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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第7章 第43讲 导数的概念及运算课件 理


1.已知函数f ? x ? ? 2x ? 4的图象上一点?1, 2 ? 及
2

?y 邻近一点(1 ? x, 2 ? ?y ),则 ?   ? 2?x   . 4x ?x 2 2 解析:因为?y ? 2( x ? ?x) ? 4 ? 2x ? 4
? 4x ? ?x ? 2(?x)2, ?y 所以 ? 4x ? 2?x. ?x

2.已知函数f ? x ? ? ax3 ? 9x 2 ? 6x ? 7.若f ? ? ?1? ? 4, 16 则a的值为 3

解析:由f ? ? x ? ? 3ax ? 18x ? 6,
2

得f ? ? ?1? ? 3a ? 12 ? 4, 16 所以a ? . 3

3.直线y ? 4x ? b是曲线y ? x 4 ? 1的一条切线,则 实数b的值为

-4
4

解析:设切点为( x0,y0 ),而y ? x ? 1的导数为y? 得切点为?1, 0 ?,所以实数b的值为 ? 4. ? 4x ,在切点处的切线斜率为k ? 4x ? 4 ? x0 ? 1,
3

1 3 2 4.已知物体的运动方程是s ? t ? 2t ? 12t (t 表 3 示时间,单位:秒,s表示位移),则瞬时速度 为0的时刻是

6 秒.
2

解析:由s? ? t ? 4t ? 12 ? 0, 得t ? 6(t ? ?2舍去).

5.函数f ? x ? ? x ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3?? x ? 4 ?, 则f ? ? 0 ? ?
解析: f (0 ? ?x) ? ?x(?x ? 1)(?x ? 2)(?x ? 3)(?x ? 4), 当?x无限趋近于0时, f ? 0 ? ?x ? ? f ? 0? ? (?x ? 1)(?x ? 2)(?x ? 3)(?x ? 4) ?x 无限趋近于一个常数24,故f ? ? 0 ? ? 24.

24   .

导数的定义
【例1】求函数y ? x 在点x ? 1处的导数.
2

解析:?y ? (1 ? ?x) ? 1 ? 2?x ? (?x) ,
2 2 2

?y 2?x ? ??x ? ? ? 2 ? ?x,且当?x无限趋近 ?x ?x 于0时,? ?x无限趋近于2. 2
2

所以函数y ? x 在点x ? 1处的导数等于2.
2

本例求导方法简记为:一差、二化、三 极限.求函数在一点处的导数,一般是先求 出函数的导数,再计算这点的导数值.

【变式练习 】用导数的定义,求函数 1 1 f ? x? ? 在x ? 1处的导数. x
解析:?y ? ??x 1 1 ? ?x ? , 1 1 ? 1 ? 1 ? ?x 1 ? ?x ?

1 ? ?x ?1 ? 1 ? ?x ? ?y ?1 所以 ? , ?x 1 ? ?x ?1 ? 1 ? ?x ?

且当?x无限趋近于0时, 1 无限趋近于 ? . 2 1 ? ?x ?1 ? 1 ? ?x ? 1 所以函数y ? f ? x ? 在点x ? 1处的导数等于 ? . 2 ?1

导数的几何意义
【例2】
(1)已知曲线y=1/3x3在P点处的切线方程为 12x-3y-16=0,求点P的坐标; (2)求过点P(3,8)且与抛物线y=x2 相切的直 线方程.

【解析】 设P ( x0,y0 ),则在P点的切线方 (1) 1 3 2 程为y -y0 =f ?( x0 )( x-x0 ),即y - x0 =x0 ( x -x0 ), 3 2 3 则3y =3x0 ? x - 2x0 . 已知的切线方程为3 y ? 12 x ? 16, ? 3 x0 2 ? 12 ? x0 ? ?2 比较得 ? 2 ,得 ? ? x0 ? 2 ? 2 x0 ? 16 8 故x0=2,于是点P的坐标为(2, ). 3

(2)因为点P不在抛物线上,故设抛物线上点A(xA ,

yA)处的切线方程为y-yA=f '(xA)(x-xA),
即y-xA2=2xA(x-xA),所以y=2xA· xA2. x-

因为点P(3,8)在该直线上,
所以xA2 -6xA+8=0,解得xA=2或xA=4. 所以过点P(3,8)且与抛物线y=x2 相切的直线方程 为4x-y-4=0或8x-y-16=0.

函数在点(x0,y0)处的导数是函数图象在点(x0,y0)
处切线的斜率.已知切点求切线方程与已知切线方程 求切点坐标是两个不同的问题,前者直接应用导数的 几何意义,后者以导数的几何意义为基础,设出切点, 写出切线方程,由于两切线是同一条直线,对应的系

数相等,从而求出切点.这是本题第(1)问的解题思想;
第(2)问是相近的问题,当切线过曲线外一点时,处理 方法还是寻找切点.

【变式练习2】
(1)若曲线y=x2+1上点P处的切线与曲线y= -2x2-1也相切,求点P的坐标.

