,解得-4<m<2.

1 7.已知点 P(x,y)在曲线 y= 上运动,作 PM 垂直于 x 轴于 M,则△OPM(O 为坐标原点)的 x 周长的最小值为_____________. 答案 2+ 2 解析 三角形 OPM 的周长为 1 |x|+ + |x| 2· 1 |x|· + |x| 2· 1 x2·2=2+ 2 x 1 x2+ 2≥ x

1 (当且仅当|x|= 时,即|x|=1 时取等号). |x| π π 1 8.已知对于任意实数 α,我们有正弦恒等式 sin αsin( -α)· sin( +α)= sin 3α,也有余弦恒等 3 3 4 π π 1 式 cos αcos( -α)· cos( +α)= cos 3α,类比以上结论对于使正切有意义的 α,可以推理 3 3 4 得正切恒等式为___________________. 答案 π π tan αtan( -α)tan( +α)=tan 3α 3 3

三、解答题 9.在一条直线型的工艺流水线上有 3 个工作台,将工艺流水线用如下图所示的数轴表示,各 工作台的坐标分别为 x1,x2,x3,每个工作台上有若干名工人.现要在 x1 与 x3 之间修建 一个零件供应站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短. (1)若每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置; (2)设工作台从左到右的人数依次为 2,1,3, 试确定供应站的位置, 并求所有工人到供应站 的距离之和的最小值.



设供应站坐标为 x,各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为 d(x).

(1)由题设,知 x1≤x≤x3, 所以 d(x)=x-x1+|x-x2|+x3-x=|x-x2|-x1+x3, 故当 x=x2 时,d(x)取最小值,此时供应站的位置为 x=x2. (2)由题设,知 x1≤x≤x3, 所以 d(x)=2(x-x1)+|x-x2|+3(x3-x)
?-2x+3x3+x2-2x1,x1≤x<x2, ? =? ? ?3x3-x2-2x1,x2≤x≤x3.

因此,函数 d(x)在区间[x1,x2]上是减函数,

在区间[x2,x3]上是常数. 故供应站位置位于区间[x2,x3]上任意一点时,均能使函数 d(x)取得最小值,且最小值为 3x3-x2-2x1. 10. 某市政府为了打造宜居城市, 计划在公园内新建一个如下图所示的矩形 ABCD 的休闲区, 内部是矩形景观区 A1B1C1D1, 景观区四周是人行道, 已知景观区的面积为 8 000 平方米, 人行道的宽为 5 米(如下图所示).

(1)设景观区的宽 B1C1 的长度为 x(米),求休闲区 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数; (2)规划要求景观区的宽 B1C1 的长度不能超过 50 米,如何设计景观区的长和宽,才能使 休闲区 ABCD 所占面积最小? 解 8 000 (1)因为 AB=10+ ,BC=10+x, x

8 000? 所以 S=? ?10+ x ?(10+x) 80 000 =8 100+ +10x(x>0). x 所以休闲区 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数是 80 000 S=8 100+ +10x(x>0). x 80 000 (2)S=8 100+ +10x(0<x≤50), x 80 000 令 S′=10- 2 =0,得 x=40 5或 x=-40 5(舍去). x 所以当 0<x≤50 时,S′<0, 80 000 故 S=8 100+ +10x 在(0,50]上单调递减. x 80 000 8 000 所以函数 S=8 100+ +10x(0<x≤50)在 x=50 取得最小值,此时 A1B1= = x 50 160(米). 所以当景观区的长为 160 米,宽为 50 米时,休闲区 ABCD 所占面积 S 最小. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)=t2+10t+16, f?10? 则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为 )的月饼最小值为 10 ( )

A.18 答案 A

B.27

C.20

D.16

2 f?t? t +10t+16 解析 平均销售量 y= = t t

16 =t+ +10≥18. t 16 当且仅当 t= ,即 t=4∈(0,30]时等号成立, t 即平均销售量的最小值为 18. 2.某蔬菜收购点租用车辆,将 100 吨新鲜黄瓜运往某市销售,可供租用的卡车和农用车分别 为 10 辆和 20 辆.若每辆卡车载重 8 吨,运费 960 元,每辆农用车载重 2.5 吨,运费 360 元,则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为 A.11 280 元 C.10 280 元 答案 B 解析 设租用的卡车和农用车分别为 x 辆和 y 辆, B.12 480 元 D.11 480 元 ( )

? ?0≤y≤20 运完全部黄瓜支出的运费为 z 元,则?8x+2.5y≥100 x∈N ? ?y∈N
0≤x≤10
+ +



目标函数 z=960x+360y,此不等式组表示的可行域是△ABC(其中 A(10,8),B(10,20), C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点. 当直线 l:z=960x+360y 经过点 A(10,8)时,运费最低, 且其最低运费 zmin=960×10+360×8=12 480(元),选 B. 3.如图所示,要挖一个面积为 800 平方米的矩形鱼池,并在鱼池的 四周留出左右宽 2 米, 上下宽 1 米的小路, 则占地总面积的最小 值是________平方米. 答案 968 800 解析 设鱼池的长 EH=x,则 EF= , x

?800+2?=808+2?x+1 600? 占地总面积是(x+4)· x ? ? x ? ?
≥808+2· 2 1 600 x· =968. x

1 600 当且仅当 x= ,即 x=40 时,取等号. x

4.我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系 xOy 中, 利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(-3,4),且其法向量为 n=(1,-2)的直线 方程为 1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得 x-2y+11=0.类比上述方法,在空间直角 坐标系 Oxyz 中, 经过点 A(1,2,3), 且其法向量为 n=(-1, -2,1)的平面方程为__________. 答案 x+2y-z-2=0 → 解析 设 P(x,y,z)为空间内任意一点,则类比上述结论可得AP· n=(x-1,y-2,z-3)· (-1,-2,1)=0,整理得 x+2y-z-2=0. 5.某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件,产品的正品率 P 与日产量 x(x∈N+)件之间的 4 200-x2 关系为 P= , 每生产一件正品盈利 4 000 元, 每出现一件次品亏损 2 000 元. (注: 4 500 正品率=产品中的正品件数÷ 产品总件数×100%) (1)将日利润 y(元)表示成日产量 x(件)的函数; (2)该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值. 解 4 200-x2 4 200-x2? 4 (1)∵y=4 000· · x-2 000?1- · x=3 600x- x3, 4 500 3 4 500 ? ?

4 ∴所求的函数关系式是 y=- x3+3 600x(x∈N+,1≤x≤40). 3 (2)由(1)知 y′=3 600-4x2. 令 y′=0,解得 x=30. ∴当 1≤x<30 时,y′>0;当 30<x≤40 时,y′<0. 4 ∴函数 y=- x3+3 600x(x∈N+,1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数,在(30,40)上是单 3 调递减函数. ∴当 x=30 时, 4 函数 y=- x3+3 600x(x∈N+,1≤x≤40)取得最大值, 3 4 最大值为- ×303+3 600×30=72 000(元). 3 ∴该厂的日产量为 30 件时,日利润最大, 最大值为 72 000 元.


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