(2)求过点P(0,2)且与曲线y=2x-x3相切的直
线方程.

【解析】1? 设P点的坐标为(a,a 2 +1),则在P点的 ? 切线方程为y -(a 2 +1)=2a( x-a ),即y =2ax ? a 2 +1  ①,与曲线y =-2x -1相切的切点为(b,-2b -1),
2 2

对应的切线方程为y + 2b 2 +1=- 4b( x-b), 即y =-4bx+2b 2 -1 ②, ?2a ? ?4b 2 3 3 比较与②有 ? 2 ,所以a = ? , b= m , 2 3 3 ??a ? 1 ? 2b ? 1 2 3 7 所以点P的坐标为( ? , ). 3 3

(2)设曲线上点A(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=f ' (x0)(x-x0),

即y-(2x0-x03)=(2-3 x02)(x-x0),
即y=(2-3 x02)x+2 x03 . 因为点P(0,2)在该直线上,所以x03 =1,则x0= 1,所以切点的坐标为A(1,1). 所以过点P(0,2)且与曲线y=2x-x3 相切的直线

方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

导数的物理意义
【例3】
质点作直线运动,起点为(0,0),路程s是时间t
的二次函数,且其图象过点(1,6),(2,16). (1)求质点在t=2秒时的瞬时速度;

(2)求质点运动的加速度.

【解析】1? 设s=at 2+bt+c.因函数的图象经过原 ? 点,所以c=0.又函数图象经过点 ?1, 6 ?,2,16 ?, ? ? a?b ? 6 ?a ? 2 所以 ? , 解得 ? ?4a ? 2b ? 16 ?b ? 4 所以s=2t 2+4t.故s=4t+4, 则v=s? ? 2 ?=4 ? 2+4=12. 所以质点在t=2秒时的瞬时速度为12.

? 2 ?因为v(t )=4t+4,则a=v?(t )=4.
所以质点运动的加速度为4.

函数的导数的物理意义:位移函数对 时间的导数等于速度,速度函数对时间的

导数等于加速度.一般设位移是时间的函
数s=s(t),则s′=s'(t)=v(t)是速度函数,而v =v(t)的导数v′=v'(t)=a(t)是加速度函数.

【变式练习3】
1 2 已知自由落体的运动方程S ? gt ,求: 2 ?1? 落体在t0到t0+?t这段时间内的平均速度;

? 2 ? 落体在t0时的瞬时速度; ? 3? 落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度; ? 4 ? 落体在t=2秒时的瞬时速度.

【解析】1? 落体在t0到t落体在t0到t0 ? ?t这段时间 ? 内路程的增量为 1 1 2 1 ?s= g (t0+?t )2- gt0 = g (2t0 ?t+?t 2 ), 2 2 2 因此,落体在这段时间内的平均速度为: ?s 1 v? ? g (2t0 ? ?t 2 ). ?t 2 ?s (2)落体在t0时的瞬时速度为v ? , 当?t ? 0时, ?t ?s ? gt0,所以v=gt0; ?t

? 3? 落体在t 0=2秒到t1=2.1秒时,其时间增 量?t=t1-t0=0.1秒,由?1? 知平均速度为
1 v ? g (2 ? 2 ? 0.1) ? 2.05 g=20.09(米 / 秒) 2 ? 4 ?由? 2 ? 知落体在t 0=2秒时的瞬时速度为 v=g ? 2=19.6(米 / 秒).

导数的基本应用

【例4】

x 已知函数f ( x)=ln( x-2)- (a为常数). 2a ?1? 求f ? ? 3?的值;

2

? 2 ?当x=3时,曲线y=f ( x)在点(3,y0 )处的切
线经过点(-1,-1),求a的值.

1 x 3 【解析】1?因为f ?( x)= - ,所以f ? ? 3?=1? x?2 a a 2 x0 ? 2 ?因为f ( x)=ln( x0-2)- ,所以曲线在点(3,y0 ) 2a 9 3 的切线方为 y -[ln(3 ? 2) ? ] ? (1 ? )( x ? 3), 2a a 3 9 即y ? (1 ? ) x ? 3 ? ,因为该切线经过点(-1,-1), a 2a 3 9 5 所以 ? 1 ? ( ? 1) ? 3 ? , 解得a ? . a 2a 2

求曲线的切线的关键是找出切点, 要注意区分切线所经过的点是不是切

点.本题切线经过的点(-1,-1)不是
切点,因此先要假设切点,再求出切线 方程,然后由点(-1,-1)在曲线的切 线上,求出a的值.

【变式练习4】
1 3 已知函数f ( x)= x -2x 2+ax(a ? R ),在曲线y=f ( x) 3 的所有切线中,仅有一条切线l与直线y=x垂直.

?1? 求a的值和切线l的方程; ? 2 ? 设曲线y=f ( x)上任意点的切线的倾斜角为?,
求?的取值范围.

【解析】1? 设切点坐标为( x0,y0 ), ? 1 3 其中y0 = x0 -2x0 2 +ax0 3 由于y?=x 2 - 4x+a,故得x 2 -4x=a =-1. 依题意,该方程有且只有一个实数根,于是 2 ?=16- 4(a+1)=0,得a =3,从而x=2,即x0 =2,y0 = 3 2 故切线l的方程为y ? ? ?( x ? 2), 3 即3x+3y -8=0.

? 2 ? 设曲线上任意一点( x,y)处的切线的斜率为k.
因为y?=x 2-4x+3=( x-2)2-1 ? -1, 所以k ? -1. 由正切函数的单调性可得倾斜角?的取值范围 3? 为[0, ) U[ ,? ). 2 4

?

1.曲线y=2x-lnx在点(1,2)处的切线方程是 x-y+1=0 _______________

1 【解析】由函数y=2x-lnx知y? ? 2- , 切线方 x 程是:y -2=(2-1)( x-1),即x-y +1=0.

2.抛物线y=4x2 上到直线y=2x-4的距离最短 1 1 ( , ) 的点P的坐标是___________. 4 4
【解析】因为y=4x 2,所以y?=8x,所以曲线上任一 1 点的切线斜率为k=8x,令8x=2,所以x= 代入抛 4 1 1 1 物线方程得:y= ,所以所求的点为 P ( , ) 4 4 4

3. 已 知 f(x) = x2 + 2xf '(1) , 则 f '(0) = ______. -4

【解析】因为f '(x)=2x+2f '(1), 令x=1得f '(1)=-2,所以f '(0)=2f '(1)=-4.

4.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过 点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x)、g(x)的 表达式. 【解析】因为f(x)与g(x)的图象都过点P(2,0),

所以a=-8,4b+c=0,所以f(x)=2x3-8x.
又g′(x)=2bx,f ′(x)=6x2-8, 而f(x)与g(x)在点P处有公共的切线, 所以g′(2)=f ′(2),即2b· 2=6×22-8,得b=4. 所以c=-16,所以g(x)=4x2-16.

综上可知,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.

b 5.设函数f ( x)=ax- ,曲线y=f ( x)在点(2,f ? 2 ?) x 处的切线方程为7x-4y-12=0.

?1? 求y=f ( x)的解析式; ? 2 ? 证明:曲线y=f ( x)上任意一点处的切线与直
线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值, 并求此定值.

7 【解析】1? 方程7x-4y-12=0可化为y= x-3. ? 4 1 b 当x=2时,y= 又f ?( x) ? a ? 2 , 2 x b 1 ? ? 2a ? 2 ? 2 ?a ? 1 3 ? 于是 ? ,解得 ? ,故f ( x) ? x ? x ?b ? 3 ?a ? b ? 7 ? ? 4 4 3 ? 2 ? 设P( x0,y0 )为曲线y=f ( x)上任意一点.由y? ? 1+ 2 x 3 知曲线在点P ( x0,y0 )处的切线方程为y -y0 ? (1+ 2 )( x-x0 ), x0 3 3 即y ? ( x0 ? ) ? (1+ 2 )( x-x0 ) x0 x0

6 令x=0,得y ? ? , 从而得切线与直线x=0的交 x0 6 点坐标为(0, ? ) x0 令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点 坐标为(2x0 , 2x0 ), 所以点P ( x0,y0 )处的切线与直线x=0, 1 6 y=x所围成的三角形面积为 | - || 2x0 | =6 2 x0 故曲线y=f ( x)上任一点处的切线与直线x=0, y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.

1.导数的概念 函数y=f ( x)的导数f ?( x)是当?x ? 0时,函数 ?y 增量?y与自变量的增量?x的比值 的极限,其中 ?x ?y 比值 是函数的平均变化率,即 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f '( x) ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x ?1?自变量的增量?x是一个无穷小的正数;

? 2 ? 平均变化率的极限存在(称瞬时变化率);

(3)f '(x0)是在x=x0处的一个局部性质,它是一个确定 的极限值.

(4)求函数在x=x0处导数的方法:
①求函数的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ②求比值 ? ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ③求极限 lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 若极限存在,则记为f ?( x0 );
若极限不存在,则函数在x=x0处的导数不存在(或函数 在x=x0处不可导)

2.导数的物理意义 如果y=f(x)表示位移s对时间t的函数, 则其在t=t0 处的导数的意义是物体在时 刻t=t0时的瞬时速度v=s'(t0).

3.导函数

函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点的导数
都存在,则函数y=f(x)在(a,b)内可导,其导 数也是(a,b)上的函数,称为y=f(x)的导函数,

记为f ′(x).函数y=f(x)的导函数f '(x)在x=x0处
的函数值f '(x0)就是f(x)在x0处的导数,即f '(x0)

=f '(x)|x=x0(注意并非所有的函数都有它的导
函数).

4.函数f(x)在点x0 处有导数, 则函数f(x)在该点处必有切线,且 导数值等于该切线的斜率,但函数

f(x)在点x0 处有切线,函数f(x)在该
点处不一定可导.


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